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第12章无穷级数【学习目标】熟练掌握常数项级数的概念和性质。熟练掌握正项级数和交错级数的概念及审敛法。理解绝对收敛与条件收敛的概念。掌握幂级数的收敛性及和函数的运算。初步掌握将函数展开成幂级数的方法。了解傅里叶级数的概念、收敛定理。了解函数的傅里叶展开。12.1常数项级数的概念和性质12.2常数项级数的审敛法12.3幂级数12.4函数的幂级数展开及其应用12.5*傅里叶级数12.1常数项级数的概念和性质人们在认识事物数量方面的特性时，往往有一个由近似到精确的过程。在这种认识过程中，常常会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题。这就是我们要讨论的无穷级数问题。本节主要讨论常数级数的概念和性质。12.1.1常数项级数的概念12.1.2收敛级数的基本性质12.1.1常数项级数的概念12.1.2收敛级数的基本性质推论若加括号所成的级数发散，则原来级数也发散。推论若级数的一般项不趋于零，则该级数必定发散。12.2常数项级数的审敛法一般的常数项级数，它的各项可以是正数、负数或零。本节先来讨论两类特殊的常数项级数，即正项级数和交错级数的概念及审敛法。然后，进一步讨论一般的常数项级数的收敛性问题。12.2.1正项级数及其审敛法12.2.2交错级数及其审敛法12.2.3绝对收敛与条件收敛12.2.1正项级数及其审敛法注（1）定理1～定理3只适用于判定正项级数的收敛性。（2）若用比值审敛法判定正项级数发散，必有其一般项不趋于零。12.2.2交错级数及其审敛法12.2.3绝对收敛与条件收敛12.3幂级数前面我们讨论了常数项级数的收敛性问题，从本节开始讨论函数项级数的收敛性问题。幂级数是函数项级数中简单而常见的一类级数。本节将介绍幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的概念与求法，并利用和函数的基本性质求幂级数的和函数。12.3.1函数项级数的概念12.3.2幂级数及其收敛性12.3.3幂级数的运算性质12.3.1函数项级数的概念12.3.2幂级数及其收敛性12.3.3幂级数的运算性质12.4函数的幂级数展开及其应用12.4.1泰勒级数12.4.2直接展开法12.4.3间接展开法12.4.1泰勒级数12.4.2直接展开法12.4.3间接展开法利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数，这种方法被称为间接展开法。12.5*傅里叶级数三角级数是由三角函数组成的函数项级数。本节将讨论由正弦函数、余弦函数和常数组成的傅里叶级数。傅里叶级数是一类重要而实用的三角级数，在物理、电子工程技术等方面有着广泛的应用。12.5.1三角级数三角函数系的正交性12.5.2函数展开成傅里叶级数12.5.3正弦级数和余弦级数12.5.4一般周期函数的傅里叶级数12.5.1三角级数三角函数系的正交性12.5.2函数展开成傅里叶级数1．周期为的函数的傅里叶级数2．

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