数学人教A版必修二基础训练1.3.2球的体积和表面积Word版含解析

1.3.2球的体积和外表积根底过关练题组一球的体积和外表积1.(2021陕西延安高二期中)一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4cm,那么该球的体积是()A.100π3cm3B.208C.500π3cm3D.4162.球的体积是32π3,C.16π33.假设三个球的外表积之比为1∶4∶9,那么这三个球的体积之比为.

题组二与三视图有关的球的体积和外表积4.(2021河南新乡高一月考)某几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为()A.2π+4C.4π+45.(2021上海静安高三模拟)一个半径为2的球体经过切割后,剩余局部几何体的三视图如下图,那么该几何体的外表积为.

题组三与球的截面有关的球的体积和外表积6.(2021湖南长沙长郡中学高三模拟)长方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在球面上,AB=AD=8,AA1=6,过棱AB作该球的截面,那么当截面面积最小时,球心到截面的距离为()7.(2021安徽淮南高三模拟)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,那么球的体积为()A.500π3cm3B.866C.1372π3cm3D.20488.球O的一个截面圆的圆心为M,圆M的半径为3,OM的长度为球O的半径的一半,那么球O的外表积为()B.32题组四球的切、接问题9.(2021云南昆明五华高三联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥A1-BC1D的内切球的外表积为16π,那么正方体外接球的体积为()2π10.(2021江苏泰州高一月考)四面体A-BCD满足:AB=BC=CD=DA=AC=1,BD=2,那么四面体A-BCD外接球的外表积为.

11.四面体的各面都是棱长为a的正三角形,求它外接球的体积及内切球的半径.能力提升练一、选择题1.()各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3,体积为6,那么这个球的外表积为()2.()等体积的球和正方体的外表积S球与S正方体的大小关系是()A.S正方体>S球B.S正方体<S球C.S正方体=S球D.无法确定3.(2021江西景德镇一中高一上期末,)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖,清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑.如下图,某园林建筑为四角攒尖,它的主要局部的轮廓可近似看作一个正四棱锥,假设此正四棱锥的侧面积是底面面积的3倍,那么此正四棱锥的内切球半径与底面边长之比为()A.33B.C.22D.4.(2021陕西宝鸡渭滨高一上期末,)三棱锥A-BCD中,AB=CD=3,AD=BC=2,AC=BD=5,那么三棱锥A-BCD的外接球的体积是()6πB.6π5.(2021江西抚州高一期末,)如图,用一边长为2的正方形硬纸,按各边中点垂直折起4个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为4π3的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,那么鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为A.62+32C.22+32D.3二、填空题6.()麻团又叫煎堆,呈球形,华北地区称麻团,是一种古老的中华传统特色油炸面食,寓意团圆.一个长方体形状的纸盒中恰好能放入4个球形的麻团,且相邻的2个麻团相切,同时与长方体纸盒上、下底面和侧面均相切,其俯视图如下图,假设长方体纸盒的外表积为576cm2,那么一个麻团的体积为cm3.

7.(2021吉林长春高二上期末,)三棱锥A-BCD中,AB,AC,AD两两相互垂直,且AB=3,AC=4,AD=12,那么三棱锥A-BCD外接球的外表积为.

8.()圆柱形玻璃容器内盛有高度为8cm的水,假设放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如下图),那么球的半径是cm.

9.(2021河南名校联盟高一下期末,)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别为A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点,沿平面AEH,BEF,CFG,DGH分别截去四个小三棱锥后,所得多面体的外接球的外表积为.

三、解答题10.()有三个球,球O1内切于正方体,球O2与这个正方体各棱都相切,球O3过这个正方体的各个顶点,求球O1、球O2、球O3的外表积之比.1.3.2球的体积和外表积根底过关练1.C根据球的截面性质,得球的半径R=32+42所以V球=43πR3=500π3cm3.2.B设球的半径为R,那么由得43πR3=32π3,解得R=2,故S球=4πR3.答案1∶8∶27解析设三个球的半径分别为R1,R2,R3,∵三个球的外表积之比为1∶4∶9,∴4πR12∶4πR22∴R12∶R22∴R1∶R2∶R3=1∶2∶3,∴R13∶R23∴V1∶V2∶V3=43πR13∶43πR23∶43πR34.A结合三视图可知该几何体是一个组合体,下半局部是一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,上半局部是一个半径为1的半球,所以该几何体的体积V=23π×13+13×22×3=2π+45.答案16π解析该几何体是从一个球中挖去14个球后剩余的局部,所以该几何体的外表积为34×(4π×22)+2×π6.C过棱AB作该球的截面,当截面面积最小时,截面的直径为AB=8,∵长方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在球面上,AB=AD=8,AA1=6,∴球的半径为12×82+∴球心到截面的距离为41-16应选C.7.A设球的半径为Rcm,那么由题意知球被正方体上底面截得的圆面的半径为4cm,球心到截面圆的距离为(R-2)cm,那么R2=(R-2)2+42,解得R=5.∴球的体积为4π×5338.D如下图,由题意知AM=3.设球O的半径为R,那么OM=12R,OA=在Rt△OMA中,有OM2+AM2=OA2,即14R2+3=R2,解得R=2,所以球O的外表积为4π×22=16π9.A设正方体的棱长为a,那么BD=2a,∵三棱锥A1-BC1D的内切球的外表积为16π,∴三棱锥A1-BC1D的内切球半径为2,设三棱锥A1-BC1D的内切球的球心为O,A1到平面BC1D的距离为h,那么VA1-即13S△BC1D×h=4×1∴h=63×2a=8,∴a=43∴正方体外接球的半径R=12×3a=6∴正方体外接球的体积为43πR3=288π应选A.10.答案2π关键点拨求解球的内切与外接问题的关键是根据条件确定好球心,由题意可知△ABD,△CBD均为直角三角形,那么四面体外接球的球心为BD的中点,进而可求得其半径.解析四面体A-BCD如下图,因为在四面体A-BCD中,AB=BC=CD=DA=AC=1,BD=2,所以AB2+AD2=BD2,BC2+CD2=BD2,那么△ABD,△CBD均为直角三角形,故该四面体外接球的球心为BD的中点,即半径R=12BD=2故外表积S=4πR2=2π.11.解析如图,设SO1是四面体S-ABC的高,那么外接球的球心O在SO1上.设外接球的半径为R.∵四面体的棱长均为a,O1为正三角形ABC的中心,∴AO1=23×32a=3SO1=SA2-AO1在Rt△OO1A中,R2=AO12+OO12=AO12+(SO即R2=33a2+63a-R2,解得R=64a∴所求外接球的体积V=43πR3=68πa易知OO1为内切球的半径,OO1=63a-64a=6∴所求内切球的半径为612能力提升练一、选择题1.A设正四棱锥的高为h,底面边长为a,那么h=3,由V=13a2h=6,得a=6,那么底面正方形的对角线长为23,由题意知,球心在正四棱锥的高上,设球的半径为r,那么(3-r)2+(3)2=r2,解得r=2,故S球=4πr2=16π.应选A2.A设正方体的棱长为a,球的半径为R.由题意得V=43πR3=a3,所以a=3V,R=33V4π.所以S正方体=6a2=63V2=3216V2,S球=4πR3.B正四棱锥P-ABCD如下图,设AB=a,正四棱锥的高PH=h,那么斜高为h2+a24,由题意得4×12×a×h2+a24=3a2,所以h=2a.那么S表=设正四棱锥的内切球半径为r,由等积法可得13×a2×h=13×4a2×r,所以r=h4=24a,所以ra=4.B将三棱锥A-BCD放置于长方体中,如下图,那么长方体的外接球就是三棱锥A-BCD的外接球.设过长方体一个顶点的三条棱长分别为a,b,c,∵AB=CD=3,AD=BC=2,AC=BD=5,∴长方体的体对角线长为a=1=12×[(可得外接球的半径R=62因此三棱锥A-BCD的外接球的体积V=43×π×623=6π.应选B.5.D由题意,可得蛋巢的底面是边长为1的正方形,那么经过4个小三角形的顶点截鸡蛋(球)所得的截面圆的直径为1.因为鸡蛋的体积为4π3,所以鸡蛋的半径为1,所以球心到截面圆的距离为12-122=32,因为垂直折起的4个小直角三角形的高为12,所以鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为1+32二、填空题6.答案36π解析设麻团的半径为rcm,那么根据题意易得长方体纸盒的长为4rcm,宽为4rcm,高为2rcm,那么2(4r×4r+4r×2r+4r×2r)=576,解得r=3(负值舍去),所以一个麻团的体积为43πr3=36πcm37.答案169π解析因为AB,AC,AD两两相互垂直,所以可将三棱锥A-BCD补形为以AD,AB,AC分别为长、宽、高的长方体,那么该长方体的外接球即为三棱锥A-BCD的外接球,所以该球的半径R=122+32+422=8.答案4解析设球的半径为rcm,那么由题意可得3V球+V水=V,即3×43πr3+πr2×8=πr2×6r,所以r=4.故球的半径是4cm9.答案41解析如图,设多面体的外接球的球心为O,平面EFGH截球所得的截面圆圆心为O1,平面ABCD截球所得的截面圆圆心为O2,连接OO1,OO2,OF,OC,O1F,O2C,设球O的半径为R,OO1=m,那么OO2=2-m,分别在Rt△OO1F和Rt△OO2C中,有R2-m2=1,R2-(2-m)2=2,两式相减得4m-4=1,解得m=54,所以R2=4116,故S球=4πR2=三、解答题10.解析设正方体的棱长为a.球O1为正方体的内切球,球心O1是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点及球心作截面,如图①所示,设球O1的半径为r1,外表积为S1,那么2r1=a,解得r1=a2,所以S1=4πr12=π球O2与正方体各