等价无穷小替换,极限的计算

精品文档-下载后可编辑等价无穷小替换,极限的计算1、无穷小极限的简单计算之欧侯瑞魂创作【教学目的】理解无穷小与无穷大的概念；掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；分歧类型的未定式的分歧解法。

2、【教学内容】无穷小与无穷大；无穷小的比较；几个经常使用的等价无穷小等价无穷小替换；求极限的方法。

【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。

难点是未定式的极限的求法。

3、【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。

4、最后归纳总结求极限的经常使用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

5、【授课内容】一、无穷小与无穷大前面我们研究了数列的极限、（、）函数的极限、（、）函数的极限这七种趋近方式。

6、下面我们用暗示上述七种的某一种趋近方式，即定义：当在给定的下的无穷小，即例如,下，。

7、以零为极限，则称是【注意】不克不及把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义：当在给定的下的无穷大，即无穷大量，下，。

8、显然，无限增大，则称时，是都是【注意】不克不及把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。

无穷小与无穷大是相对的，在分歧的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如，所以当时为无穷小，当时为无穷大。

2无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变更过程中，如果则为无穷大，为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。

小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变更趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变更趋势。

无穷小与函数极限的关系:定理1更过程（或）中的无穷小.证：（需要性）设其中令是自变量在同一变则有（充分性）设其中是当时的无穷小，则【意义】（将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理?有界函数与无穷小的乘积是无穷小如：，推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，观察各极限：不成比.极限分歧,反映了趋向于零的“快慢”程度分歧.1定义:设是自变量在同一变更过程中的两个无穷小，且例1证：例2解2经常使用等价无穷小:（；（；（；（；（；（（（（用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如3等价无穷小替换定理：证：例3（；（解:（故原极限=8（原极限=例4错解:正解:=0故原极限例?解:原式三、极限的简单计算代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限，例如；若不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择分歧的方法。

例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。

分解因式，消去零因子法例如，分子（分母）有理化法例如，又如，化无穷大为无穷小法。

例如，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。

由此不难得出又如，（分子分母同除）。

再如，（分子分母同除）。

利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，又如，解：，（无穷小量乘以有界量）。

商的法则不克不及用由无穷小与无穷大的关系,得再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3例5。

利用两个重要极限求极限（例题拜见4例3例分段函数、复合函数求极限例如，解:左右极限存在且相等,【启发与讨论】思考题：解：无界，不是无穷大结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若论？试举例说明.，且，问：能否包管有的结思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不克不及例如当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大，故当时和不克不及比较.【课堂练习】求下列函数的极限（；解：原极限=（求【分析】“”型，拆项。

解：原极限=（；【分析】“抓大头法”，用于型解：原极限=，或原极限（；【分析】分子有理化解：原极限=（【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。

解：=（【分析】“”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。

解：原极限=（解:【内容小结】一、无穷小（大）的概念=6先变形再求极限.无穷小与无穷大是相对于过程而言的.主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.几点注意:(无穷小（大）是变量,不克不及与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但其实不是所有的无穷小都可进行比较。

高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。

等价无穷小的替换:求