数学人教a版选择性必修第一册学案第二章251直线与圆的位置关系

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系必备知识·自主学习导思1.如何利用直线与圆的方程判断位置关系？2．能不能利用几何图形判断位置关系？直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断：(1)方法：(2)本质：利用直线与圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系．利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系，哪种方法简单？提示：一般几何法较为简单．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线．()(2)过圆内一点作一条直线，则该直线一定与圆相交．()(3)如果一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，那么这条直线一定过圆心．()提示：(1)×.当点在圆上时，只能作圆的一条切线．(2)√.过圆内的一点作直线，一定与圆有两个交点，因此一定相交．(3)√.直径是圆的最长弦，因此直线一定过圆心．2．已知直线l过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0))，圆C：x2＋y2－4x＝0，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．l与C的位置关系不确定【解析】选A.将圆的方程化为标准方程得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋y2＝4，所以圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0))，半径r＝2，又Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0))与圆心的距离d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－2))2＋02)＝1<2＝r，所以点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．3．(教材二次开发：例题改编)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A．eq\r(3)B．2C．eq\r(6)D．2eq\r(3)【解析】选D.过原点且倾斜角为60°的直线方程eq\r(3)x－y＝0，圆x2＋y2－4y＝0化为标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2))，半径r＝2，圆心到直线的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)×0－2)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2))＝1，因此弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－1)＝2eq\r(3).关键能力·合作学习类型一直线与圆的位置关系的判断(数学运算、直观想象)1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1，3]C．[－3，1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)2．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定3．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，求k的取值范围．【解析】1.选C.方法一：(几何法)由题意可得，圆的圆心坐标为(a，0)，半径为eq\r(2)，所以eq\f(|a－0＋1|,\r(12＋（－1）2))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.方法二：(代数法)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,（x－a）2＋y2＝2，))消y得，2x2＋2(1－a)x＋a2－1＝0，由Δ＝4(1－a)2－8(a2－1)＝－4a2－8a＋12≥0，即a2＋2a－3≤0，解得－3≤a≤1.2．选A.方法一：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．方法二：(几何法).由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5)，故直线l与圆相交．方法三：(代数法)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋（y－1）2＝5，))消去y，整理得：(1＋m2)x2－2m2x＋m2Δ＝(－2m2)2－4(1＋m2)(m2－5)＝4(4m3．方法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得－eq\r(3)＜k＜eq\r(3).方法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝eq\f(2,\r(k2＋1))，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1.即eq\f(2,\r(k2＋1))＞1，解得－eq\r(3)＜k＜eq\r(3).判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：Δ＝b2－4aceq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(>0⇔相交；,＝0⇔相切；,<0⇔相离．))类型二直线与圆相切的问题(逻辑推理、直观想象)【典例】过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，5))画圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋y2＝4的切线，求切线方程．四步内容理解题意条件：①点P(4，5)，②圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋y2＝4结论：切线方程思路探求讨论切线的斜率是否存在，利用圆心到直线的距离等于半径，解出切线方程．书写表达①当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y－5＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4))，即kx－y＋5－4k＝0，由eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k·2＋5－4k)),\r(k2＋1))＝2得k＝eq\f(21,20)，所以切线方程l：21x－20y＋16＝0.②当切线斜率不存在时，切线l的方程为x＝4.综上切线方程为21x－20y＋16＝0和x＝4.注意书写的规范性：①设直线方程；②根据圆心到直线的距离等于半径列方程；③下结论．题后反思设直线方程的点斜式方程时要考虑斜率存在与否．解答题分类讨论，最后要下结论．求圆的切线方程设出直线的方程后，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的方程．设方程时要注意考虑斜率存在与否．已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．【解析】(1)当斜率不存在时，x＝3与圆相切；当斜率存在时，设切线y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，圆心到直线的距离eq\f(|k－2－3k＋1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，切线方程为y＝eq\f(3,4)x－eq\f(5,4).综上，切线方程为y＝eq\f(3,4)x－eq\f(5,4)和x＝3.(2)圆心到直线的距离为eq\f(|a－2＋4|,\r(a2＋1))＝2，解得a＝0，a＝eq\f(4,3).【拓展延伸】1．过圆上一点的切线方程(1)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则在点M处的切线方程为(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2.2．过圆外一点的切线方程(1)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则过M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的方程为x0x＋y0y＝r2.(2)若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外，则过M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的方程为(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2.【拓展训练】已知点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))为圆x2＋y2＝1上一点，求在点M处的切线方程．【证明】方法一：直接应用结论所求切线方程为eq\f(1,2)x＋eq\f(\r(3),2)y＝1，即x＋eq\r(3)y－2＝0.方法二：当斜率不存在时x＝eq\f(1,2)，不与圆相切，舍去；当斜率存在时，设y－eq\f(\r(3),2)＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即2kx－2y－k＋eq\r(3)＝0，圆心到直线的距离eq\f(|－k＋\r(3)|,\r(4k2＋4))＝1，解得k＝－eq\f(\r(3),3)，切线方程为x＋eq\r(3)y－2＝0.综上，切线方程为x＋eq\r(3)y－2＝0.类型三直线与圆的相交问题(数学运算，直观想象)角度1求弦长【典例】已知圆x2＋y2－6x＝0，过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A．1B．2C．3D．4【思路导引】首先判断点在圆内，然后利用最短弦与点和圆心连线垂直，构造直角三角形求解．【解析】选B.将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C点坐标为(3，0)，半径r＝3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AC))＝eq\r(（3－1）2＋（0－2）2)＝2eq\r(2)，所以|BD|min＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(32－（2\r(2)）2)＝2，即弦的长度的最小值为2.本【典例】若求最大值呢？【解析】当直线过圆心时，弦长最大．所以最大弦长为圆的直径6.角度2综合问题【典例】已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，若在圆C中存在弦AB，满足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝2eq\r(3)，且AB的中点M在直线2x＋y＋k＝0上，则实数k的取值范围是()A．[－2eq\r(5)，2eq\r(5)]B．[－5，5]C．(－eq\r(5)，eq\r(5))D．[－eq\r(5)，eq\r(5)]【思路导引】把弦长转化为圆心到直线的距离．【解析】选D.圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，因此其圆心为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2))，半径r＝2，由于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝2eq\r(3)，且AB的中点为M，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CM))＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))\s\up12(2))＝1，因此点M在以C(－1，2)为圆心，1为半径的圆上，又点M在直线2x＋y＋k＝0上，所以直线2x＋y＋k＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1有公共点，则eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2＋2＋k)),\r(5))≤1，解得－eq\r(5)≤k≤eq\r(5)，故实数k的取值范围是[－eq\r(5)，eq\r(5)].1．弦长的求法若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq\r(r2－d2).2．直线与圆的综合问题的求解策略直线与圆和平面几何、平面向量的联系十分紧密，可充分考虑平面几何、平面向量知识的运用．1．若直线x－y＝2被圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a))2＋y2＝4所截得的弦长为2eq\r(2)，则实数a的值为()A．0或4B．0或3C．－2或6D．－1或eq\r(3)【解析】选A.由圆的方程，可知圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0))，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2eq\r(2)，所以圆心到直线的距离d＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),2)))2)＝eq\r(2).又d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－2)),\r(2))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－2))＝2，解得a＝4或a＝0.2．已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y－4＝0内，过点O(0，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．6B．8C．10D．12【解析】选D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋1))eq\s\up12(2)＝9，由题意可得：最长弦为直径6，最短的弦是4，则四边形ABCD的面积为12.3．已知直线y＝2x＋1与圆x2＋y2＋ax＋2y＋1＝0交于A，B两点，直线mx＋y＋2＝0垂直平分弦AB，则m的值为________，弦AB的长为________．【解析】设直线CD：mx＋y＋2＝0可化为y＝－mx－2，由垂直得2×(－m)＝－1，m＝eq\f(1,2).直线CD的表达式为y＝－eq\f(1,2)x－2.圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋(y＋1)2＝eq\f(a2,4)，圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－1))，半径eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)),2).代入直线CD的表达式得－1＝－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))－2，解得a＝4.所以圆心C(－2，－1)，半径为2.弦AB的长为2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－4＋1＋1|,\r(5))))2)＝eq\f(8\r(5),5).答案：eq\f(1,2)eq\f(8\r(5),5)课堂检测·素养达标1．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为eq\r(2)的切线方程为()A．y＝x＋eq\r(2)B．y＝－x＋eq\r(2)C．y＝x＋eq\r(2)或y＝－x＋eq\r(2)D．x＝1或y＝x＋eq\r(2)【解析】选C.在y轴上截距为eq\r(2)且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋eq\r(2)，则eq\f(|\r(2)|,\r(k2＋1))＝1，所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋eq\r(2)或y＝－x＋eq\r(2).2．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．【解析】由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝eq\r(5)，又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝eq\f(|3－2－6|,\r(32＋（－1）2))＝eq\f(\r(10),2)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2)＝r2－d2，得