复数学习笔记

复数知识要点⑴复数的单位为，即i21.⑵复数及其相关概念：①—形如a+i的数（其中bR；②实数—当b=0时的复数a+bi，即a；③虚数—当b0时的复数a+bi；④纯虚数—当a=0且b0时的复数a+bi，即bi.⑤a+bi—a叫做虚部（a，b都是实数）⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：abicdia且bd（a，，）abi0ab0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z,z 为复数，则若zz 0，则z z.（×）[z,z 为复数，而不是实]1 2 1 2 1 2 1 22若z z ，则zz 0.（√）1 2 1 2②若,,cC(ab)2bc)2(ca)20是abc.(bc)21,(ca)20时，上式成立）

当(ab)2i2，⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2.其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r⑵曲线方程的复数形式：①zz0r表示z0为圆心为半径的圆的方.②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方.③zz1zz22a（a且2az1z2）表示以Z1，Z2为焦点长半轴长为a的椭圆的方（若2az1z2，此方程表示线段Z2）.④zz1zz22a02az1z2）表示以Z1，Z2为焦点实半轴长为a的双曲线方（若2az1z2，此方程表示两条射线⑶绝对值不等式：z1，z2是不等于零的复数，则①z1z2z1z2z1z2.z2z1（R，且z2z1（R，.②z z zz z z.1 2 1 2 1 2z（R，z（R，2 1 2 1注：AA AA AA A A AA .1 2 2 3 3 4 n1 n 1 n共轭复数的性质：zzz1z2z1z2zz2a，zz2bi（za+bi）zzz|2z|2z1z2z1z2z1z2z1z2 zzz 1 zzz2 2z2

（z0）zn(z)n2注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4z

z..z(nN)n②对任何z，z,z C及m,nN 有1 2 ③zmznzmn,(zm)nzmn,(zz)nznzn1 2 1 2i241若由1 1i2(i42121就会得到11.②在实数集成立的|xx2.x|xx2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：i24n1i,i4n24n3i,i4n1inin1in2in3(nZ)i)2

1ii,1i1i 1i若 是 11

的 立 方 虚 数 根 ， 即 1 i ，32 23则32,,12nn1n20(nZ) .z是实数及纯虚数的充要条件：①zRzz.②若z0，z是纯虚数zz0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：|z||z|.zr(cosisin).辐角主值：0≤的值，记作argzzargz可取②辐角是多值的，都相差2的整数倍.aR则arga0arg(a)argai2

,arg(ai)3.2⑵复数的代数形式与三角形式的互化：abir(cosisin)，r a2b2，cos⑶几类三角式的标准形式：r(cosisin)r[cos()isin()]

a,sinb.r rr(cosisin)r[cos()isin()]r(cosisin)r[cos()isin()]r(sinicos)r[cos(2

)isin(2

)]复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)时，应注意下述问题：①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x1,2

b ；若=0，则有二相等实数根2ax

b；若＜0，则有二相等复数根x

b |（x

为共轭复数）.1,2 2a

1,2 2a

1,2②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.复数的三角形式运算：r(cos1

isin2

)r2

(cos2

isin2

)rr12

[cos(1

)i2

)]2r(cosisin) r1 1 2 1

)i

)]r(cos2

isin) r 1 2 1 22 2棣莫弗定理：[r(cosisin)]nrn(cosnisinn掌握科学方法，提高学习成绩不论做什么事情都应该讲究方法，科学的方法能够加速问题解决的速度，学生学习更是如此。我们在教学过程经常会遇到这样的现象，有的学生尽管学习也很认真刻苦，花了大量的时间，但学习效率不高，成绩并不是很理想。究其原因也许很多，学习的方法不当应是关键的因素之一。科学的学习方法，往往能取得事半功倍的效果。基于这个认识，我在教学过程中很注重学习方法研究，也经常有意识地对学生进行学习方法指导，不少学生取得了良好的效果。现把其定名为“十是希望对想上进的求知学子有所帮助。具体内容是：尤其是文科后面的注释一定要看，对于知识要点要多看几遍，多想想为什么，最好能弄清楚来龙去脉，对于书上的黑体字、定理、定律和公式要动手抄写，力求能先背诵和默写，英语中的单词和短语尤其要如此。做：做书本上的例题，要把自己的解题过程和书本上的例题对照一下，看看自己的解释和自己造的句子要和书本上的规范句子对照，看看有没有错误，如果有，看错误的原因是什么，自己容易弄错的地方，也许就是上课要重点解决的问题。练：书本上的简单题目在预习时应该完成，独立完成后要检查对错，发现自己在什么地方还没有弄懂。也可以找一套有标准答案的课外资料来练习，做好的作业也要对照答案检查，看看正误，及时了解自己预习中存在的问题。预习时做的题目选题目要典型，不要过多。本阶段的重点是通过联系来发现自己预习中存在的问题，如果自己看书能解决的，应该自己再看书解决，否则要做记录，留请教老师和同学，帮助自己解决。本次做错的题目做为一级错题，打一个“”，可以在资料和课本上标注，等待上课时候解决，彻底解决了，就不用上“总结提高本”，也可以解除标出的星号。清楚的疑问点，以便上课时候重点突破。不同类型的最好用不同颜色的笔标出，要引起自己的重视。懂的和不清楚的内容，如果是课本上的可以在上面标出，如果是老师补充的就应该认真记录，如果需要背诵的内容一定要准确无误。言也要认真地听，这其中也有别人的长处和智慧的火花。认真听取老师的讲解和同学的发言，及时筛选对自己的有用的信息，必要的要做记录。想：到下课的时候，一定要想一想，老师今天讲课的重点内容是什么，自己还有没有不懂的地方，如果有就应该及时请教老师和同学，把自己要学习的内容全部搞懂，不留任何遗憾。身边的同学是最好的老师，取长不短，是学习的科学方法。买的资料如果和课本、老师布置的作业、以及做过的资料有重复的，最好不做，免得浪费时间。做过的题目一定要对照标准答案，找出错误的原因，自己不能顺利正确的完成的题目才是自己巩固练习的重点，自己很容易正确完成的题目看看就可以了，重复的也可以不看。重点攻克的应该是自己历次做错的题目，这些才反复学习的重点。此次做错的题目可以做为第二级错题，打上两个“☼”，在请教老师和同学后，如果能弄懂了，可以不上总结提高本，但资料上的星号要保留，留以后复习时候，看看有没有忘记。间限时完成，要尽量少用时间，提高自己的答卷速度，一般以规定的时间一半为好。完成后要对照标准答案进行认真的自我的批改，找出失误的原因，采取响应的解决办法，需要看书的还要认真看书，需要死记的内容就应该准确的记忆，理解不透的要深刻理解，题目太难的做不出来的，可以在标准答案的提示下，反复做做，直到彻底弄懂为止，试卷出现的任何失误，都应该搞清楚来龙去脉。次此做错的题目应该是第三级别，应打上三个“““”出相应的知识，文科尤其要注意做好这项工作，理科应该注重规律总结。反复出现错误的知识和题目，级别应该更高，补救发工作应该更全面。成的要集中到一个本子上，并认真订正，还要写出失误的原因，提示自己在以后的学习中不要出现类似的错误。善于发现自己的不错，并能够及时弥补的人，才会不断进步，最后取得成功。还要分析原因，进行总结和提高。对于在错题中暴露出来的属于知识不清的，要分类进行总结，内容不多的就可以写在相应的题目后面，如果内容太多，书本上有的就可以标出页码，课外资料上的，自己没有的可以复印。要善于总结规律性的东西，只要掌握规律，就可以举一反三。四复习：看、背、默，理有标准解答的题解，最好是看带有规律性的题解资料。级别越多的内容看的