因子分析法详解和实例

第12章因子分析12.1因子分析的理论与方法12.1.1因子分析的基本思想多元统计分析处理的是多变量问题。由于变量较多，增加了分析问题的复杂性。但在实际问题中，变量之间可能存在一定的相关性，因此，多变量中可能存在信息的重叠。人们自然希望通过克服相关性、重叠性，用较少的变量来代替原来较多的变量，而这种代替可以反映原来多个变量的大部分信息，这实际上是一种“降维”的思想。因子分析(factoranalysis)就是一种降维、简化数据的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个“抽象”的变量来表示其基本的数据结构。这几个抽象的变量被称作“因子”，能反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而因子一般是不可观测的潜在变量。例如，在商业企业的形象评价中，消费者可以通过一系列指标构成的一个评价指标体系，评价百货商场的各个方面的优劣。但消费者真正关心的只是三个方面：商店的环境、商店的服务和商品的价格。这三个方面除了价格外，商店的环境和服务质量，都是客观存在的、抽象的影响因素，都不便于直接测量，只能通过其它具体指标进行间接反映。因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。又比如，在研究区域社会经济发展中，描述社会与经济现象的指标很多，过多的指标容易导致分析过程复杂化。一个合适的做法就是从这些关系错综复杂的社会经济指标中提取少数几个主要因子，每一个主要因子都能反映相互依赖的社会经济指标间共同作用，抓住这些主要因素就可以帮助我们对复杂的社会经济发展问题进行深入分析、合理解释和正确评价。12.1.2因子分析的数学模型因子分析中的公共因子是不可直接观测但又客观存在的共同影响因素，每一个变量都可以表示成公共因子的线性函数与特殊因子之和，即1122iiiimmXaFaFaFs=++++L，(1,2,,ip=L)式中的，，称为公共因子，1FL,2FmFi£称为的特殊因子。该模型可用矩阵表示为：iXXAFs=+这里12pXXXX..M,,111212122212mmpppmaaaaaaAaaa..LLLLLLL12mFFFF..M,12pszee..且满足:；mpW(,)0CovFs二，即公共因子与特殊因子是不相关的；101()01FmDDFI..♦..♦..0,即各个公共因子不相关且方差为1；(4)212220()0pDDsaa£a......0,即各个特殊因子不相关，方差不要求相等。模型中的矩阵A称为因子载荷矩阵，称为因子“载荷”，是第i个变量在第ijaj个因子上的负荷，如果把变量iX看成维空间中的一个点，则表示它在坐标轴上的投影。mijajF12.1.3因子载荷阵的求解因子载荷阵的求解方法有很多，这里仅介绍最为常用的主成分分析法。为了节省篇幅，不加证明地给出使用主成分分析法求解因子载荷阵的一般步骤：计算原始数据的协差阵E。计算协差阵E的特征根为，相应的单位特征向量为。10p入入mm3L12,,,pTTTL利用E的特征根和特征向量计算因子载荷阵：1122(,,,ppATTT入入入=L由于因子分析的目的是减少变量个数，因此，因子数目m应小于原始变量个数p。所以在实际应用中，仅提取前个特征根和对应的特征向量，构成仅包含个因子的因子载荷阵:mm1122(,,,mmATTT入入入=L12.1.4因子载荷阵的统计意义因子载荷对于因子模型1122iiiijjimmXaFaFaFaFs=++++++LL1,2,,ip=L我们可以得到，iX与的协方差为：jF11(,)(,)(,)(,mijikkijkmikkjijkijCovXFCovaFFCovaFFCovFa££==+=+ZZ如果对iX作了标准化处理，iX的标准差为1,且的标准差为1,因此jF,(,)(,)()()ijijXFijijijCovXFrCovDXDF==那么，从上面的分析，我们知道对于标准化后的iX，是ijaiX与的相关系数，它一方面表示jFiXjF对的依赖程度，绝对值越大，密切程度越高；另一方面也反映了变量jFiX对公共因子的相对重要性。了解这一点对我们理解抽象的因子含义，即因子命名，有非常重要的作用。变量共同度设因子载荷矩阵为A，称第i行元素的平方和miijjhai===ZL为变量iX的共同度。由因子模型，知22211222221222()()()()()()iiiimmiiiimiiiDXaDFaDFaDFDaaaVarh££o=++++=++++=+LL上式说明，变量iXi的方差由两部分组成：第一部分为共同度，它描述了全部公共因子对变量2ihiX的总方差所作的贡献，反映了变量iX的方差中能够被全体因子解释的部分。第二部分为特殊因子£对变量iX的方差的贡献，也就是变量iX的方差中没有被全体因子解释的部分。变量共同度越高，说明该因子分析模型的解释能力越高。因子的方差贡献设因子载荷矩阵为A，称第j列元素的平方和2211,2,,pjijigaj===ZL为因子对jFX的贡献，即表示同一因子对各变量所提供的方差贡献之总和，它是衡2jgjF量每一个因子相对重要性的一个尺度。由12.1.3节因子载荷阵的表达式：1122（,,,mmATTT入入入=L可知，A中第j列元素的平方和为（）（）jjjjjjjjTTTT入入入入jT（是单位特征向量），即有221pjijiag入===Z这说明，第j个公因子的方差贡献就等于样本协差阵的第2jgj大特征根。在实际应用中，有两种常用的确定因子提取个数m的方法。一是仅提取方差贡献（2jgj入）大于1的因子；而是利用因子的累积方差贡献率11pmZ来确定公因子提取的个数，也就是寻找一个使得11pmjjj入入==ZZ达到较大百分比的自然数。m12.1.5因子命名与因子旋转因子分析的目标之一就是要对所提取的抽象因子的实际含义进行合理解释，即对因子进行命名。有时直接根据特征根、特征向量求得的因子载荷阵难以看出公共因子的含义。例如，可能同一个变量在多个公共因子上都有较大的载荷，也可能多个变量在同一个公共因子上都有较大载荷，说明该因子对多个变量都有较明显的影响作用。这种因子模型反而很难对因子的实际背景进行合理的解释。这时需要通过因子旋转的方法，使每个变量仅在一个公共因子上有较大的载荷，而在其余的公共因子上的载荷比较小，至多达到中等大小。这时对于每个公共因子而言（即载荷矩阵的每一列），它在部分变量上的载荷较大，在其它变量上的载荷较小，使同一列上的载荷尽可能地向靠近1和靠近0两极分离。这时就突出了每个公共因子和其载荷较大的那些变量的联系，该公共因子的含义也就能通过这些载荷较大的变量做出合理的说明。因子旋转方法有正交旋转和斜交旋转两类，这里我们重点介绍正交旋转。对公共因子作正交旋转就是对载荷矩阵作一正交变换，右乘正交矩阵A「，使得旋转后的因子载荷阵有更鲜明的实际意义。旋转以后的公共因子向量为BA=r**FFB*F=「，它的各个分量也是互不相关的公共因子。根据正交矩阵*,mFL「的不同选取方式，将构造出不同的正交旋转的方法。实践中常用的方法是最大方差旋转法，其原理是使得旋转后因子载荷阵的每一列元素的方差之和达到最大，从而实现使同一列上的载荷尽可能地向靠近1和靠近0两极分离的目的。值得说明的是，旋转后的因子载荷阵B与旋转前的因子载荷阵相比，各因子的方差贡献发生了变化，已经不再等于样本协差阵的第A2jgj大特征根，但提取出的全部个因子m的总方差贡献率211pmjjjg==ZZ却不会改变，仍然等于llpmjjj入入==Z另外，因子旋转在改变因子载荷阵的同时，也改变了因子得分。12.1.6因子得分因子得分是因子分析的最终体现。当因子载荷阵确定以后，便可以计算各因子在每个样本上的具体数值，称为因子得分。得到了因子得分之后，就可以像主成分分析那样，用因子得分来代替原始变量，从而达到降维的效果。在因子分析模型XAFS=+F中，如果不考虑特殊因子的影响，当且mp=FA可逆时，我们可以非常方便地从每个样品的指标取值X计算出其在因子上的相应取值：，即该样品在因子上的“得分”情况，简称为该样品的因子得分。1FAX.=但是因子分析模型在实际应用中要求mp＜，因此，不能精确计算出因子的得分情况，只能对因子得分进行估计。估计因子得分的方法也有很多，常用的方法包括回归法(Regression)、巴特莱特法(Bartlett)、安德森一鲁宾法(Anderson-Rubin)等。可以证明，如果使用回归法，则因子得分可以由下面的式子给出：1FAX.'=Z其中，为样本协差阵。称ZmpX的矩阵1WA.'=Z为因子得分系数矩阵。应该注意，如果因子载荷阵经过了旋转，则上式中的因子载荷阵应该是旋转后的因子载荷阵。A12.1.7因子分析的出发点从前面的介绍我们知道，因子分析的一切计算都是从样本协差阵Z出发的，其结果受变量单位的影响。不同的变量往往有不同的单位，对同一变量单位的改变会产生不同的因子分析结果。为使因子分析能够均等地对待每一个原始变量，消除由于单位的不同可能带来的影响，我们常常先将各原始变量作标准化处理，即令*()()iiiXEXXDX.=1,,ip=L可以证明，经过标准化的数据***1(,,)pXXX‘=L的协方差矩阵就是X的相关系数矩阵R。也就是说，如果因子分析的一切计算都直接从样本相关系数矩阵R而不是协差阵出发的话，就等价于先对数据进行标准化，然后再从协差阵出发进行因子分析。Z12.2因子分析的实例本例中采用的是2003年沪、深两市证券交易所48家上市公司的13个财务指标数据。13个财务指标分别为：流动比率(X1)、速动比率(X2)、总资产周转率(X3)、存货周转率(X4)、营运资本(X5)、每股收益(X6)、净利润增长率(X7)、每股收益增长率(X8)、主营业务毛利率(X9)、主营业务利润率(X10)、成本费用利润率(X11)、净资产收益率(X12)、总资产利润率(X13)。这些指标有些之间具有很强的相关性，如果利用所有的13个财务指标对这50家公司进行财务分析，难免出现信息的重叠，而利用因子分析可以解决这个问题。12.2.1SPSS操作步骤选择菜单项Analyze^DataReduction^Factor,打开FactorAnalysis对话框，如图12-1。将原始变量x1—x13移入Variables列表框框中。如果不想使用全部的样本进行分析，且数据文件中存在一个选择变量的话，将该选择变量移入SelectionVariable框中，并单击右边的Value按钮，在跳出的窗口中输入一个筛选值，这样，只有选择变量的值等于输入的筛选值的观测才能参与因子分析。图12-1FactorAnalysis对话框点击Descriptives按钮，打开Descriptives子对话框，如图12-2。该对话框共有两个选项栏，用于设置输出的结果。Statistics选项栏中，Univariatedescriptives表示输出原始变量的基本描述统计量；Initialsolution表示输出因子分析的初始解，包括样本协差阵(相关系数矩阵)的全部p个特征根、方差贡献率以及累积贡献率。这里选择Initialsolution复选项。CorrelationMatrix选项栏用于指定输出衡量原始变量之间相关性的统计量和统计表。如前所述，因子分析的目的是从众多的原始变量中综合出少数具有代表性的因子，这里就有一个潜在的前提，即原始变量之间应该具有较强的相关性，否则因子分析就失去了必要性。CorrelationMatrix选项栏中各选项的含义如下：..Coefficients：给出原始变量之间的简单相关系数矩阵；..Significancelevels：给出每个相关系数的显著性检验，检验的原假设是相关系数等于0;..Determinant：给出相关系数矩阵的行列式;..Inverse:给出相关系数矩阵的逆矩阵;..Reproduced：再生相关阵，此项给出因子分析后的的相关阵，还给出残差，即原始相关与再生相关之间的差值；..Anti-image：给出反映像相关矩阵，如果原始变量之间具有较强的相关性，则反映像相关矩阵对角线上元素的值接近于1，其他元素绝对值均较小；..KMOandBartlett’stestofsphericity:给出KMO检验和Bartlett球形检验。KMO统计量的取值在0和1之间，KMO值越接近于0表明原始变量相关性越弱，越接近于1表明原始变量相关性越强，通常认为KMO的度量标准是：0.9以上表示非常适合进行因子分析，0.8以上表示比较适合，0.7表示一般，0.6表示不太适合，0.5以下表示极不适合。Bartlett球形检验的原假设是：原始变量的相关系数矩阵是单位阵，即主对角线元素为1，其他元素均为0。在本例中，我们选择Coefficients、Significancelevels和KMOandBartlett’stestofsphericity三个选项。图12-2Descriptives子对话框点击Extraction按钮，打开Extraction子对话框，如图12-3，设置有关因子提取的选项。在Principalcomponents，即“主成分法”。在Analyze选项栏中指定用于提取因子的分析矩阵，分别为相关系数矩阵(ix)和协方差矩阵(Covariancematrix)。如果选择相关系数矩阵，则表示首先对原始数据进行标准化，然后再进行因子分析；如果选择协方差矩阵，则表示直接对原始数据进行因子分析。这里我们选择默认的相关系数矩阵。在Display选项栏中指定与因子提取有关的出旋转前的因子方差贡献表和旋转前的因子载荷阵；ScreePlot表示输出因子碎石图。因子碎石图其实就是样本协差阵的特征根按大小顺序排列的折线图，可以用来帮助确定提取多少个因子。典型的碎石图会有一个明显的拐点，拐点之前是较大特征根连接形成的陡峭折线，拐点之后是较小特征根连接形成的平缓折线，一般选择拐点之前的特征根数目为提取因子的数目。这里我们将两个选项都选中。在Extract选项栏中指定因子提取的数输入框中设置提取的因子对应的特征值的范围，系统默认值为1，即要求提取那些特征值大于1的因子；第二种设置方法是直接在Numberoffactors后的输入框中输入要求提取的公因子的数目。这里我们保持默认选项。图12-3Extraction子对话框点击Rotation按钮，打开Rotation子对话框，如图12-4,设置有关因子旋转的选项。Method选项栏用于设置因子旋转的方法，可供选择的方法包括方差最大旋转法（Varimax）、直接斜交旋转法（DirectOblimin）、四次方最大正交旋转法（Quartmax）、平均正交旋转法（Equamax）、斜交旋转法（Promax），如果选择None选项，则不进行旋转。Display选项栏用于设置与因子旋转有关的输出项。其中，Rotatedfactorsolutions表示输出旋转后的因子方差贡献表和旋转后的因子载荷阵；Loadingplots表示输出旋转后的因子载荷散点图图，旋转后因子散点图是以因子为坐标轴，以旋转后因子载荷为坐标的散点图，从该散点图中可以直观地观察因子载荷在各因子上的分布状况。这里我们在Method选项栏中选择Varimax（方差最大旋转），并选择Display栏中的Rotatedsolution复选框。图12-4Rotation子对话框点击Scores按钮，打开FactorScores子对话框，如图12-5,设置有关因子得分的选项。选因子则会在数据文件中保存几个因子得分变量，变量名为“facm_n”，其中，m表示第m个因子，n表示进行第n次因子分析的结果。选中Displayfactorscorecoefficientmatrix复选数矩阵。图12-5FactorScores子对话框点击Options按钮，打开Options子对话框，如图12-6,设置对缺失值的处理方法和因子载荷阵的显示方法。Missingvalues选项栏用于设置对缺失值的处理方法。其中，Excludecaselistwise表示如果某个观测的所有分析变量中只要由一个带有缺失值，则这个观测就不参与分析；Excludecasepairwise表示在计算两个变量的协方差或相关系数时，只把这两个变量中带有缺失值的观测删除，即如果一个观测在正在进行相关系数计算的变量中没有缺失值，则即使其它变量中有缺失值，也不影响它参与计算；Replacewithmean表示如果某变量存在缺失值，则用该变量的均值替代缺失值。CoefficientDisplayFormat选项栏用于设置因子载荷阵的显示方式。其中，Sortedbysize表示因子载荷阵按照因子载荷的大小顺序排列，使同一因子上具有较大载荷的变量排在一起，便于观察；Suppressabsolutevalueslessthan表示不显示绝对值太小的因子载荷，如果提取的因子很多，则该选项可以突出载荷较大的变量，便于观察。图12-6Options子对话框在主对话框中单击OK按钮，执行因子分析命令。12.2.2实例结果分析2-1和表12-2给出了原始变量之间的相关性检验结果。2-1的上半部分是原始变量的相关系数矩阵，可以看到，矩阵中存在许多比较高的相关系数；表12-1的下半部分是相关系数显著性检验的p值，其中存在大量的小于0.05的值，这些都说明原始变量之间存在着较强的相关性，具有进行因子分析的必要性。2-2给出了KMO检验统计量与Bartlett球形检验结果。KMO统计量等于0.718，Bartlett球形检验的p值为0.000，这些也都说明本例中的数据比较适合进行因子分析。CorrelationMatrix1.000.861-.05-.2.753.077.172.8682.917.351.261.263.233.345.427.378.409-.054.1051.0.746.136.602.327.337.0.357.397.587.581-.166.082.7422.306.319.009.318.408.538.541.733.917.136.1211.0.354.207.367.348.393.127.351.602.522.3541.0.598.560.470.777.777.933.952.112.261.327.306.266.5981.0.958.197.363.464.625.565.153.263.337.319.242.560.9593.533.633.546.084.233-.02.009.192.470.197.2231.0.499.643.530.553.158.345.357.318.307.777.363.293.4991.0.819.834.819.240.427.397.408.367.777.464.533.643.8191.0.906.867.177.378.587.538.348.933.625.633.530.834.9061.0.965.172.409.581.541.393.952.565.546.553.819.867.9651.0.000.359.130.0050.285.142.000.240.289.000.007.036.036.055.008.001.004.002.359.240.000.178.000.012.010.455.006.003.000.000.130.289.000.206.000.017.014.477.014.002.000.000.000.0007.034.049.095.017.005.008.003.194.007.000.000.007.000.000.000.000.000.000.000.224.036.012.017.034.000.000.090.006.000.000.000.150.036.010.014.049.000.000.064.022.000.000.000.285.055.455.477.095.000.090.064.000.000.000.000.142.008.006.014.017.000.006.022.000.000.000.000.050.001.003.002.005.000.000.000.000.000.000.000.114.004.000.000.008.000.000.000.000.000.000.000.121.002.000.000.003.000.000.000.000.000.000.000X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13CorrelationSig.X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13表12-2KMO检验与Bartlett球形检验KMOandBartlett'sTest.718839.69378.000Kaiser-Meyer-OlkinMeasureofSamplingAdequacy.Approx.Chi-SquaredfSig.Bartlett'sTestofSphericity2-3给出了13个原始变量的变量共同度。变量共同度反映每个变量对提取出的所有公共因子的依赖程度。从表12-3来看，几乎所有的变量共同度都在80%甚至90%以上，说明提取的因子已经包含了原始变量的大部分信息，因子提取的效果比较理想。表12-3变量共同度Communalities1.000.8771.000.9651.000.8581.000.8251.000.8781.000.8901.000.9731.000.9801.000.7841.000.8091.000.8851.000.9741.000.956X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X13InitialExtractionExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.2-4给出了因子分析各个阶段的特征根与方差贡献表。其中，InitialEigenvalues栏给出初始的样本相关系数矩阵或协差阵的特征根，用于确定哪些因子应该被提取，共有三项：Total列为各因子对应的特征根，本例中共有4个因子对应的特征根大于1，因此应提取相应的四个公因子；％ofVariance列为各因子的方差贡献率；Cumulative%列为各因子的累积方差贡献率。ExtractionSumsofSquaredLoadings栏给出提取出的因子方差贡献表，提取出的4个因子按方差贡献的大小自上而下列出。同时可以看出，前四个因子已经可以解释原始变量89.651%的方差，已经包含了大部分的信息。RotationSumsofSquaredLoadings栏给出提取出的公因子经过旋转后的方差贡献情况。从中可以看到，由于经过了旋转，4个因子的方差贡献已经发生了变量，但是4个因子总的累积方差贡献率并没有改变，依然是89.651%。表12-4特征根与方差贡献表TotalVarianceExplained6.64451.10651.1066.64451.10651.1064.16432.03232.0322.39318.40569.5112.39318.40569.5112.76721.28253.3141.41110.85380.3641.41110.85380.3642.45618.89372.2071.2079.28789.6511.2079.28789.6512.26817.44389.651.4433.41093.061.2862.20495.265.2632.02297.287.1491.14598.432.106.81999.252.044.33699.588.031.23999.827.017.12799.954.006.046100.000Component12345678910111213Total%ofVarianceCumulative%Total%ofVarianceCumulative%Total%ofVarianceCumulative%InitialEigenvaluesExtractionSumsofSquaredLoadingsRotationSumsofSquaredLoadingsExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.2-7给出了因子的碎石图。图中横坐标为因子的序号，纵坐标为相应特征根的值。从图中可以看到，第4个因子以前的特征根普遍较高，连接成了陡峭的折线，而第4个因子之后的特征根普遍较低，连接成了平缓的折线，这进一步说明提取4个因子是比较适当的。ScreePlotComponentNumber13121110987654321Eigenvalue76543210图12-7因子碎石图2-5给出旋转前的因子载荷阵，根据该表可以写出每个原始变量的因子表达式：11232123312340.3090.8690.1480.0550.5430.7930.1550.1310.5810.4060.4190.424XFFFXFFFXFFF=+++=+++=.++从表12-5可以看出，每个因子在不同原始变量上的载荷没有明显的差别，为了便于对因子进行命名，还需要对因子载荷阵进行旋转。表12-5旋转前的因子载荷阵ComponentMatrixa.970-.155-.096.008.957-.126-.126.088.924-.174-.055.056.894-.016-.291.006.802-.053-.374.151.678-.112.364-.606.676-.103.366-.614.581-.406.419.424.542-.450.393.418.309.869.148.055.543.719.729.062-.687-.168X12X13X6X11X10X7X8X3X4X1X2X5X91234ComponentExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.4componentsextracted.a.2-6给出旋转后的因子载荷阵，从表中可以看出，经过旋转后的载荷系数已经明显地两极分化了。第一个公共因子在指标X6、X9、X10、X11、X12、X13上有较大载荷，说明这6个指标有较强的相关性，可以归为一类，从财务指标类型来看这六个指标属于公司获利能力指标，因此可以把第一个因子命名为“获利因子”第二个公共因子在指标X1、X2、X5上有较大载荷，同样可以归为一类，这三个指标同属于公司变现能力指标，因此可以把第二个因子命名为“变现因子”；同理，X3和X4归到第三类，属于公司运营能力指标，因此把第三个因子命名为“运营因子”；X7和X8归到第四类，属于公司成长能力指标，因此可以把第四个因子命名为“成长因子”。表12-6旋转后的因子载荷阵RotatedComponentMatrixa.854.869.843.032-.267.049.793.193.445.302.782.163.431.387.724.150.470.350.221.950.051.104.047.925-.130.050.174.9083.013.895.152.176-.046.810.157.966.938X11X10X9X13X12X6X2X1X5X3X4X8X71234ComponentExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.RotationMethod:VarimaxwithKaiserNormalization.Rotationconvergedin5iterations.a.2-7给出了使用正交旋转法对因子载荷阵进行旋转时使用的正交矩阵r。若用A表示旋转前的因子载荷阵，用B表示旋转后的因子载荷阵，则有：BA=r表12-7因子旋转中的正交矩阵rComponentTransformationMatrix.724.334.423.430-.089.891-.428-.121-.683.246.529.440.028.185.598-.779Component12341234ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.RotationMethod:VarimaxwithKaiserNormalization.2-8给出了因子得分系数矩阵W，根表中的因子得分系数和原始变量的标准化值就可以计算每个观测值的各因子的得分。本例中旋转后的因子得分表达式可以写成：120.06910.04220.11530.10540.06750.13560.11270.11480.38490.274100.239110.158120.172130.37410.37020.01630.00840.36050.02060.03770.03580.09690.021100.011FXXXXXXXXXXXXXFXXXXXXXXXX=+..+++++=++.+......110.025120.00713XXX..由于我们在FactorScores子对话框中选择了Saveasvariables复选框，所以，在数据文件中会生成4个因子得分变量，变量名分别为：fac1_1、fac2_1、fac3_1、fac4_1。这里有两点值得注意的地方：（1）由于我们是以相关系数矩阵为出发点进行因子分析，所以，因子得分表达式中的各变量X1-X13应该是经过标准化变换后的标准变量，均值为0,标准差为1。（2）由于因子载荷阵经过了旋转，所以，因子得分是不是利用初始的因子载荷阵，而是利用旋转后的因子载荷阵计算得到的。表12-8因子得分系数矩阵WComponentScoreCoefficientMatrix-.069.374-.053-.013-.042.370.016-.041-.115.016.477-.085-.105-.008.469-.090-.067.360.058-.042.135-.020.097.015-.112-.037-.100.554-.114-.035-.106.560.384-.096-.318-.075.274-.021-.005-.160.239-.011-.046-.036.158-.025.058.035.172-.007.080-.028X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X131234ComponentExtractionMethod:Pri