教学案例 黄金分割

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文章详情文章详情浙教版“黄金分割”的教学思考与实践发布者：郑瑄

发布时间：2015-04-0317:04:41

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好奇之心

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探究之意

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观赏之乐——浙教版“黄金分割”的教学思考与实践

郑瑄（宁波市江北区教育局教研室，浙江宁波

315000）

摘要：唐代王维曾说“凡画山水，意在笔先”.课堂教学亦然！“黄金分割”，究其本质，即为有别于线段中点分割的又一种线段分割.如果说线段的中点分割于学生们而言，在刚进入中学后的不久就已经认识并从本质属性的角度进行了研究，那么，而今的黄金分割又有何独特的、别致的、神奇的“景观”呢？同时，研究的方式方法于中点分割又有何借鉴之处呢？……“站在系统的高度，纳入知识的长河”，这是笔者对这节课的教学最初的教学思路和教学主张.而培植孩子们始终拥有对自然科学的好奇之心，对数学问题的探究之意，对宇宙万物的观赏之乐，是我对整节课教学坚定不移的教学立意.关键词：黄金分割

好奇之心

探究之意

观赏之乐

由杭师大童富勇教授带领的团队历经多年实践打造的“浙派名师课堂教学艺术展”，是一个极富“能量”的学术共同体.她既是特级名师们呈现教育思想、展示教学智慧的平台，也是全国各地同仁们学习研讨、品评反思的基地，更是双方共同专业成长、业务提升的一个绝好的磁场.笔者十分荣幸和荣光，多次应邀作为主讲教师参与活动，浙教版《黄金分割》即为一例，这样的机缘是为人师者的财富！课前，有了任务的驱动和研究的动力；课中，有了感性的体察和理性的体味；课后，有了互动的生成和反思的欲求.检审《黄金分割》这一教学行程颇有意义与意味，在咀嚼、回味的同时，更有一些教学思考与感悟油然而生，如今撰文，以飨同仁.

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教学立意唐代王维曾说“凡画山水，意在笔先”.课堂教学亦然！“黄金分割”，究其本质，即为有别于线段中点分割的又一种线段分割.如果说线段的中点分割于学生们而言，在刚进入中学后的不久就已经认识并从本质属性的角度进行了研究，那么，而今的黄金分割又有何独特的、别致的、神奇的“景观”呢？同时，研究的方式方法于中点分割又有何借鉴之处呢？……“站在系统的高度，纳入知识的长河”，这是笔者对这节课的教学最初的教学思路和教学主张.而培植孩子们始终拥有对自然科学的好奇之心，对数学问题的探究之意，对宇宙万物的观赏之乐，是我对整节课教学坚定不移的教学立意.

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教学行程2.1

好奇之心——浓郁的兴趣与问题的意识教师：同学们，我们曾经在七年级学习和研究了线段的中点（如图1），点P将线段AB分割成相等的两部分，我们称点P为线段AB的中点.此时，，.我们看见了一种均衡、对称、和谐之美.那么，我们又是如何找到一条线段的中点呢？学生1：对折（简洁之法）.学生2：刻度尺度量（老百姓都知道的方法）.学生3：尺规作图（不是一般的老百姓）.

教师：用一副磨损了刻度的三角板，辅以推平行线法，也可以找到线段的中点；甚至只用一副圆规，都能作出线段的中点.不过，这些不是今天这节课的主题，今天想要给大家介绍的，是一种新的线段的分割——黄金分割.（板书课题）教师：这种如黄金般贵重的分割究竟是怎样的一种分割呢？同学们，你们请看（如图2）：如果点P将线段AB分割成两条线段AP（较长）和PB（较短），恰好能使，那么就称线段AB被点P黄金分割（golden

section），点P叫做线段AB的黄金分割点，线段AP与AB的比叫做黄金比.以上两种分割有何区别呢？学生4：线段的中点分割是分得的线段相等，而黄金分割是分得的线段成比例.教师：观察、归纳得很好！我想问问同学们，关于黄金分割，你们特别想了解、知道一些什么呢？（学生们沉吟、思考、交互窃议……）学生5：我想知道黄金分割有什么用？

学生6：我想了解怎么找到黄金分割点？找中点的各种方法在这里是不是都可行？学生7：有什么办法可以计算出黄金比等于多少？学生8：凭什么取“黄金”这么“伟大”的名称？……教师：同学们，你们提出的这些问题都十分有意义、有价值！老师像你们这般年纪初次接触黄金分割的时候，也有很多的想法，更有十二分的好奇心.Ok！现在，让我们带着这些个问题，更深入地走进黄金分割.但是，从哪一个问题着手解决比较科学合理呢？（学生们再次进入思考状态……终于达成共识.）学生们：老师，可能要先算出黄金比！【教学思考】新事物总是会让人充满好奇之心，特别的愿闻其详，尤其是对于青春年少的学生们而言.“黄金分割”概念定义的本身，探索意义并不重大，重要的是由此接踵而来的“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”，以及在这一行程中彰显的数学的思维方式.黄金分割与中点分割在研究方法上可谓一脉相承，这就使得“站在系统的高度，纳入知识的长河”的教学主张成为可能并得以实现.浓郁的兴趣与问题的意识弥足珍贵，想必法布尔10卷本的《昆虫记》、牛顿的万有引力定律、爱迪生的诸多发明，……都源自于对自然万物的好奇之心.2．2探究之意——科学的态度与理性的精神教师：好，这就一个问题出来了：如图2，若，求（或）的值.（学生们宁静地独立思考，探索问题解决的途径；教师密切地巡梭、观察，撷取学生们思维的火花，并选择三位有代表性思想的同学上黑板板演他们的解题过程.）学生9：设AP=x，PB=y，则，但是，出现困顿，几乎无以为继.学生10：设AP=1，PB=x，则，于是，，得到学生11：设AB=1，PB=x，则

……教师：很多同学都想到应用代数方程的思想来解决此问题，这个切入口合理科学，值得称道.但是，我们也发现，以上展示的各种方法，其实是各有千秋并且有良莠之分的.现在，我们需要从数学理性的角度来领略、品味和剖析.我们不妨思考这样一个问题：以上三种方法中对于最终要求的黄金比，分别与假设中的未知数是什么关系呢？学生12：第一种方法黄金比为；第二种方法黄金比为x；第三种方法黄金比为（或者）.教师：如此看来，我们的终极目标是需要从以上方程中分别求得、x、（或者）的值才是.显然，第二种方法更让我们可以简捷、明快地得到答案，因为黄金比就是假设的未知数x.而第一、二种方法，都有一个“拐弯抹角”的过程.尤其是第一种方法，在求解的过程中，最好将看成一个整体，将方程变形为一个关于的二次方程（教师略作板演以昭示学生们）.看来在理解问题的基础上，理性地选择适切的方法才是科学的态度.那么，是否还有同样便捷的方法呢？学生13：假设AB=1，AP=x，得到，此时的未知数x也为黄金比.教师：真不错！基于以上的分析、思考与计算，我们得到了黄金比为.现在，接下来又有一个问题应该可以得到解决了，你们认为是哪一个问题呢？学生们：找黄金分割点.教师：回顾中点的找寻，折、度量、尺规……等等，各种方法在此都可行吗？哪一种方法马上可以成就呢？学生14：我觉得用度量法可以马上找到一条线段的黄金分割点.比方说线段AB长为1，就量出AP长为0.618；AB为2，就量出AP长为1.236；……总之，AP的长为0.618AB.教师：Wonderful！(板书呈现：∵.∴)

那么，从点B出发度量BP=0.618AB可以吗？学生们：（恍然）噢！可以的，线段的黄金分割点有两个.教师：同学们，我建议让我们继续深入下去思考，如何用尺规做出线段的黄金分割点.（学生们饶有兴味地再一次进入研究状态.直尺圆规双管齐下，手脑并用不得要领，显然不能一蹴而就.略待片刻后，教师缓缓的声音轻轻地提示：关键是作出！……终于，一个、两个、三个……成功者愈来愈多，教师选择三位有代表性思想的同学上黑板呈现他们的作图过程，并一一阐述他们的作图依据.）学生15：不妨假设AB=2，那么只要作出即可.作CB⊥AB于点B，使，连结AC，截CD=CB，再截AP=AD，则点P即为线段AB的黄金分割点(如图3).学生16：作CB⊥AB于点B，使CB=2AB，连结AC，截CD=AB，则，作AD的中垂线，垂足为E，截AP=AE，则点P即为线段AB的黄金分割点(如图4).学生17：作CB⊥AB于点B，使CB=2AB，连结AC，作AC的中垂线，垂足为D，作AB的中垂线，垂足为E，截DF=AE，再截AP=AF，则点P即为线段AB的黄金分割点(如图5).

教师：让我们为他们的聪颖和智慧喝彩、鼓掌！教师：同学们，想不想看看如何用“折”的方法找到黄金分割点呢？（学生们兴致盎然，翘首以待.教师出示两个以“折”找黄金分割点的方法，以师生共同分享、研判、求真……，折1即时解决，折2留待课后同学们继续研究.）折1：如图6，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．折2：如图7，第一步：先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；第二步：折出矩形BCFE的对角线BF；第三步：将AB边折到BF上，得到折痕BG，点G为线段AD的黄金分割点（AG>DG）

（图6）

（图7）

【教学思考】数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，在数学学习活动过程中逐步积累.帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标.黄金比的求解，宏观上在于建立代数方程模型，此为问题解决之关键所在；微观上要思辨地找寻适切的未知数假设手段.质疑、辨析、归纳的过程，正是数学思维能力提升的渠道.黄金分割点的确定，是一个有“序”的思维渐进与提升过程——量、作、折，均立足于黄金比.散漫的找寻不是科学的态度，理性的求索才是康庄大道.数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，学生们在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，才能逐步经历、体验、感悟、内化数学思想与方法.2．3观赏之乐——神奇的景观与无限的遐想教师：黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，都有许多神奇的景观.两千多年前，柏拉图曾在雅典帕特农神庙旁如是说：“God

eternally

geometrizes”上帝是一位几何学家.请同学们欣赏神奇的0.618！（图片展示）——著名画家达•芬奇的名画《蒙娜丽莎》；文明古国埃及的金字塔；维纳斯女神；脚穿足尖鞋的芭蕾舞演员；（此时，教师戏谑地声称自己的身段与0.618相去甚远，故而今天不仅穿了高跟鞋，而且穿上腰节线较高的外套，以调整自身黄金分割点的位置，尽量给在座的同学们以美的感受.）小提琴是一种造型优美、声音诱人的弦乐器，它的共鸣箱的一个端点正好是整个琴身的黄金分割点；（此时，教师拿出京剧乐器三大件中的月琴，丝弦轻拨，一段江浙民调“采茶舞曲”流淌而出.同时，让学生们体味在琴弦两端弹拨，不是过于尖锐就是过于沉闷，唯有在琴弦的0.618处泛音，奏出的声音最为悦耳.）摄影作品之美——这两幅摄影作品，你觉得哪一幅更加漂亮？摄影与黄金分割：画面的主体基本位于横向线条与纵向线条的黄金分割位置；黄金分割在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法；

……（此时，大屏幕呈现）早在公元前六世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯，就发现了在这种分割状态下存在一种和谐之美.后来古希腊美学家柏拉图正式将此称为黄金分割，并一直被认为是“最美丽”的几何比率.正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割".（学生们沉浸在观赏的愉悦之中，并对科学研究充满了遐想……）教师：同学们，今天我们认识了一种新的分割，发现了一种新的比值，感受了一种新的数学之美.但是，有更多的关于黄金分割的研究值得大家深入其中.同时，伴随着中点分割以及黄金分割，还有其他许多的分割与比值值得我们关注，比方说也是一个很有趣的比.……最后想要和同学们说的一句话是：比黄金更贵重的是——对自然科学的好奇之心、对数学问题的探究之意、对宇宙万物的观赏之乐.【教学思考】《数学通报》2006年第45卷第6期，杨乐夫人黄且园女士的文章《一位数学家的艺术之路——记王元教授》中，王元先生如是说：什么是好的数学？评价数学的标准是什么？“数学的评价标准和艺术一样，主要是美学标准，美学对物理科学也很重要，但对数学，它是第一标准.黄金分割何以冠之如此“恢弘”之称谓，是学生们在最初的教学时段提出的一个极好的问题.其源之于黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，以及大自然呈现的各种神奇景观，在给于学生们惊奇震撼、叹为观止的同时，也给了学生们无限的遐想与科学的信仰，善莫大焉！

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教学反思3.1

关注数学人教版六年级教材中有关于“黄金比”的阅读材料（宁波市小学使用人教版教材，初中使用浙教版教材，高中使用人教版教材），学生们曾经从欣赏的角度对此有所了解.浙教版九年级教材再次进入此知识范畴，在相似三角形一章专门设置一节课“黄金分割”.如果说小学教学着重于视觉、直观、描述、欣赏的层面，那么，而今中学教学理应从系统、逻辑、理性、研究的层面，给予学生们从认知视角、研究方法、思维高度等诸方面以数学的、科学的感受与体察.仔细研读教材，“黄金分割”这一节课内容丰厚且脉络清晰，学生们将历经一个完整的认知、研究过程：何为黄金分割？黄金比为几何？如何作出黄金分割点？黄金分割有何之用？研究的过程不仅是学生们积累数学活动经验的过程，更是数学思想方法潜移默化培植、渗透、内化的过程.类比中点分割迁移黄金分割；运用代数思想建立方程模型；思辨优化方案实现哲学思考；交融手脑并用达成问题解决；……学生们只有在“做”和“思考”之中，才能最有效地领略和把握数学的精神和真谛.而且将线段的分割，及至平面图形（三角形中线、高线、角平分线、中位线等）的分割、空间图形的分割，纳入到知识系统长河中去，为后续的学习和研究，撒下希望的种子.3.2

关注学生美国教育心理学家奥苏贝尔的学习理论：假如让我把全部的教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并因此进行教学.学生们在七年级已经有线段中点分割的研究经验，包括中点的定义、中点的特性、画（作）中点的各种方法、中点在数学领域或生产生活中的应用.黄金分割的研究与之一脉相承但又更具挑战、更富魅力.概念的内涵昭示：前者是分割所得的线段相等，后者是分割所得的线段成比例；进一步量化的研究揭示：前者分割所得线段之比为1，后者分割所得线段的之比为著名的0.618；分割点的找寻过程发现：两者都可以尝试用“量”、“作”、“折”等方法得到.类比、对照、实践、归纳的结果，引发学生们自动建构分割问题研究的科学方法.除此以外，学生潜在的运用代数思想建立方程模型的能力，学生储备的一元二次方程的求解能力，学生内存的尺规作图以及以往的诸多经验等，都是黄金分割研究的保障和支撑.更有意义的是，学习活动的过程也是对以往知识的一次综合性检审与验收.值得关注的是，于学生们而言，无论黄金比的求得，还是黄金分割点的找到，都是学生们在独立思考、交往互动、合作交流的基础上获得并共享，比之由教师展示、传授、教导，那是有着天壤之别的，这与美国学者埃德加.戴尔(EdgarDale)提出的“学习金字塔(ConeofLearning)”理论交相印证.（学习金字塔理论：不同的学习方法达到的学习效果不同，研究表明在两周之后，学生对知识的保持率，从5%—90%不等.用耳朵听讲授，知识保留5%；用眼去阅读，知识保留10%；视听结合，知识保留20%；用演示的办法，知识保留30%；分组讨论法，知识保留50%；练习操作实践，知识保留75%；向别人讲授相互教，快速使用，知识保留90%.）基于这样的思考与认识，必然会导致教师教学行为和学生学习行为的超越.3.3

关注教学顺应学生们的思维走向、追求自然本真的教学氛围，是一种美好愉悦的境界.有没有这样的一种境地：师生共同进入一种忘我的痴迷状态，沉浸于数学本体的领略与探索之中，数学问题犹如强大的磁石吸引着每一个人，并将他们拖进她的磁场.没有任何的桎梏，也没有任何的羁绊.人人均为数学学习和研究的同志者和合作者.EnjoyEverybody！义务教育数学课程标准（2011年版）解读中引用了这样一句话：Whatisthekeyinmathematicsandmathematicaleducation?——Theproblemisthekey!由中点分割引出黄金分割，教学从问题“关于黄金分割你想知道些什么”开始启航，循着学生们的需求与愿望开展、组织教学，并在逐个问题解决的行进过程中，不断倾听——方法的多样性；不断思辨——方案的优质性；不断尝试——问题解决的可行性；……合作交流是因为同伴互助、集思广益的需要；独立思考是缘于自由思想、独立精神等诸多良好品德养成的必须.唯有适切的，才是合理的；唯有自然的，才是真正永恒的.孟子曰：教亦多术也！但是无论如何，数学课堂教学也应该崇尚行云流水般的自然流畅而非任何流于形式的“作秀”；还应该给予学生以广阔的自由纯真的空间而非人为的非自然的设置；更应该还给数学以其理性自然的真面目而非过于矫情的人文渗透.为人师者须得明白，“黄金分割”只是一个载体而已，我们依托“黄金分割”这个平台，向同学们传输的是一种图形研究的方式方法，一种问题解决的理性思维，一种滋养、一种培植、一种升华.事实上，让孩子们尝试着用研究线段分割的思路去研究平面图形的分割和立体图形的分割，或者涉足更多的知识领域，那正是我们的期望、我们的理想和我们的教学根本宗旨.郑毓信教授在他的《回顾、总结与展望》一文中写道：我们在数学课上所希望学生养成的乃是一种新的精神：这并非与生俱来，而是一种后天养成的理性精神；一种新的认识方式：客观的、定量的研究；一种新的追求：超越现象以认识隐藏于背后的本质（是什么？为什么？）；一种不同的美感：数学美（罗素形容为“冷而严肃的美”）；一种深层次的快乐：由智力满足带来的快乐，成功以后的快乐；一种新的情感：超越世俗的平和；一种新的性格：善于独立思考，不怕失败，勇于坚持……唯此，才能一步一个脚印，将我们的学生们领上科学之道！

参考文献:[1]裴光亚.

从“高效”课堂说开去.

中学数学教学参考.

2013.5[2]郑毓信.

回顾、总结与展望

中学数学教学参考.

2007.1-2[3