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文档简介
-.z.初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分,共18分)1、如果,,则().ABCD2、如果,,则15().A整除B不整除C等于D不一定3、在整数中正素数的个数().A有1个B有限多C无限多D不一定4、如果,是任意整数,则ABCD5、如果(),则不定方程有解.ABCD6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或9二、填空题(每题3分,共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是().2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为().4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者().5、的公倍数是它们最小公倍数的().6、如果是两个正整数,则存在()整数,使,.三、计算题(每题8分,共32分)1、求[136,221,391]="2、求解不定方程.3、解同余式.4、求,其中563是素数.(8分)四、证明题(第1小题10分,第2小题11分,第3小题11分,共32分)1、证明对于任意整数,数是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分,共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分,共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的).2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为().4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者(与互素).5、的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果是两个正整数,则存在(唯一)整数,使,.三、计算题(每题8分,共32分)求[136,221,391]="(8分)解[136,221,391]=[[136,221],391]=[]=[1768,391]------------(4分)==104391=40664.------------(4分)2、求解不定方程.(8分)解:因为(9,21)=3,,所以有解;----------------------------(2分)化简得;-------------------(1分)考虑,有,-------------------(2分)所以原方程的特解为,-------------------(1分)因此,所求的解是。-------------------(2分)3、解同余式.(8分)解因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3.----------(1分)又同余式等价于,即.------------(1分)我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------(2分)即定理4.1中的.------(1分)因此同余式的3个解为,---------(1分),-----------------(1分).---------(1分)4、求,其中563是素数.(8分)解把看成Jacobi符号,我们有---------------(3分)----------------------(2分),-----------------(2分)即429是563的平方剩余.---------------(1分)四、证明题(第1小题10分,第2小题11分,第3小题11分,共32分)1、证明对于任意整数,数是整数.(10分)证明因为==,------(3分)而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,-----(2分)并且(2,3)=1,-----(1分)所以从和有,-----(3分)即是整数.-----(1分)2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.(11分)证明因为,-------------(3分)所以只需证明.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,±1,±2代入分别得值1,7,1,19,7.对于模5,的值1,7,1,19,7只与1,2,4等同余,所以---------(7分)所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。--------(1分)3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.(11分)证明设是正数,并且,----------(3分)如果,---------(1分)则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余,所以只能与0,1同余,所以,---------(4分)而这与的假设不符,---------(2分)即定理的结论成立.------(1分)初等数论考试试卷二一、单项选择题1、().ABCD02、如果,则=().ABCD3、小于30的素数的个数().A10B9C8D74、如果,是任意整数,则ABCD5、不定方程().A有解B无解C有正数解D有负数解6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或97、如果,,则().ABCD8、公因数是最大公因数的().A因数B倍数C相等D不确定9、大于20且小于40的素数有().A4个B5个C2个D3个10、模7的最小非负完全剩余系是().A-3,-2,-1,0,1,2,3B-6,-5,-4,-3,-2,-1C1,2,3,4,5,6D0,1,2,3,4,5,611、因为(),所以不定方程没有解.A[12,15]不整除7B(12,15)不整除7C7不整除(12,15)D7不整除[12,15]12、同余式().A有解B无解C无法确定D有无限个解二、填空题1、有理数,,能写成循环小数的条件是().2、同余式有解,而且解的个数为().3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为().4、设是一正整数,Euler函数表示所有(),而且与()的正整数的个数.5、设整数,则()=.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的()数码的和能被3整除.7、().8、同余式有解,而且解的个数().9、在176与545之间有()是17的倍数.10、如果,则=().11、的最小公倍数是它们公倍数的().12、如果,则=().三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数"2、求解不定方程.(8分)3、求,其中563是素数.(8分)4、解同余式.(8分)5、求[525,231]="6、求解不定方程.7、判断同余式是否有解?8、求11
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