时间序列分析

第八章时间序列分析第一节时间序列分析概述第二节时间序列分析的水平指标第三节 时间序列分析的速度指标第四节时间序列的长期趋势分析第五节 季节变动与循环波动分析1第一节 时间序列分析概述一、时间序列的概念二、时间序列的种类三、时间序列的编制原则2一、时间序列的概念

社会经济现象总是随着时间的推移而变化，呈现动态性。统计对事物进行动态研究的基本方法是编制时间序列。时间序列又称动态数列或时间数列就是把各个不同时间的社会经济统计指标数值，按时间先后顺序排列起来所形成的统计数列.3时间数列的构成要素：

1.现象所属的时间； 2.不同时间的具体指标数值。

5年份199219931994199519961997职工工资总额（亿元）3939.24916.26656.48100.09080.09405.3年末职工人数（万人）147921484914849149081484514668国有经济单位职工工资总额所占比重(％)78.4577.5577.7845.0674.8176.69职工平均货币工资（元）271133714538550062106470例如：6时间序列的作用：1)计算水平指标和速度指标，分析社会经济现象发展过程与结果，并进行动态分析；2)利用数学模型揭示社会经济现象发展变化的规律性并预测现象的未来的发展趋势；3)揭示现象之间的相互联系程度及其动态演变关系。7年份199219931994199519961997职工工资总额（亿元）3939.24916.26656.48100.09080.09405.3年末职工人数（万人）147921484914849149081484514668国有经济单位职工工资总额所占比重(％)78.4577.5577.7845.0674.8176.69职工平均货币工资（元）271133714538550062106470时间序列的种类9时期数列与时点数列时期指标时间序列具有以下特点：A）可加性，不同时期的总量指标可以相加；B）指标值的大小与所属时间的长短有直接关系。C）指标值采用连续统计的方式获得。10时期数列与时点数列时点指标时间序列具有以下特点：A）不可加性。不同时点的总量指标不可相加，这是因为把不同时点的总量指标相加后，无法解释所得数值的时间状态。B）指标数值的大小与时点间隔的长短一般没有直接关系。在时点数列中，相邻两个指标所属时间的差距为时点间隔。C）指标值采用间断统计的方式获得。111.时间长短（或间隔）一致。时期指标时间序列，各指标值所属时期长短应一致。对于时点指标时间序列，各指标的时点间隔应一致。2.口径一致。总体范围一致；计算价格一致；计量单位一致;经济内容一致3.计算方法一致。

编制时间数列的原则

—指标的可比性：13第二节 时间序列的水平指标时间序列的水平指标1.发展水平

2.平均发展水平序时（动态）平均数3.增长水平逐期增长量累计增长量

平均增长量14一、发展水平和平均发展水平（一）发展水平时间序列中，各指标数值就是该指标所反映的社会经济现象在所属时间的发展水平。15注意：序时平均数，要根据不同数列总量指标数列（具体又分为时期数、时点数）、相对指标数列和平均指标采用不同的计算公式计算！171.总量指标时期数列的序时平均数：算术平均法y1y2yiyn12……

i

……n…时期发展水平18年份199119921993199419951996国内生产总值（亿元）2161826638346344675658478678851991～1996年平均国内生产总值：时期数列19连续每天资料不同持续天内资料不变间隔时间相等间隔时间不等

总量指标时点数列的序时平均数※连续时点数列间断时点数列连续每天资料时点数列：21（1）连续时点数列的序时平均数：算术平均法22日期6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日收盘价16.2元16.7元17.5元18.2元17.8元解：某股票连续5个交易日价格资料如下：【例】23

※连续时点间隔不相等时，采用加权算术平均法对于逐日记录的时点数列,每变动一次才登记一次某企业5月份每日实有人数资料如下：日期1~9日10~15日16~22日23~31日实有人数78078478678325某商品4月份库存情况如下表：3527634持续天数51384329395249库存量(台)21～2324～2829～3014～208～135～71～4日期4月份某商品平均库存量：连续时点数列（持续天内资料不变）26

※（2）间断时点数列序时平均数：29年份199119921993199419951996年底人数（亿人）11.5811.7111.8511.9912.1112.241992年～1996年我国平均人口总数：间断时点数列（间隔相等）例，1991年底～1996年底我国人口总数：30时间3月末4月末5月末6月末库存量（百件）66726468解：第二季度的月平均库存额为：某商业企业2004年第二季度某商品库存资料如下，求第二季度的月平均库存额。【例】3122323间隔年数1837516851140711182899498350年底人数（万人）199519971993199019881985年份1985年～1997年我国第三产业从业人数（年底数）：间断时点数列（间隔不等）32我国第三产业平均从业人数：33时间1月1日5月31日8月31日12月31日社会劳动者人数362390416420单位：万人某地区1999年社会劳动者人数资料如下：【例】解：则该地区该年的月平均人数为：34

2.相对数数列(平均数数列）序时平均数35⑴a、b均为时期数列时⑵a、b均为时点数列时36⑶a为时期数列、b为时点数列时37月份一二三计划利润（万元）200300400利润计划完成程度（﹪）125120150某化工厂某年一季度利润计划完成情况如下：因为

所以，该厂一季度的计划平均完成程度为：【例】38月份三四五六七工业增加值（万元）11.012.614.616.318.0月末全员人数（人）20002000220022002300【例】已知某企业的下列资料：要求计算：①该企业第二季度各月的劳动生产率；②该企业第二季度的月平均劳动生产率；③该企业第二季度的劳动生产率。

39解：①第二季度各月的劳动生产率：四月份：五月份：六月份：40③该企业第二季度的劳动生产率：②该企业第二季度的月平均劳动生产率：413.6423.7644.546月3.54…2.943.213.75流通费用yt23.16…23.9821.3520.82月初库存bt42.11…40.7143.6442.30零售额at5月…3月2月1月月份t某商场05年上半年资料如下：单位：￥106

已知6月末库存款为24.73百万元。

42求：上半年A.商品平均流转次数；(=月均零售额/月均库存额)(=月均流通费用/月均零售额)B.商品平均流通费用率431.2时间序列的水平指标序时平均数平均数相对数间隔不等间隔相等间断持续天内指标不变每天资料连续时点时期序时平均数时间数列44时间序列的水平指标45三、增长量和平均增长量逐期增长量累计增长量二者的关系：⒈⒉4647…—…—……累计逐期增长量发展水平时间48第三节 时间序列的速度指标辅助的水平指标定基增长速度

平均增长速度环比增长速度

平均发展速度定基发展速度环比发展速度增长1％的绝对值二、增长速度一、发展速度速度指标49时间序列的速度指标发展速度指标值也总是一个正数。当发展速度指标值大于0小于1时，表明报告期水平低于基期水平；当发展速度指标值等于1或大于1时，表明报告期水平达到或超过基期水平。一、发展速度50发展速度根据采用的基期不同，可分为：环比发展速度定基发展速度51一、发展速度定基和环比发展速度相互关系

）52【例】某产品外贸进出口量各年环比发展速度资料如下:1996年为103.9%，1997年为100.9%，1998年为95.5%，1999年为101.6%，2000年为108%，试计算2000年以1995年为基期的定基发展速度。(109.57%)53年距发展速度： 报告期水平与上年同期水平对比达到的相对程度。计算年距发展速度是为消除季节变动的影响。计算公式：

54二、时间序列的速度指标：增长水平增长速度=发展速度-100%

增长速度指标值有可能为正数，也有可能为负数，负数即负增长。55时间序列的速度指标定基增长速度与环比增长速度之间没有直接的换算关系。56指现象每增长1﹪所代表的实际数量57例：1949年我国的钢铁产量为25万吨，1950年达98万吨，是上年的3.92倍（即增长292%）；1989年生铁产量是5820万吨，1990年高达6238万吨，比上年增长7.18%。58我国1991～1995年能源生产量及速度指标108.68106.91103.55102.301001187.31110.61072.61048.5—23.0713.245.932.30—8.686.913.552.30—123.07113.24105.93102.30100环比增长1％绝对值定基环比增长速度(%)定基发展速度(%)241901388562152412—累计10305767038032412—逐期增长量(万吨)129034118729111059107256104848发展水平(万吨)19951994199319921991年份59

1)求平均增长速度，只能先求出平均发展速度，再根据上式来求。三、平均发展速度和平均增长速度：2)平均发展速度的计算方法： 几何平均法（水平法） 高次方程法(累计法)60 平均发展速度 —环比发展速度的几何平均数。几何平均法：61平均发展速度为：总速度环比速度62解：平均发展速度为：平均增长速度为：【例】某产品外贸进出口量各年环比发展速度资料如下，1996年为103.9%，1997年为100.9%，1998年为95.5%，1999年为101.6%，2000年为108%，试计算1995年到2000年的平均增长速度。63有关指标的推算:⒈推算最末水平yn：⒉预测达到一定水平所需要的时间n：推算的最末水平与实际资料的最末水平相同。6465各期定基发展速度之和66着眼于各期水平累计之和所以它又称为累计法。当时，表明现象是递增的；当时，表明现象是递减的。2.特点67【例】某公司2000年实现利润15万元，计划今后三年共实现利润60万元，求该公司利润应按多大速度增长才能达到目的。

平均每年增长﹪各年发展水平总和为基期的﹪1年2年3年4年5年………………14.9114.90246.92398.61572.90773.1715.0115.00247.25399.34574.24991.0415.1115.10247.58400.06575.571075.57………………68几何平均法和方程式法的比较:几何平均法研究的侧重点是最末水平；方程法研究的侧重点是各年发展水平的累计总和。1、计算的理论依据不同。2、目的不同。几何平均法侧重考察最末期的水平，方程式法侧重考察现象的整个发展过程，研究整个过程的累计总水平。693、计算方法不同。几何平均法是求几何平均数，实际上只考虑了最初水平和最末水平。方程式法是解高次方程，考虑的是全期水平之和。4、计算结果不一定相同。按照几何平均法所确定的平均发展速度，所推算最末一年的发展水平，与实际资料最末一年的发展水平相同。按方程按照方程式法所确定的平均发展速度，所推算全期各年发展水平的总和与全期各年的实际发展水平的总和相同。705、适用场合不同。若要求长期计划的最后一年应达到什么水平，以水平法计算；若要求整个计划期应完成多少的累计数，一般用累计法计算。6、对数据要求不同。水平法对时期、时点数列都适用，累计法只适合时期数列。71应用平均发展速度应注意的问题平均发展速度指标计算方法的选择要考虑研究目的和研究对象的性质。平均发展速度要和各环比发展速度结合分析。对平均速度指标分析要充分利用原始序列的信息。72第四节 长期趋势分析一、时间序列的构成因素和分析模型二、长期趋势测定方法之时距扩大法三、长期趋势测定方法之移动平均法四、长期趋势测定方法之趋势模型法五、长期趋势测定方法之趋势外推预测73一、构成因素和分析模型（1）长期趋势（T）（2）季节变动（S）（3）循环变动（C）

（4）不规则变动（I）可解释的变动—不可解释的变动（一）时间序列的构成因素：74又称趋势变动—时间序列在较长持续期内表现出来的总态势。—是由现象内在的根本性的、本质因素决定的，支配着现象沿着一个方向持续上升、下降或在原有水平上起伏波动。1.长期趋势变动（T

）752.季节变动（S

）由于自然季节因素（气候条件）或人文习惯季节因素（节假日）更替的影响，时间序列随季节更替而呈现的周期性变动。季节周期：—通常以“年”为周期、—也有以“月、周、日”为周期的—准季节变动。763.循环变动（C

）—时间序列中以若干年为周期、上升与下降交替出现的循环往复的运动。如：经济增长中：“繁荣－衰退－萧条－复苏－繁荣”—商业周期。固定资产或耐用消费品的更新周期等。77经济系统的内部因素自然因素制度性因素规律性低固定周期循环季节波动成因周期规律变动季节变动和循环变动的比较78—由于偶然性因素的影响而表现出的不规则波动。故也称为不规则变动。随机变动的成因：—自然灾害、意外事故、政治事件；—大量无可言状的随机因素的干扰。4.随机变动（I）：79（二）时间序列分析模型1.加法模型：假定四种变动因素相互独立，数列各时期发展水平是各构成因素之总和。2.乘法模型：假定四种变动因素之间存在着交互作用，数列各时期发展水平是各构成因素之乘积。80（三）时间序列的分解分析

时间序列的分解分析就是按照时间序列的分析模型，测定出各种变动的具体数值。其分析取决于时间序列的构成因素。1.仅包含趋势变动和随机变动（年度数据）：乘法模型为：Y=T×I加法模型为：Y=T+I812.含趋势、季节和随机变动：按月（季）编制的时间序列通常具有这种形态。分析步骤：a.分析和测定趋势变动，求趋势值T；b.对时间序列进行调整，得出不含趋势变动的时间序列资料。82c.对以上的结果进一步进行分析，消除随机变动I的影响，得出季节变动的测定值S。2.含趋势、季节和随机变动：831.测定各构成因素的数量表现，认识和掌握现象发展的规律；2.将某一构成因素从数列中分离出来，便于分析其它因素的变动规律；3.为时间序列的预测奠定基础。分解分析的作用：84二、长期趋势的测定方法长期趋势测定的方法： 1.时距扩大法； 2.移动平均法； 3.数学模型法等。851.时距扩大法：是测定长期趋势最原始、最简单的方法。将时间序列的时间单位予以扩大，并将相应时间内的指标值加以合并，从而得到一个扩大了时距的时间序列。作用：—消除较小时距单位内偶然因素的影响，显示现象变动的基本趋势86一、时距扩大法注意的问题P225。872.移动平均法：是测定时间序列趋势变动的基本方法。对时间数列的各项数值，按照一定的时距进行逐期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个派生的平均数时间数列，以此削弱不规则变动的影响，达到对原序列进行修匀的目的，显示出原数列的长期趋势。若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期作为移动的时距长度。882.移动平均法：移动平均法简单移动加权移动平均法奇数项移动偶数项移动89奇数项移动平均法原数列移动平均新数列（1）简单移动平均9091（2）简单移动平均偶数项的中心化简单平均数要经过两次移动计算才可得出。例如：移动项数N＝4时，计算的移动平均数对应中项在两个时期的中间：偶数项移动平均法92由于这样计算出来的平均数的时期不明确，故不能作为趋势值。解决办法：对第一次移动平均的结果，再作一次移动平均。9394偶数项“移动法则”：1.要取“2n+1”项；2.采用“首尾取半法”计算移动平均数；3.作为n+1项的长期趋势值。9596——555814.5528415.8———566074.0566061.0539793.7496847.3—580819200354813320025692702001580780200046933119994404311998n=4n=3移动平均数产量（y吨）年份例如97（2）加权移动平均法：—是对各期指标值进行加权后计算的平均数。注意事项：一般计算奇数项加权移动平均数；权数以二项展开式为基础。中项的权数最大，两边对称，逐期减小。如N=3时，应以（a+b)2=a2+2ab+b2 的系数 1，2，1为权数：9899100如：N=5时，应以 （a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 的系数 1，4，6，4，1为权数：101102移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项数越多，平滑修匀作用越强；由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的项数少，N为奇数时，趋势值数列首尾各少项；N为偶数时，首尾各少项；局限：不能完整地反映原数列的长期趋势，不便于直接根据修匀后的数列进行预测。移动平均法的特点103原数列三项移动平均五项移动平均四项移动平均1043.趋势模型法：也称曲线配合法，它是根据时间序列的数据特征，建立一个合适的趋势方程来描述时间序列的趋势变动，推算各时期的趋势值。建立趋势模型的程序：1.选择合适的模型：

判断方法： a.直接观察法（散点图法） b.增长特征法1051）线性趋势方程—逐期增长量大致相等。2）二次曲线趋势方程—逐期增长量大致等量递增或递减。3）指数曲线方程—环比发展速度近似一个常数。常见的趋势方程106107tyi一阶差分yi-yi-11234na+ba+2ba+3ba+4ba+nb—bbbb直线趋势方程：108tyi一阶差分二阶差分1234na+b+ca+2b+4ca+3b+9ca+4b+16ca+nb+n2c—b+3cb+5cb+7cb+(2n-1)c——2c2c2c抛物线趋势方程：109tyiyi/yi-11234nabab2ab3ab4abn—bbbb指数曲线趋势方程：110

方法：

分段平均法 最小二乘法 三点估计法…3.计算趋势变动测定值—将自变量t的取值，依次代入趋势方程，求出相应时期的趋势变动测定值。2.估计模型的参数111用最小平方法求解参数a、b，有直线趋势的测定：最小二乘法直线趋势方程：经济意义：

数列水平的平均增长量112年份tGDP(y)tyt21986198719881989199019911992199319941995199619971998123456789101112137610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.07610.616982.628344.039328.851045.566886.289145.7115623.2146547.9179937.0216902.4257456.4300677.0149162536496481100121144169合计91182505.81516487.3819【例】已知某省GDP资料（单位：亿元）如下，拟合直线趋势方程，并预测1999年的水平。113解：114预测：11501234567求解a、b的简捷方法0123-1-2-3取时间数列中间项为原点a’-a116当t=0时，有N为奇数时，令t=…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…N为偶数时，令t=…，-5，-3，-1，1，3，5，…117年份ttGDP(y)tyt2198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213-6-5-4-3-2-101234567610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0-45663.6-42456.5-37792.0-29496.6-20418.2-11147.7014452.932566.253981.178873.6107273.5138774.03625169410149162536合计910182505.8238946.7182118解：预测：119（2）指数曲线模型3.计算趋势值。120（2）加权最小二乘法

由于加权系数序列单调递增，因此给予远期数据较小的权数，给予近期数据较大的权数。加权系数对于远期数据起了“打折扣”的作用，折扣的程度取决于W值的大小，W的值越接近于0，折扣作用越大；W的值越接近于1，折扣作用越小；当W=1时，即为普通最小二乘法。121122普通最小二乘与加权最小二乘误差比较：加权最小二乘法有效地减少了近期误差，达到了使近期预测值接近其实际值的目的。二者的根本区别在于误差的分布不同，而不是加权最小二乘法的误差平方和一定小。事实上，加权最小二乘法在减小近期数据误差的同时，往往会扩大远期数据的误差。123五、趋势外推预测测定长期趋势的一个重要目的就是要利用这一长期趋势对未来进行预测。常用的预测方法有：移动平均法最小二乘法指数平滑法1241、移动平均法移动平均法预测值，实际是以移动中项的移动平均数作为预测期的趋势值。需要注意的是，移动平均法只有一期的预测能力。1252.最小二乘法将预测期的自变量值代入拟合的趋势方程进行外推预测。预测：1263.一次指数平滑法1273.一次指数平滑法128值的确定：越大，权数的递减速度越快；反之则越慢。当时间数列的变化较为平稳，或虽有上升和下降，但仅是随机因素影响的结果，应取较小值(0.1~0.3)。若时间数列受上升或下降的趋势性因素的影响较为明显，则应取较大值(0.5~0.8)。可以选择几个进行试算，选用误差最小者。129补充：三点法：在时间数列中找三个间隔相等的点，据以确定趋势模型。

从数列的头部、中部、尾部各取出五项数据，由近及远赋予权数1、2、3、4、5计算加权算术平均数。若为二次曲线，则用R、S、T三个数据来确定；若为直线趋势，则用R、T两个数据来确定，又称“两点法”。130有有131第五节 季节变动与循环波动分析一、季节变动分析二、循环波动分析132一、季节变动分析(一)季节变动含义1、季节变动：在一定时期内由于受自然季节变化或人文习惯因素的影响而形成有规则的周期性的重复变动。2、特征：有规律的变动，按一定的周期重复进行，每个周期变化大体相同，最大周期为一年。133季节变动分析之同期平均法1、同期平均法 以若干年资料数据求出同月(季)的平均水平与各年总月(季)水平，进而对比得出各月(季)的季节指数来测定季节变动的程度。一、季节变动分析1341、季节变动的分析之同期平均法1）直接按月(季)平均法。计算步骤：A、计算各年同月(季)的平均数

(i=1~k年，j=1~12月或j=1~4季)（列平均）B、计算各年所有月份(或季度)的总平均数C、计算季节指数S

I，135例：1）直接平均法：·136

A、计算第i年平均数；（行平均）

B、将历年各月(季)的实际数据同其本年的平均数相比，计算(i表示年度，j表示季或月)季节比率：

C、将各年度同期(月或季)的比率进行简单算术平均，求出季节指数Sj

2）比率按月(季)平均法。计算步骤：1、季节变动的分析之同期平均法1372）比率按月（季）平均法138（2）比率按月平均法季节指数计算表年份第一季第二季第三季第四季合计19990.7950.99381.51550.6957420000.81191.00991.46530.7129420010.83820.95591.36760.83834合计2.44512.95964.34842.246912季节指数%81.5098.65144.9574.90400139趋势剔除法： 在具有明显的长期趋势变动的数列中，为了测定季节变动，必须先将趋势变动因素在数列中加以剔除，而后计算季节比率。 若以移动平均法测定趋势值，则确定季节变动的步骤如下：2、季节变动分析之移动平均趋势剔除法1401）对原时间序列求移动平均数，作为相应时期的趋势值T。2）剔除原数列中的趋势变动T，即将原数列各项除以移动平均数的对应时间数据：。3）以消除趋势变动后的数列S—I计算季节指数，测定季节变动。移动平均