等价无穷小替换-极限的计算

精品文档-下载后可编辑等价无穷小替换-极限的计算1、等价无穷小替换-极限的计算无穷小极限的简单计算【教学目的】理解无穷小与无穷大的概念；掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；不同类型的未定式的不同解法。

2、【教学内容】无穷小与无穷大；无穷小的比较；几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；求极限的方法。

【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。

难点是未定式的极限的求法。

3、【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。

4、最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）fX的极限、Xx(xX、X)函数f(X)的极限XXoXXoXXn时，n、n【授课内容】一、无穷小与无穷大定义前面我们研究了X、X)函数这七种趋近方式。

5、下面我们用趋近方式，即n数列x的极限、XnX0X*表示上述七种的某一种衣nXXXo定义：当在给定的X*下，f(x)以零为极限，则称f(x)是X水下的无穷小，即limfX0。

6、*例如,limsinx0,X0函数sinx是当X0时的无穷小函数-是当X时的无穷小.lim-0,Xlim(nn0,数列是当nn时的无穷小【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

7、定义：当在给定的X*下，|fx|无限增大，则称fX是X*下的无穷大，即凹fX。

8、显然，n都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。

无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0ex0,所以ex当xlimex,x时为无穷小，当x时为无穷大。

的关系：变化过程中，如果fx为无穷大，无穷小与无穷大在自变量的同一则丄为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fxfx0，则亠为无穷大。

7fx小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

无穷小与函数极限的关系：定理1lmf(x)=A?f(x)A+(x),其中(x)是自变?X?Xox量在同一变化过程xX(或x)中的无穷小.证：(必要性)o设驭(x)=0,mf(x)=A,令(x)=f(x)-A,则有l?xX?0f(x)A(x).(充分性)设f(x)=A+(x),其中(x)是当x?x时的无穷小，贝Ulimf(x)=lim(A+(x)Alim(x)A.X冷X冷XX。

【意义】(将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);(给出了函数f(x)在X0附近的近似表达式f(x)?A,误差为(X).无穷小的运算性质定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例如,n11时，丄是无穷小，但n个丄之和为1不是无穷小.nn定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如:lim(n-0，limxsin0，lim-sinx0nnx0xxx推论1在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，当x?0时,x,x2,sinx,x2sin1都是无穷小，观察各极限:x2lim0,x2比3x要快得多；x03xlim0xXSinX1,sinx与x大致相同liX2sin1limsin1不存在.不可比.mx0极限不同,反映了趋向于零的快慢”程度不同.定义:设，是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且(如果lim=0,就说是比高阶的无穷小，记作=o();(如果lim-C(C,就说与是同阶的无穷小；特殊地如果lim=：1,则称与是等价的无穷小，记作如果limC(C?0,k,就说是的k阶的无穷小例1证明：当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小证3lim4xtanxan4lim(J)34,故当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小x04x例2x0x当x0时，求tanxsinx关于x的阶数.litanxsinxmtanx1cosx、tanxsinx为x的三阶无穷小常用等价无穷小:当x时,(sinxx；csin(tanxx(arctanxx(ln(1x)x；(ax-1(1cosxIna*2((1x)1(x用等价无穷小可给出函数的近似表达式limli0,即0(),于是有o().1m例如,sinx122xo(x),cosx1xo(x).等价无穷小替换定理:且lim一存在,贝ylimlim一.证:lilim()limlimlim一limm(求limtan22xx01cosx.?(limx0cosx1(当x0时,112cosxx,tan2x故原极x2限imL2x?012x(原极限=2xlimXo122例4错解：求limx0当xxtanxsinxsin32x0时，tanxx,sinX.原式xxlimx0(2x)3=0正解:当x0时,sin2x2x,tanxsinxtanx(1cosx)133,x13故原极限=恥話右x【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。

求mHx0tan5xcosx1sin3xtanx5xo(x),sin3x3xo(x),1cosx-x2o(x.1225x+o(x)+x+o(x)23x+o(x)三、极限的简单计算5o(x)1limxx0x2x32o(x代入法：直接将xxo的xo代入所求极限的函数中去，若fx存在，o即为其极限，例如2x53x42xlimx13x32x43-X。

不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。

例如，l叫心就代不进去了，但我们看出了这是一个2型X3X30未定式，我们可以用以下的方法来求解。

分解因式，消去零因子法例如，lim2x9limx36。

x3x3x分子（分母）有理化法例如，Iim3x2+x7=lim+了=1（分子分母同除匚疋例如，xlim2x22x.x2limx2x153x252x1v2x5xx25535limXx22x44limx2x2x22x2又如，lim-x2x1x化无穷大为无穷小法23+1Zx2x-x+4+2-x214，实际上就是分子分母同时除以x2这个无穷大量ao由此不难得出axlimxbxomQXdxm1nrambnbo0,丘）再如,limn2n3nlimn2n11，（分子分母同除5n）利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限分段函数、复合函数求极限例如，设f(x)思考题当X?0时,ysin例如，又如，limxxarctanx0,(无穷小量乘以有界量)13x2x14x1求limx22x3x1解：商的法则不能用又呵你！m(x22x0,妁V0由无穷小与无穷大的关系,得im仝丄.30,X1X2x3再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3例5。

利用两个重要极限求极限(例题参见4例3例1x，%02求limf(x).x1,x0x0解x0是函数的分段点，两个单侧极限为：limf(x)lim(1x)1,limf(x)lim(x1,x0x0x0x0左右极限存在且相等，故xm)f(x)【启发与讨论】丄是无界变量吗？是无穷大吗？xx解：不能保证.例f(x)但lim鹽limsinx不存在且不为无穷大，故当xy(x)2k，当k充分大时，y(x。

)M.无界，o1(取xo2k(k0,1,2,3,)当k充分大时,Xk,但y(xj2ksin2k0M.不是无穷大.结论：无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若f(x)0，且limf(x)A，问：能否保证有A0的结论？试举例说明.丄x0,f(x)-0xxlimf(x)lim-Axxx思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能例如当x时f(x)丄,g(x)皿都是xx无穷小量xf(x)x解：原极限=lim5x=号，或原极限J阳22时f(x)和g(x)不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限limxcosx解:原极限=lim0匚仝lim。

limx1cosxt3sinxx2cos-d)求00(1cosx)ln(1：)【分析】“0”型，拆项解:(原极限=1叫5x54x43x2lim2x54x13sinx2x21xcos-x=003sinx21xcos-x2x【分析】“抓大头法”，用于-型4/35/34x5x55=!im2T2(lim(x2xx)；【分析】分子有理化解：原极限=何宀=何占弓(2【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算解:=lim2Xx22x1_3lim-x2x2x4x2x24(lim-x0,x29【分析】“0”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子解:原极限limf-x：936（712x0n2x）求lim(22nnn2n).解：n时,是无穷小之和.先变形再求极限.n.12n广丁-111(-2-212limnnnimn2imn2imn(【内容小结】一、无穷小（大）的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.几点注意：（无穷小（大）是变量，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（无界变量未