反比例函数 的教学设计与教学反思报告

《反比例与函数》———人教版九年级数学下册第二十六章《反比例函数》吴莎【教材分析】《反比例函数》属于《数学课程标准》（实验稿）中“数与代数”领域的基本内容.函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数之一，它是在八年级上学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再一次研究具体的初等函数问题，而对反比例函数的理解以及用函数观念解决实际问题的经验，对今后二次函数以及高中阶段其它函数的学习会奠定扎实的基础.通过本章的学习使学生进一步理解函数的内涵，并感受反比例函数是刻画现实世界变化规律数学模型，能应用反比例函数来解决实际问题．本章的主要的知识有：反比例函数的概念、图象、性质；反比例函数的应用.

本节章的内容主要是反比例与函数思想的结合，教材设计的基本思路是从现实生活中大量的反比例关系中抽象出反比例函数概念，让学生进一步感受函数是反映现实世界中变量关系的一种有效数学模型，逐步从对具体反比例函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识与实际问题的解决.同时，本章的学习内容，直接关系到与其他章节内容的综合学习，也是继续学习其它各类函数的基础.另外，其中蕴涵的类比、归纳、对应和函数的数学思想方法，对学生今后研究问题、解决问题以及终身的发展都是非常有益的.无论从一次函数到反比例函数，再到二次函数，甚至高中的其它各类函数，都是函数的某种具体形式，都是为近一步深刻理解函数的内涵提供了一个平台.随着学习的函数类型的增多，学生对函数内涵的理解也会逐步提高，可以说对函数内涵的理解是一个渐进的过程，需要较长的时间.根据以上原因本章节的教学重点应为：经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念以及与实际问题相结合的运用.而对于具体的反比例函数来说，虽然其自身具有独特含义，但其中蕴涵的对应、函数数学思想方法是具有普遍性的，在教学时尤其要注重对这些数学思想方法的渗透.本章分两节，内容包括：1、反比例函数的概念、图象和性质；2、用反比例函数解决实际问题，以及反比例函数的实际问题和其他函数的综合应用.本章共安排三个小节的内容，教学约需6个课时，具体安排如下（仅供参考）：1、26.1反比例函数3课时2、26.2反比例函数与实际问题及函数综合2课时3、全章小结1课时本章知识结构框图反比例函数反比例函数（k为常数，k≠0）实际应用类比正比例函数、一次函数和二次函数，加强与物理等学科之间的联系现实世界中的反比例关系函数的图象和性质【学情分析】在前面的学习过程中，学生对函数的概念，函数所反映的是两个变量之间的关系的内涵有了一定的了解，在已经学习了正比例函数、一次函数后，又一次学习函数，根据变量间的不同变化情况让学生们认识到了另一种函数-----反比例函数.九年级学生已经具备了思维的完备性、深刻性、实践性、批判性等思维品质，但尚待提高，学生抽象概括能力也有限，对函数的意义的理解、数量变化规律的把握还有一定的难度，特别是对抽象的表达式中的变量的取值理解不深.在反比例函数概念的形成过程中，应注重充分利用学生已有的生活经验与背景知识，创设丰富的现实情境，同时充分让学生自主学习与合作交流相结合，通过举例、说理、交流等形式，内化、升华、巩固其知识，让学生揭示规律，形成能力.【深度学习目标】1、使学生理解并掌握反比例函数的概念2、能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式3、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想4、会用描点法画反比例函数的图象5、结合图象分析并掌握反比例函数的性质6、体会函数的三种表示方法，体会数形结合及转化的思想方法7、利用反比例函数的知识分析、解决实际问题8、渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力,利用反比例函数的知识分析、解决实际问题9、提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型10、从变量角度进一步加深对函数的认识11、反比例函数的增减性、渐进性和对称性等性质的理解【学习重点】理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题【学习难点】分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题【学习过程】学习目标学习活动持续性评价目标1第一课时一、创设情境、导入新课[在多媒体环境下复习（课件，网络视频）]1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？问题提出：电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U＝220V时，（1）你能用含有R的代数式表示I吗？（2）利用写出的关系式完成下表：R/Ω20406080100I/A当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？（3）变量I是R的函数吗？为什么？学生小组合作讨论。概念：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零。学生探究反比例函数变量的相依关系，领会其概念。评价标准：能否激发学生与物理学科的横向联系，是否积极书写和回答答案问题和展示的效果是否好评价者：老师、学生目标1目标2目标3二、联系生活、丰富联想做一做1.一个矩形的面积为20，相邻的两条边长分别为xcm和ycm。那么变量y是变量x的函数吗？为什么？学生先独立思考，再进行全班交流。2.某村有耕地346.2公顷，人数数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗？为什么？学生先独立思考，再同桌交流，而后大组发言。3.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：x-2-113…y2-1……（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表。学生先独立练习，而后再同桌交流，上讲台演示。评价者：老师、学生学生互相学习，纠错和点评教师点评目标2目标3三、举例应用创新提高：例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数（1）（2）（3）xy＝21（4）（5）（6）（7）y＝x－4分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（k为常数，k≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式例2．（补充）当m取什么值时，函数是反比例函数？分析：反比例函数（k≠0）的另一种表达式是（k≠0），后一种写法中x的次数是－1，因此m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特别注意不要遗漏k≠0这一条件，也要防止出现3－m2＝1的错误。解得m＝－2例3．（补充）已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5求y与x的函数关系式当x＝－2时，求函数y的值分析：此题函数y是由y1和y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、y2与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同的字母表示。略解：设y1＝k1x（k1≠0），（k2≠0），则，代入数值求得k1＝2，k2＝2，则，当x＝－2时，y＝－5评价者：老师、学生评价标准：学生积极性是否高，书写和回答答案问题和展示的效果是否好目标2目标3四、随堂练习1．苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为2．若函数是反比例函数，则m的取值是3．矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数解析式为4．已知y与x成反比例，且当x＝－2时，y＝3，则y与x之间的函数关系式是，当x＝－3时，y＝5．函数中自变量x的取值范围是评价活动：本节课自我评价：（学生完成后回答）（1）对本节课自己的总体表现打分（满分100分）（2）我的收获：（3）我的疑惑：评价者：老师、学生评价标准：学生积极性是否高，书写和回答答案问题和展示的效果是否好目标1目标4目标5目标6第二课时一、课堂探究（创设情境，引入课题）[在多媒体环境下复习（几何画板使用）]探究一：在同一坐标系中画出反比例函数和的图象．问题1：由于反比例函数中，当时，函数无意义，为了使描出的点具有代表性，因而在列表时，应该怎样取点？问题2：反比例函数中，因为，故，那么函数的图象与x、y轴之间有怎样的关系？二、课堂探究2（分组讨论，合作探究）探究二：比较和的图象，它们有什么共同特征？它们之间有什么关系？观察函数和的图象，探究对于反比例函数的图象具有哪些性质？它可能与x轴、y轴相交吗？归纳反比例函数的性质：三、反馈训练（运用新知，拓展训练）1．（1）函数在_________象限，在每个象限内y随x的增大而__________； （2）函数在_________象限，在每个象限内y随x的增大而__________．变式：函数在_________象限，当x>0，y随x的增大而__________．2．下列反比例函数：，，，其中，图象位于第一三象限的是___________________；在每一个象限内，y的值随x的增大而增大的函数是______________________．3．已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？评价者：老师、学生评价标准：学生积极性是否高，书写和回答答案问题和展示的效果是否好评价者：老师、学生评价标准：学生积极性是否高，书写和回答答案问题和展示的效果是否好目标4目标5已知反比例函数，分别根据下列条件求出字母k的取值范围?（1）函数图象位于第一、三象限?（2）在第二象限内，y随x的增大而增大?评价活动：本节课自我评价：（学生完成后回答）（1）对本节课自己的总体表现打分（满分100分）（2）我的收获：（3）我的疑惑：学生互相学习，纠错和点评教师点评目标4目标5目标6第三课时一、课堂探究1（问题探究，自主学习）[在电脑上用画图软件画图对比比较]（1）点A(-2，y1)与点B(-1，y2)都在反比例函数的图像上，则y1与y2的大小关系为()A．y1＜y2 B．y1＞y2C．y1＝y2 D．无法确定（2）已知反比例函数（）与一次函数的图象有交点，则k的范围是______．（3）若，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．二、课堂探究2（分组讨论，合作探究）（1）在函数的图象上有三点（，），（，），（，）其中＜0＜＜，则，，的大小关系为_____________．（2）已知反比例函数，当时，；当时，y的取值范围是；当时，x的取值范围是．（3）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A（-2，1），B（1，n）两点=1\*GB3①求反比例函数和一次函数的解析式；=2\*GB3②根据图像写出一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围．oo（4）如图：A，B是函数的图像上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，则△ABC的面积是．（5）已知一次函数的图像与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像交于C、D两点，如果点A坐标为（2，0），点C、D分别在第一、三象限内，且，试求一次函数和反比例函数的解析式．三、反馈训练1．已知反比例函数，当时，其图象的两个分支在第二、四象限内；当时，其图象在每个象限内随的增大而减小．2．已知P（1，）在双曲线上，则双曲线在第_________象限，在每个象限y随x的增大而________．3．下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是()A．B．C．D．4．已知一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数的图象在（） A．第一、二象限 B．第三、四象限C．第一、三象限 D．第二、四象限．5．下列函数中，图象大致为如图的是（）A．（x<0）B．（x>0）C．（x>0）D．（x<0）6．已知圆柱体的侧面积为80cm2，若圆柱底面半径为r(cm)，高线长为h(cm)，则h关于r的函数的图象大致是()A．B．C．D．7．反比例函数的图象过点（2，-2），求函数y与自变量x之间的关系式，它的图象在第几象限内？y随x的减小如何变化？请画出函数图象，并判断点（-3，0），（-3，-3）是否在图象上？8．如图所示，一个反比例函数的图象在第二象限内，点A是图象上的任意一点，AM⊥x轴于M，O是原点，若，求该反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围．评价者：老师、学生评价标准：学生积极性是否高，书写和回答答案问题和展示的效果是否好评价者：老师、学生评价标准：学生积极性是否高，书写和回答答案问题和展示的效果是否好评价者：老师、学生评价标准：学生积极性是否高，书写和回答答案问题和展示的效果是否好学生互相学习，纠错和点评教师点评评价活动：本节课自我评价：（学生完成后回答）（1）对本节课自己的总体表现打分（满分100分）（2）我的收获：（3）我的疑惑：目标7目标8目标9目标10第四课时一、课堂探究1（问题探究，自主学习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(千帕)是气体v(立方米)的反比例函数，其图像如下图：(1)观察图像经过已知点，⑵求出它们的函数关系式，⑶当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？二、课堂探究2（分组讨论，合作探究）问题：市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形储存室．⑴储存室的底面积S（单位：m2）与其深度（单位:m）有怎样的函数关系？⑵公司决定将储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深？⑶当施工队按（2）中的计划挖进到15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的储存室的底面积应改为多少才能满足需要（保留两位小数）．三、反馈训练1（1）已知某矩形的面积为20cm2，写出其长y与宽x之间的函数表达式；（2）当矩形的长为12cm时，求宽为多少？当矩形的宽为4cm，求其长为多少？（3）如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少？．2．某汽车油箱的容积为70升，小王把油箱注满后准备驾驶汽车从县城到300千米外的省城接客人，在接到客人后立即按原路返回，请回答下列问题：（1）油箱注满后，汽车能够行驶的总路程a(单位：千米)与平均耗油量b(单位：升／千米)之间有怎样的函数关系？（2）小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达省城，在返程时由于下雨，小王降低了车速，此时每行驶1千米的耗油量增加了一倍．如果小王一直以此速度行驶，油箱里的油是否够回到省城？如果不够用，至少还需加多少油？评价活动：本节课自我评价：（学生完成后回答）（1）对本节课自己的总体表现打分（满分100分）（2）我的收获：（3）我的疑惑：评价者：老师、学生评价标准：学生积极性是否高，书写和回答答案问题和展示的效果是否好学生对知识方法的运用是否到位目标8目标9目标10目标11第五课时一、课堂探究1（问题探究，自主学习）学生自主探究题：某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？二、课堂探究2（分组讨论，合作探究）为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知，药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物8分钟燃毕，此室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为：________，自变量的取值范围是：_________；药物燃烧后y与x的函数关系式为：__________；（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，学生才能回到教室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？三、反馈训练1．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？2．制作一种产品，需先将材料加热到达60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？课堂训练：1．一定质量的二氧化碳，其体积V（是密度的反比例函数，请你根据图中的已知条件，下出反比例函数的关系式，当V=1.9时，=．2．三角形的面积为8cm2，这时底边上的高y（cm）与底边x（cm）之间的函数关系用图像来表示是．3．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图3所示，当时，气体的密度是（）A．5kg/m3 B．2kg/m3C．100kg/m3 D．1kg/m34．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（m）四面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示．第4题图（1）写出与S的函数关系式；第4题图（2）求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？5．蓄电池的电压为定植，使用此电源时，电流I（A）和电阻R（成反比例函数关系，且当I=4A，R=5．（1）蓄电池的电压是多少？请你写出这一函数的表达式．（2）当电流喂A时，电阻是多少？（3）当电阻是10．时，电流是多少？（4）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过10A，那么用电器的可变电阻应该控制在什么范围内？评价活动：本节课自我评价：（学生完成后回答）（1）对本节课自己的总体表现打分（满分100分）（2）我的收获：（3）我的疑惑：评价者：老师、学生评价标准：学生积极性是否高，书写和回答答案问题和展示的效果是否好学生的展示效果如何评价者：老师、学生评价标准：学生积极性是否高，书写和回答答案问题和展示的效果是否好目标1目标2目标3目标4目标5目标6目标7目标8目标9目标10目标11第六课时知识梳理：（1）双曲线y=-经过点_______；（2）若函数y=的图象经过点（，-4），则k=_______，此图象在_______象限，在每一个象限内y随x的减小而_______；（3）u与t成反比例，且当u=6时，t=，这个函数解析式为_______．（4）你能回顾与总结反比例函数的图象性质与特征吗？形状图象是双曲线位置当k>0时，双曲线分别位于第一，三象限内当k<0时，双曲线分别位于第二，四象限内增减性当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大变化趋势双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交对称性双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.面积不变性任意一组变量的乘积是一个定值，即xy=k长方形面积︳mn︱＝︳k︱探究：一、课堂探究1（问题探究，自主学习）（1）电压一定时，电流I与电阻R的函数图象大致是（）．（2）在函数y=的图象上有三点（－1，y1），（，y2），（，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是______二、课堂探究2（分组讨论，合作探究）（1）小明在某一次实验中，测得两个变量之间的关系如下表所示：自变量x123412因变量y12.035.983.041.991.00请你根据表格回答下列问题：①这两个变量之间可能是怎样的函数关系？你是怎样作出判断的？②请你写出这个函数的解析式（2）如图所示，在反比例函数y=的图象上取一点B，过B作AB垂直x轴于点A，作BC垂直y轴于点C．①求矩形OABC的面积S1；②作类似矩形OA1B1C1，求矩形OA1B1C1的面积S2；（3）如图所示是某个函数图象的一部分，根据图象回答下列问题：①请你根据所给出的图象，举出一个合乎情理且符合图象所给出的情形的实际②写出你所举的例子中两个变量的函数关系式，并指出自变量的取值范围．反馈1．若y与x成正比例，x与成反比例，则y与z之间的关系为（）A．成正比例B．成反比例C．既不成正比例，也不成反比例D．无法确定2．已知，如图所示的P是反比例y=若图中阴影部分的矩形面积为2，则这个反比例函数的关系式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=3．已知反比例函数的图象经过点（a，b），则它的图象一定也经过（）A．（-a，-b）B．（a，-b）C．（-a，b）D．（0，0）4．已知y－2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x间的关系式为_______；5．已知一次函数y=mx与反比例函数y=的图象相交于点（1，3），求该直线与双曲线的另一个交点坐标；_________6．函数y=和y=－x+4的图象的交点在第_________象限．7．已知y与x成反比例，且当x=2时，y=6，求y与x的函数关系式．8．已知y1是正比例函数，y2是反比例函数，并且当自变量取1时，y1=y2；当自变量取2时，y1－y2=9，求y1和y2的解析式．9．在某一电路中，保持电压不变，电流I（安培）与电阻R（欧姆）成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培．（1）求I与R之间的函数关系式；（2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值；11．我们知道，两条直线的交点坐标就是这两直线解析式联列时所组成的方程组的解．你能据此思想对下列方程组（或方程）的解进行讨论呢？（1）（2）（3）=2x-6．评价者：老师、学生评价标准：学生积极性是否高，书写和回答答案问题和展示的效果是否好评价活动：本节课自我评价：（学生完成后回答）（1）对本节课自己的总体表现打分（满分100分）（2）我的收获：（3）我的疑惑：