高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用第2章3第3讲函数的奇偶性及周期性

第3讲函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.判断函数奇偶性的步骤(1)求函数的定义域．(2)判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．(3)判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．(4)得出结论．特别地，设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)f(x)g(x)f(g(x))偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4．函数周期性的意义．函数周期性的创新主要以函数图象的对称性为条件．以函数值的求解为目的，解决此类问题的关键是把自变量的取值利用周期性和对称性转化到指定区间内，代入相应的函数解析式求值．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2－x解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．(教材习题改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a]上()A．有最大值4 B．有最小值－4C．有最大值－3 D．有最小值－3解析：选B.法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知选B.法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，所以－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选B.(教材习题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________．解析：当x＜0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．答案：x(1－x)(2016·高考四川卷)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(2)＝__________．解析：因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f(0)＝0，f(x＋2)＝f(x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＋2))＋f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋0＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－4eq\s\up6(\f(1,2))＝－2.答案：－2函数的奇偶性[典例引领]判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x3－eq\f(1,x)；(2)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x＞0，,0，x＝0，,－x2－2，x＜0.))【解】(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－eq\f(1,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x)))＝－f(x)，从而函数f(x)为奇函数．(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．eq\a\vs4\al()判断函数奇偶性的常用方法及思路(1)定义法(2)图象法[提醒]对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．[通关练习]1．下列函数中既是偶函数，又在(－∞，0)上单调递增的是()A．y＝|x|＋1 B．y＝logeq\s\do9(\f(1,2))|x|C．y＝x4 D．y＝2x解析：选B.对于选项A，y＝|x|＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0,－x＋1，x<0))是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减；对于选项C，y＝x4是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减；对于选项D，y＝2x不是偶函数；只有选项B，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,2))x，x>0,log\s\do9(\f(1,2))（－x），x<0))是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，满足条件，故选B.2．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝eq\r(3－2x)＋eq\r(2x－3)；(2)f(x)＝eq\f(1,ax－1)＋eq\f(1,2)(a>0，且a≠1)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x＞0，,x2－x，x＜0.))解：(1)因为函数f(x)＝eq\r(3－2x)＋eq\r(2x－3)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)因为f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝eq\f(1,a－x－1)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,\f(1,ax)－1)＋eq\f(1,2)＝eq\f(ax,1－ax)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(（1－ax）－1,1－ax)＋eq\f(1,2)＝－1＋eq\f(1,1－ax)＋eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))＝－f(x)．即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．函数的周期性[典例引领](1)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为()A．2 B．3C．4 D．5(2)(2017·高考山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．【解析】(1)当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4，共有4个交点．(2)由f(x＋4)＝f(x－2)得f(x＋6)＝f(x)，故f(x)是周期为6的函数．所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)．因为f(x)为R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)．又x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，所以f(－1)＝6－(－1)＝6.从而f(1)＝6，故f(919)＝6.【答案】(1)C(2)6若本例(1)的条件不变，求f(x)(x∈[－2，0))的解析式．解：当x∈[－2，0)，则0≤x＋2<2.所以f(x＋2)＝(x＋2)3－(x＋2)，所以f(x)＝x3＋6x2＋11x＋6.eq\a\vs4\al()函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．[通关练习]1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－eq\f(1,f（x）)，则f(8)的值为()A．－1 B．0C．1 D．2解析：选B.因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为f(x＋2)＝－eq\f(1,f（x）)，所以其周期为4，故f(8)＝f(2×4＋0)＝f(0)＝0.2．若f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（1－x），0≤x≤1，,cosπx，1<x≤2，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,3)))))＝________．解析：因为f(x)的周期为4，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋\f(5,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))＝coseq\f(5,3)π＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,3)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)函数性质的综合应用(高频考点)函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，以选择题或填空题的形式考查，难度为中高档题．高考对函数性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)函数的奇偶性与单调性相结合；(2)函数的奇偶性与周期性相结合；(3)函数的奇偶性与对称性相结合．[典例引领]角度一函数的奇偶性与单调性相结合(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2] B．[－1，1]C．[0，4] D．[1，3]【解析】因为函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1，由－1≤f(x－2)≤1，得－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3，故选D.【答案】D角度二函数的奇偶性与周期性相结合设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2，0)∪(0，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋b，－2≤x<0，,ax－1，0<x≤2，))则f(2019)＝________．【解析】设0<x≤2，则－2≤－x<0，f(－x)＝－ax＋b.f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－ax＋1＝－ax＋b，所以bf(－2)＝f(2)，所以－2a＋1＝2a－1，解得a＝eq\f(1,2)，所以f(2019)＝f(－1)＝－1×eq\f(1,2)＋1＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)角度三函数的奇偶性与对称性相结合已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(2)＝2，则f(2018)＝________．【解析】由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2018)＝f(2＋252×8)＝f(2)＝2.【答案】2eq\a\vs4\al()函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)奇偶性与对称性结合此类问题的求解常用对称性判断函数的奇偶性，再结合单调性、周期性求解．[通关练习]1．(2018·成都市第一次诊断性检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈[0，eq\f(3,2))时，f(x)＝－x3，则f(eq\f(11,2))＝()A．－eq\f(1,8) B.eq\f(1,8)C．－eq\f(125,8) D.eq\f(125,8)解析：选B.由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f(eq\f(11,2))＝f(－eq\f(1,2))＝－f(eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8).2．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0，1]上是增函数，则有()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))解析：选B.由题设知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在[0，1]上是增函数，故f(x)在[－1，0]上也是增函数，综上，函数f(x)在[－1，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))).eq\a\vs4\al()奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法．(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三类常用结论(1)周期性对f(x)定义域内任一自变量的值x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.②若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a.③若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a.(2)对称性①若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(x)＝f(2a－x)．②若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(x)＋f(2a－x)＝2b.(3)函数的对称性与周期性的关系①若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称(b≠a)，那么函数f(x)的周期为2|b－a|.②若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称(b≠a)，则函数f(x)的周期是2|b－a|.③若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称(b≠a)，则函数f(x)的周期是4|b－a|.易错防范(1)f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．(2)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(3)在用定义判断函数的奇偶性时，要注意自变量在定义域内的任意性．不能因为个别值满足f(－x)＝±f(x)，就确定函数的奇偶性．(4)判定分段函数奇偶性时要分段讨论f(－x)与f(x)的关系，只有当所有区间上都满足相同的关系时，才能判定其奇偶性．(5)在求出定义域之前，不能化简函数解析式，否则会使定义域发生变化．1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是()A．y＝－eq\f(1,x) B．y＝log2|x|C．y＝1－x2 D．y＝x3－1解析：选C.函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求．2．(2018·河北沧州模拟)已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2018x3－sinx＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为()A．0 B．1C．2 D．不能确定解析：选A.依题意得a－4＋2a－2＝0，所以af(x)为奇函数，故b＋2＝0，所以b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝0.3．(2018·惠州市第三次调研考试)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x－4），x>2,ex，－2≤x≤2,f（－x），x<－2))，则f(－2019)＝()A．1 B．eC．eq\f(1,e) D．e2解析：选B.由已知可得，当x>2时，f(x)＝f(x－4)，故其周期为4，f(－2019)＝f(2019)＝f(2018＋1)＝f(1)＝e.4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为()A．(1，3) B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.f(x)的图象如图．当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈?.当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．故x∈(－1，0)∪(1，3)．5．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0，2]上是递增的，则f()，f(－1)，f(0)的大小关系是()A．f(0)<f()<f(－1)B．f()<f(0)<f(－1)C．f(－1)<f()<f(0)D．f(－1)<f(0)<f()解析：选A.由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)f(x)为偶函数，所以f()＝f()＝f()，f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0，2]上是单调递增的，所以f(0)<f()<f(1)，即f(0)<f()<f(－1)．6．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.解析：依题意得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数f(x)是奇函数，得f(2)＝－f(－2)＝12.答案：127．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝________．解析：设x>0，则－x<0，又因为当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，所以f(－x)＝ex－1＋x，因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝ex－1＋x，综上可知，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e－x－1－x，x≤0，,ex－1＋x，x>0.))答案：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e－x－1－x，x≤0，,ex－1＋x，x>0))8．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋1，－1≤x<0，,\f(bx＋2,x＋1)，0≤x≤1，))其中a，b∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，则a＋3b的值为________．解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f(－1)＝f(1)，即－a＋1＝eq\f(b＋2,2).①又因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)a＋1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，所以－eq\f(1,2)a＋1＝eq\f(b＋4,3).②联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝－10.答案：－109．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数．(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，则f(x)＝f(－x)＝x；进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x∈[－1，0]，,x，x∈（0，1），,－x＋2，x∈[1，2].))10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)．从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))＝4.1．(2018·平江一中期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2017)＝()A．4 B．2C．－2 D．log27解析：选C.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，所以f(2017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝－f(－1)，因为－1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))，且x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))时，f(x)＝log2(－3x＋1)，所以f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，所以f(2017)＝－f(－1)＝－2.2．(2018·安徽池州模拟)奇函数f(x)满足f(1)＝0，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则eq\f(2x－1,f（x）－f（－x）)<0的解集为()A．(－1，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析：选B.由于函数f(x)是奇函数，所以eq\f(2x－1,f（x）－f（－x）)<0等价于eq\f(2x－1,2f（x）)<0，由于f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上也单调递减，且f(－1)＝－f(1)＝0，所以当x∈(－∞，－1)∪(0，1)时，f(x)>0；当x∈(－1，0)∪(1，＋∞)时，f(x)<0，又因为在(－∞，0)上2x－1<0，在(0，＋∞)上2x－1>0，综上所述，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．若关于x的函数f(x)＝eq\f(tx2＋2x＋t2＋sinx,x2＋t)(t>0)的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，则实数t的值为________．解析：由题意，f(x)＝eq\f(tx2＋2x＋t2＋sinx,x2＋t)＝t＋eq\f(2x＋sinx,x2＋t)，设g(x)＝eq\f(2x＋sinx,x2＋t)，可知g(x)是奇函数，又函数f(x)最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，所以M－t＝－(N－t)，