数学人教A版必修1基础训练2.2.2对数函数及其性质第2课时Word版含解析

第二章根本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质第2课时对数函数的性质及应用根底过关练题组一对数函数的单调性和奇偶性1.(2021四川成都新都一中高一月考)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)2.(2021河北衡水中学高一上月考)设f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,那么ff116B.12D.3.(2021湖北襄阳高二期中)函数f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=3,那么f(-a)4.函数f(x)=logamx+1x-1(a>0,且a≠1)在定义域(-∞,-1)∪(1,(1)求m的值;(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.题组二指数函数与对数函数的关系5.函数y=1ax与y=logbx互为反函数,那么a与bA.ab=1B.a+b=1C.a=bD.a-b=16.(2021四川泸县五中高二月考)函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x(x>1)的图象关于直线y=x对称,那么g(-1)+g(-2)=()7.(2021河南鹤壁高中开学考试)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,那么a=()题组三对数函数性质的综合运用8.(2021重庆高一上月考)不等式log2(x+1)<1的解集为()A.{x|0<x<1}B.{x|-1<x≤0}C.{x|-1<x<1}D.{x|x>-1}9.(2021江西南昌二中调考)π是圆周率,e为自然对数的底数,那么以下结论正确的选项是()π>ln3>log3eπ>log3e>ln33>log3e>lnπ3>lnπ>log3e10.(2021广东深圳长江中学高一期中)函数f(x)=lnx+ln(2-x),那么()A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(1,2)上单调递增C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称11.y=loga(8-3ax)(a>0,且a≠1)在[1,2]上是减函数,那么实数a的取值范围是()A.(0,1)B.1,43C.43,4D.(1,+∞)12.奇函数f(x)在R上是增函数.假设a=-flog215,b=f(log24.1),c=f(20.8),那么a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b13.(2021吉林第一中学校高二期末)f(x)=log4(4x-1).(1)求f(x)的定义域;(2)求f(x)在区间12,能力提升练一、选择题1.(2021陕西西安中学高一上期中,)函数y=2-xlgA.{x|0<x<2}B.{x|0<x<1或1<x<2}C.{x|0<x≤2}D.{x|0<x<1或1<x≤2}2.(2021山西长治二中高一上期中,)设a=50.4,b=log0.30.4,c=log40.2,那么a,b,c的大小关系是()A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b3.(2021安徽六安第二中学开学考试,)假设函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在R上为减函数,那么函数y=loga(|x|-1)的图象可以是()4.(2021福建厦门外国语学校高一上期中,)函数f(x)=log3(1-ax),假设f(x)在(-∞,2]上为减函数,那么实数a的取值范围为()A.(0,+∞)B.0C.(1,2)D.(-∞,0)5.(2021河南省实验中学高一上期中,)函数f(x)=loga(x2+1+x)+1ax-1+32(a>0,且a≠1),如果f(log3b)=2021,其中b>0,b≠1,那么f(019017019017二、填空题6.()假设函数f(x)=ln(x+x2+a)为奇函数,那么实数a7.(2021江苏江阴四校高一上期中,)假设f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logax,x8.()对数函数f(x)的图象过点(4,-2),那么不等式f(x-1)-f(x+1)>3的解集为.

9.(2021湖北武汉外国语学校高一上期中,)当x∈0,12时,4x<logax恒成立,那么a三、解答题10.(2021江西上饶高二期中,)函数y=log12(x2-ax+a)(1)假设函数的定义域为R,求a的取值范围;(2)假设函数在区间(-∞,2)上是增函数,求实数a的取值范围.11.(2021河北唐山一中高一上期中,)函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并证明;(3)当a>1时,求f(x)>0的解集.12.(2021辽宁沈阳东北育才中学高二期末,)函数f(x)=log2(x2-ax+1).(1)是否存在实数a,使f(x)的定义域、值域都是R?(2)当a=2时,讨论f(x)在区间[0,b]上的值域.13.(2021四川泸州高二开学考试,)函数f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,且a(1)当a=2时,求f(2);(2)求解关于x的不等式f(x)>0;(3)假设对任意x∈[2,4],f(x)≥4恒成立,求实数a的取值范围.14.(2021辽宁辽阳高二期中,)函数f(x)=log12(1)设函数g(x)=f(x2-6x+8),求g(x)的单调递减区间;(2)假设函数h(x)=f(3x+m-1)的值域为R,求m的取值范围.15.(2021天津实验中学高一期中,)函数g(x)=mx2-2mx+1+n(n≥0)在[1,2]上有最大值1和最小值0.设f(x)=g(x(1)求m,n的值;(2)假设不等式f(log2x)-2klog2x≤0在x∈[2,4]上恒成立,求实数k的取值范围;(3)假设方程f(|ex-1|)+2k|ex-1|-3k答案全解全析第二章根本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质第2课时对数函数的性质及应用根底过关练1.D由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4,所以f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞).令t=x2-2x-8,那么y=lnt,∵x∈(-∞,-2)时,t=x2-2x-8为减函数,x∈(4,+∞)时,t=x2-2x-8为增函数,y=lnt为增函数,∴函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞),应选D.2.A由题意得ff116=flog2116=f(-4)=-f(4)=-log23.答案-1解析解法一:因为f(x)=ln(1+x2-x)+1,所以可设g(x)=f(x)-1=ln(1+x2-x)(x∈R),那么g(-x)=ln(1+x2+x)=-ln(1+x2-x)=-g(x因为f(a)=3,所以g(a)=f(a)-1=2,那么g(-a)=-g(a)=-2,所以f(-a)=g(-a)+1=-1.解法二:因为f(x)+f(-x)=ln(1+x2-x)+1+ln(1+x2+x)+1=ln(1+x2-x所以f(a)+f(-a)=2,因为f(a)=3,所以f(-a)=-1.4.解析(1)∵f(x)是奇函数,∴f(x)+f(-x)=0在定义域内恒成立,即logamx+1x-1+loga-mx+1∴1-m2x2=1-x2对任意x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)恒成立,∴m2=1,解得m=±1.当m=-1时,f(x)=loga-x+1x-当m=1时,f(x)=logax+1x-∴m=1.(2)当a>1时,f(x)在(1,+∞)上是减函数;当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数.证明:由(1)知,f(x)=logax+1x-1.设u=x+1x-1=1+2x-1,任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,那么u1-u2∵x1>1,x2>1,x1<x2,∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,∴u1-u2>0,即u1>u2.因此当a>1时,logau1>logau2,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在(1,+∞)上是减函数;同理可得,当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数.5.A由函数y=1ax与y=logbx互为反函数,得1a=b,所以ab=1,6.C因为当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x(x>1)的图象关于直线y=x对称,所以f(x)=2x(x>0).又函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,且当x>0时,g(x)=2x+x2,故g(-1)+g(-2)=-g(1)-g(2)=-(21+12+22+22)=-11.应选C.7.C设(x,y)是函数y=f(x)的图象上任意一点,它关于直线y=-x对称的点为(-y,-x),由得点(-y,-x)在函数y=2x+a的图象上,∴-x=2-y+a,解得y=-log2(-x)+a,即f(x)=-log2(-x)+a,∴f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1,解得a=2,应选C.8.C不等式log2(x+1)<1可化为log2(x+1)<log22,由y=log2x是增函数,得0<x+1<2,解得-1<x<1,应选C.9.A∵对数函数y=lnx和y=log3x在(0,+∞)上单调递增,且π>3>e,∴lnπ>ln3>lne=1,log3e<log33=1,∴lnπ>ln3>log3e,应选A.10.C由题意知,f(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确,D错误;又f(x)=ln[x(2-x)](0<x<2),所以由复合函数的单调性可知f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以A,B错误,应选C.11.B因为a>0且a≠1,所以t=8-3ax为减函数.又y=loga(8-3ax)(a>0,且a≠1)在[1,2]上是减函数,所以y=logat是增函数,所以a>1.由8-3ax>0在[1,2]上恒成立,得a<83x在[1,2]所以a<83xmin=83×2故a∈1,43.12.C由f(x)为奇函数可得,a=-flog215=f-log215=f(log25).因为log25>log24.1>2,1<20.8<2,所以log25>log24.1>20.8,又f(x)在R上是增函数,所以f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即-flog215>f(log24.1)>f(2所以a>b>c,应选C.13.解析(1)∵f(x)=log4(4x-1),∴4x-1>0,∴x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).(2)易知f(x)在区间12,∴f12≤f(x)≤f(2∵f12=0,f(2)=log415∴f(x)在区间12,2上的值域为[0,log4能力提升练一、选择题1.D依题意得2-x∴0<x≤2,且x≠1,应选D.2.C∵50.4>50=1,0<log0.30.4<log0.30.3=1,log40.2<log41=0,即a>1,0<b<1,c<0,∴c<b<a,应选C.3.D由f(x)=ax(a>0且a≠1)在R上为减函数,得0<a<1,令g(x)=loga(|x|-1),那么函数g(x)=loga(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),且g(-x)=g(x)=loga(|x|-1),所以函数g(x)为偶函数.当x>1时,函数g(x)=loga(|x|-1)的图象是由函数y=logax的图象向右平移一个单位得到的.应选D.4.B设u=1-ax,那么y=log3u,由f(x)在(-∞,2]上为减函数,且y=log3u是增函数,知u=1-ax是减函数,∴-a<0,即a>0.由1-ax>0,得ax<1,又a>0,∴x<1a,即f(x)的定义域为-∞,1a,∴(-∞,2]⊆-∞,1a⇒2<1a,∴0<a<12因此,a的取值范围是0,12,应选B.5.D解法一:由题知x2+1+x>0,ax-1≠0,解得x≠0,即函数∵f(x)=loga(x2+1+x)+1=loga(x2+1+x)+1a=loga(x2+1+x)+a∴不妨设F(x)=f(x)-1=loga(x2+1+x)+ax+12(ax设log3b=t,那么f(t)=2021,∴F(t)=f(t)-1=2021.又log13b=-log3b=-∴F(-t)=-F(t)=-2021.从而f(-t)=F(-t)+1=-2021+1=-2021,应选D.解法二:由题知x2+1+x>0,ax-1≠0,解得x≠0,即函数∵f(-x)=loga(x2+1-x)+ax∴f(x)+f(-x)=loga(x2+1+x)+loga(x2+1-x)+1∴f(log3b)+f(log13b)=f(log3b)+f(-log3b)又∵f(log3b)=2021,∴f(-log3b)=2-2021=-2021,即f(log13b)二、填空题6.答案1解析依题意得f(0)=ln(a)=0⇒a=1⇒a=1,此时,f(x)=ln(x+x2+1),其定义域为R,且f(-x)=ln(x2+1-x)=ln1x2+1+x=-ln(∴f(x)是奇函数,满足题意,故a=1.7.答案1解析∵f(x)在R上是减函数,∴3a-∴17≤a<1故实数a的取值范围是17,13.8.答案1解析设对数函数f(x)的解析式为f(x)=logax(a>0,且a≠1),由对数函数的图象过点(4,-2),得-2=loga4,即a-2=4,那么a=12或a=-12(舍).由f(x-1)-f(x+1)>3,可得f(x-1)>3+f(x即log12(x-1)>log1218=log1218(x+1)所以原不等式等价于x解得1<x<97故原不等式的解集为1,97.9.答案2解析由题意得,当0<a<1时,要使4x<logax0<x<12恒成立,只需满足当0<x<12时,函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方即可.当x=12时,412=2,即函数y=4x的图象过点12,2,把点12,2代入函数y=logax,得a=22,假设函数y=4x的图象在函数当a>1时,不符合题意,舍去.所以实数a的取值范围是22三、解答题10.解析(1)函数的定义域为R,即对任意x∈R,x2-ax+a>0恒成立,所以a2-4a<0,解得0<a<4.所以a的取值范围是(0,4).(2)要使函数y=log12(x2-ax+a)在区间(-∞,2)只需f(x)=x2-ax+a在(-∞,2)上单调递减,且f(x)>0.那么a2≥2且(2)2-2a+解得a≥22且a≤2(2+1).故a∈[22,22+2].11.解析(1)由f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1,可知假设使式子有意义,需满足x+1>0,1-x所以函数f(x)的定义域为{x|-1<x<1}.(2)f(x)为奇函数,证明:由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,那么对于任意x∈(-1,1),都有f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(1+x)-loga(1-x)]=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)f(x)>0,即loga(x+1)-loga(1-x)>0,即loga(x+1)>loga(1-x).当a>1时,上述不等式等价于x+1>0,1-x因此f(x)>0的解集为{x|0<x<1}.12.解析(1)因为f(x)的定义域是R,所以x2-ax+1>0在实数集上恒成立,故一元二次方程x2-ax+1=0的根的判别式Δ=a2-4<0⇒a2<4;f(x)的值域是R,说明y=x2-ax+1能取遍所有的正实数,因此一元二次方程x2-ax+1=0的根的判别式Δ=a2-4≥0⇒a2≥4,显然这与a2<4矛盾,故不存在这样的实数a.(2)因为a=2,所以f(x)=log2(x2-2x+1)=log2(x-1)2,函数的定义域为不等于1的全体实数,故区间[0,b]的右端点不能等于1,即b>0且b≠1,显然函数在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.当0<b<1时,函数在[0,b]上是减函数,故函数的最大值为f(0)=log21=0,函数的最小值为f(b)=log2(b2-2b+1),因此函数的值域为[log2(b2-2b+1),0];当1<b≤2时,函数在[0,b]上不单调,根据二次函数图象的对称性可知,函数的最大值为f(0)=log21=0,而x≠1,所以函数的值域为(-∞,0];当b>2时,函数的最大值为f(b)=log2(b2-2b+1),而x≠1,所以函数的值域为(-∞,log2(b2-2b+1)].13.解析(1)当a=2时,f(x)=(log2x)2∴f(2)=1-1-2=-2.(2)由f(x)>0,得(logax)2-logax-2=(logax-2)(logax+1)>0,∴logax<-1或logax>2,当a>1时,解不等式可得0<x<1a或x>a2当0<a<1时,解不等式可得x>1a或0<x<a2综上,当a>1时,f(x)>0的解集为0,1a∪(a2,+∞);当0<a<1时,f(x)>0的解集为(0,a2)(3)由f(x)≥4,得(logax)2-logax-6=(logax-3)(logax+2)≥0,∴logax≤-2或logax≥3.①当a>1时,(logax)max=loga4,(logax)∴loga4≤-2=logaa-2或loga2≥3=logaa3,解得1<a≤32②当0<a<1时,(lo