数学人教A版必修二基础训练1.1.1　柱、锥、台、球的结构特征Word版含解析

第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征根底过关练题组一棱柱的结构特征1.(2021北京丰台高一下期末)如下图,以下四个几何体中,不是棱柱的序号是()A.①B.②C.③D.④2.(2021安徽蚌埠高一上期末)以下命题正确的选项是()A.棱柱的每个面都是平行四边形B.一个棱柱至少有五个面C.棱柱有且只有两个面互相平行D.棱柱的侧面都是矩形3.(2021湖北孝感高一期末)以下说法中正确的选项是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.四棱柱的底面一定是平行四边形C.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱D.棱柱的各条棱长都相等题组二棱锥的结构特征4.(2021福建泉州泉港第一中学高一期中)用一个平面去截一个四棱锥,截面形状不可能是()A.四边形B.三角形C.五边形D.六边形5.(2021安徽合肥高一数学质检)以下说法正确的选项是.(填序号)

①一个棱锥至少有四个面;②如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱都相等;③五棱锥只有五条棱;④用与底面平行的平面去截三棱锥,得到的截面三角形和底面三角形相似.6.以下说法正确的个数为.

①有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;②正棱锥的侧面是等边三角形;③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.题组三棱台的结构特征7.(2021黑龙江哈师大青冈实验中学高一月考)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,截去三棱锥A1-ABC后,剩余局部是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.五棱锥8.有以下三个说法:①两个互相平行的面是正方形,其余各面是四边形的几何体一定是棱台;②有两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有()个个个个9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1B1,A1C1的中点,连接BE,EF,FC,试判断几何体A1EF-ABC是什么几何体,并指出它的底面与侧面.题组四旋转体的结构特征10.(2021陕西铜川一中高一期末)以下几何体中,不是旋转体的是()ABCD11.以下说法中正确的选项是()A.将正方形旋转不可能形成圆柱B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线12.(多项选择)以下说法中正确的有()A.圆柱的侧面展开图是一个矩形B.圆锥的侧面展开图是一个扇形C.圆台的侧面展开图是一个梯形D.棱锥的侧面为三角形13.(2021河南开封高一期中)以下说法中正确的个数是()①空间中到定点的距离等于定长的点构成球;②空间中到定点的距离等于定长的点构成球面;③一个圆绕其一条直径所在直线旋转所形成的曲面围成的几何体是球;④用平面截球,随着角度的不同,截面可能不是圆面.14.给出以下说法:(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥;(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥;(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形;(4)圆锥的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是.

题组五旋转体中的计算问题15.(2021广西南宁高一联考)假设圆柱的轴截面是面积为S的正方形,那么圆柱的底面面积为()A.πS4B.16.(2021河北衡水中学高三临考模拟)定义轴截面为正方形的圆柱为正圆柱.某正圆柱的轴截面是四边形ABCD,点P在母线BC上,且BP=2PC=4.一只蚂蚁从圆柱底部的点A出发沿着圆柱体的外表爬行到点P,那么这只蚂蚁行走的最短路程为()B.9C.917.用一个平面去截半径为25cm的球,截面的面积是225πcm2,那么球心到截面的距离是()cmcmcmcm18.(2021江苏启东中学高一期中)如果用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高为.

19.(2021河南九师联盟高一上期末)某圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别是4和3的矩形,那么该圆柱的底面面积为.

20.(2021黑龙江鹤岗一中高三月考)“圆材埋壁〞是我国古代数学著作?九章算术?中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?〞用现在的数学语言表述是:“如下图,一圆柱埋在墙壁中,AB=1尺,CD=1寸,D为AB的中点,AB⊥CD,那么圆柱底面的直径长是寸.〞(注:1尺=10寸)

21.圆台的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍,求两底面的半径及两底面面积之和.能力提升练一、选择题1.(2021浙江杭州二中高一期中,)圆锥的顶点为S,底面圆心为O,用过SO的平面截该圆锥,所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形,那么该圆锥的侧面展开图的面积为()2π2π2.(2021山东泰安高三一模,)一个封闭的棱长为2的正方体容器,如图,当水平放置时,水面的高度正好为棱长的一半.假设将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条边所在直线任意旋转,那么容器里水面的最大高度为()B.2C.33.(2021北京平谷高三一模,)有一塔形几何体由假设干个正方体构成,构成方式如下图:上层正方体底面的四个顶点恰好是下层正方体上底面各边的中点.最底层正方体的棱长为8,如果该塔形的最上层的正方体的棱长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是()4.(2021北京朝阳高一下期末,)连接空间几何体上的某两点的直线,如果把该几何体绕此直线旋转角α(0°<α<360°),使该几何体与自身重合,那么称这条直线为该几何体的旋转轴.如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内,那么这个八面体的旋转轴共有()条条条条二、填空题5.(2021江苏南大附中高一下段考,)在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下几种几何体(或图形)的4个顶点,这些几何体(或图形)是.(写出所有正确结论的序号)

①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.6.(2021河南三市高三联考,)△ABC的顶点都在半径为R的球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为32R,AB=BC=AC=23,那么球O的半径R=.

三、解答题7.()四棱台的上、下底面分别是边长为4、8的正方形,各侧棱长均为17,求四棱台的高.8.()如下图,正六棱锥S-ABCDEF的底面周长为24,H是BC的中点,O为底面中心,∠SHO=60°,求:(1)正六棱锥的高;(2)正六棱锥的斜高;(3)正六棱锥的侧棱长.答案全解全析第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征根底过关练1.B根据棱柱的定义,知①是三棱柱,③④是四棱柱.2.B对于A,棱柱的底面可以是三角形或梯形等,故A错误;对于B,面最少的棱柱是三棱柱,共有五个面,故B正确;对于C,正方体是正四棱柱,每组对面都相互平行,故C错误;对于D,平行六面体的侧面为平行四边形,故D错误.3.C棱柱的侧面是平行四边形,不可能是三角形,所以A不正确;四棱柱的底面是四边形,不一定是平行四边形,所以B不正确;面最少的棱柱为三棱柱,有六个顶点、九条棱,所以C正确;棱柱的侧棱与底面边长不一定相等,所以D不正确.4.D一般情况下,截面与几何体的几个面相交能得到几条交线,截面就是几边形,而四棱锥有5个面,所以截面形状不可能是六边形,应选D.5.答案①④解析①正确,面最少的棱锥是三棱锥,共有四个面.②不正确,四棱锥的底面是正方形,它的侧棱也不一定相等.③不正确,五棱锥共有十条棱.易知④正确.故填①④.6.答案0解析①错误.如下图的几何体满足此说法,但它不是棱锥.②错误.正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形.③错误.如下图,在三棱锥A-BCD中,有AB=AD=BD=BC=CD,满足底面BCD为等边三角形,侧面ABD,侧面ABC和侧面ACD都是等腰三角形,但AC的长度不确定,所以三个侧面不一定全等.7.B由题图可知,在三棱台ABC-A1B1C1中,截去三棱锥A1-ABC后,剩余局部是四棱锥A1-BB1C1C.8.A①当两个平行的正方形全等时,不是棱台,故①错;②③可用反例去检验,如图(1)、(2)所示,故②③错.9.解析∵E,F分别是A1B1,A1C1的中点,且A1B1=AB,A1C1=AC,B1C1=BC,∴A1EAB=A1F∴△A1EF∽△ABC,且AA1,BE,CF延长后交于一点.又面A1B1C1与面ABC平行,∴面A1EF与面ABC平行,∴几何体A1EF-ABC是三棱台.其中面ABC是下底面,面A1EF是上底面,面ABEA1,面BCFE和面ACFA1是侧面.10.D根据旋转体和多面体的定义,知A、B、C中几何体均为旋转体,D中几何体为多面体.11.C将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱,所以A错误;B中必须以垂直于底边的腰所在直线为轴旋转才能得到圆台,所以B错误;易知C正确;通过圆台侧面上一点,只有一条母线,所以D错误.应选C.12.ABDA.圆柱的侧面展开图是一个矩形,正确;B.圆锥的侧面展开图是一个扇形,正确;C.圆台的侧面展开图是一个扇环,所以不正确;D.棱锥的侧面为三角形,符合棱锥的结构特征,正确.应选ABD.13.B空间中到定点的距离等于定长的点构成球面,故①错误,②正确;由球的结构特征,可知③正确;不管角度如何,用平面截球,所得截面都是圆面,故④错误.14.答案(2)(3)(4)解析(1)不正确,因为直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥;(2)正确;(3)正确,因为圆锥的母线长都相等,所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形;(4)正确,圆锥的轴截面为等腰三角形,腰长为圆锥的母线长,底边长为圆锥底面圆的直径,在此三角形中,腰长有可能大于底边长.15.A设圆柱底面圆的半径为R,由题意知圆柱的母线长等于底面圆的直径2R,那么2R×2R=S,得R2=S4,故圆柱的底面面积为πR2=π16.C将该圆柱沿母线AD剪开,得到其侧面展开图,如下图,其中BP=4,PC=2.由图可知,这只蚂蚁行走的最短路程为AP的长.设圆柱底面圆的半径为r,那么2r=BC=6,∴r=3,∴AB=πr=3π,在Rt△ABP中,AP=AB2+应选C.17.D设截面圆的半径为rcm,∵截面的面积是225πcm2,∴πr2=225π,解得r=15.又∵球的半径为25cm,∴球心到截面的距离d=252-152=2018.答案32解析半径为r的半圆的弧长为πr,那么圆锥底面圆的周长为πr,所以圆锥的底面半径为r2所以圆锥的高为r2-r19.答案4π或解析设圆柱底面圆的半径为r.假设2πr=4,那么r=2π,那么圆柱的底面面积为πr2=π2π2=4π假设2πr=3,那么r=32π,那么圆柱的底面面积为πr2=π32π2=综上,该圆柱的底面面积为4π或920.答案26教你审题“求圆柱底面的直径长〞,列出符合条件的等式是解决问题的关键,跳出题中文言文语言的限制,将圆柱与长方体的镶嵌问题转化为圆与直线的问题,利用“AB⊥CD〞这一信息,可以构建等式.解题关键①三维空间到二维空间的转换.②垂径定理.思路导图“圆材埋壁〞垂径定理→结果.解析连接AO,CO,那么点D在CO上.∵AD=BD,AB=10寸,∴AD=5寸,在Rt△AOD中,∵OA2=OD2+AD2,∴OA2=(OA-1)2+52,∴OA=13寸,∴2OA=26寸.∴圆柱底面的直径长是26寸.21.解析设圆台上底面半径为r,那么下底面半径为2r.将圆台复原为圆锥,如图,那么有∠ABO=30°.在Rt△BO'A'中,rBA'=sin30°=∴BA'=2r.在Rt△BOA中,2rBA=sin30°=∴BA=4r.又BA-BA'=AA',即4r-2r=2a,∴r=a.∴两底面面积之和S=πr2+π(2r)2=5πr2=5πa2.∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为5πa2.能力提升练一、选择题1.A如下图,圆锥的轴截面是面积为4的等腰直角三角形,即12×SA×SB=12×SA2=4,解得SA=22(负值舍去),所以AO=SA·sin45°=22×22=2,所以该圆锥的侧面展开图的面积为12×2π×AO×SA=12×2π×2×22=422.B正方体的面对角线长为22,又水的体积正好是正方体体积的一半,所以当正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条边所在直线旋转45°时,容器里水面的高度最大,此时最大高度为面对角线长的一半,即最大水面高度为2,应选B.3.A最底层正方体的棱长为8,那么从下往上第二层正方体的棱长为42+42=42,第三层正方体的棱长为(22)2+(22)2=4,第四层正方体的棱长为22+22=22,第五层正方体的棱长为(2)2+(2)2=24.答案C教你审题结合八面体的对称性,旋转轴可以分为三类:1.以顶点连线所在直线为旋转轴;2.以正方形对边中点的连线所在直线为旋转轴;3.以八面体相对面的中心的连线所在直线为旋转轴.解题关键正确理解旋转轴的概念,对旋转轴所在的位置正确的分类是解决此题的关键.解析由对称性结合题意可知,以EF,AC,BD所在直线为旋转轴,此时旋转角α最小为90°;以正方形ABCD,AECF,BEDF对边中点所在直线为旋转轴,共6条,此时旋转角α最小为180°;以八面体相对面的中心所在直线为旋转轴,共4条,此时旋转角α最小为120°.综上,这个八面体的旋转轴共有13条.二、填空题5.答案①③④⑤解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1上任意选择4个顶点,它们可能是:①矩形,如四边形ACC1A1;③有三个面为等腰直角三角形,一个面为等边三角形的四面体,如A-A1BD;④每个面都是等边三角形的四面体,如A-CB1D1;⑤每个面都是直角三角形的四面体,如A-A1DC.故填①③④⑤.6.答案4解析因为AB=BC=AC