2020-2021高中数学人教版第一册学案：5.1.1任意角含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：5.1.1任意角含解析第五章三角函数5．1任意角和弧度制5．1。1任意角[目标]1.理解任意角的概念，能区分各类角的概念；2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角；3。理解终边相同的角的含义及其表示，并能解决有关问题．[重点]用集合的形式表示终边相同的角．[难点]会判断角的终边所在的象限．知识点一角的概念的推广和分类[填一填］1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2．正角、负角和零角我们规定,一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角．这样，零角的始边与终边重合．如果α是零角，那么α＝0°。［答一答］1．根据角的新的定义，角的范围有什么变化？提示:角的范围不再是以前学的锐角、直角以及钝角,而是任意的角．2．如图所示，图（1）中，角α的度数为330°，图(2）中，角β的度数为－150°，角γ的度数为570°.解析:题图（1）中，α＝360°－30°＝330°；题图(2）中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β）＝360°＋60°＋150°＝570°。知识点二象限角[填一填］为了讨论问题的方便，我们在直角坐标系内使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么,角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称它为轴线角（或称为象限界角)．［答一答]3．把角的顶点放在平面直角坐标系的原点,角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边（除端点外)可能落在什么位置？提示:坐标轴上或四个象限内．4．“锐角”、“第一象限角”、“小于90°的角”三者有何不同？提示:锐角是第一象限角也是小于90°的角,而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．知识点三终边相同的角[填一填］所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°,k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和．[答一答]5．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗?提示:终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．6．与－2014°角终边相同的最小正角是146°。解析：－2014°＝146°－360°×6,填146°.

类型一任意角的概念［例1]分别求出下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角α，β，γ。［解]题图①中，正角α＝720°＋30°＝750°.题图②中，负角β＝－（360°－210°）＝－150°，正角γ＝210°－150°＝60°。在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向；②要明确旋转角的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置；④注意由旋转方向来确定的符号.[变式训练1](1）将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是－120°。(2）射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则∠AOD＝－100°。解析:(1)将时钟拨快20分钟，分针顺时针旋转120°，所以分针转过的度数为－120°。(2）如图:∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝（－80°)＋250°＋（－270°)＝－100°.类型二终边相同的角的表示命题视角1：终边相同的角及象限角的表示［例2]将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α〈360°）的形式,并指出是第几象限角．(1）420°；（2)－510°;（3）1020°。[解](1）420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角,故420°角是第一象限角．(2)－510°＝－2×360°＋210°，而210°角是第三象限角，故－510°角是第三象限角．(3）用1020°除以360°的商为2，余数为300°，即1020°＝2×360°＋300°，而300°角是第四象限角,故1020°角是第四象限角．首先把β写成k·360°＋αk∈Z,0°≤α〈360°的形式,然后只需判断β所在的象限即可.［变式训练2]（1）在四个角20°，－30°，100°，220°中,第二象限角的个数为(B）A．0B．1C．2D．3(2)与－460°角终边相同的角可以表示成(C）A．460°＋k·360°，k∈ZB．100°＋k·360°，k∈ZC．260°＋k·360°,k∈ZD．－260°＋k·360°，k∈Z解析：(2）因为－460°＝260°＋(－2）×360°,故－460°可以表示成260°＋k·360°,k∈Z，故选C.命题视角2：终边落在直线上的角的表示［例3］(1）写出终边落在x轴上的角的集合；（2）终边落在y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合；（3)写出终边落在直线y＝－x上的角的集合．[解]（1）在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝｛β｜β＝0°＋k·360°,k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝｛β｜β＝180°＋k·360°，k∈Z｝，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．（2）∵y＝eq\r（3）x（x≥0)表示第一象限内的一条射线，∴终边落在y＝eq\r(3）x（x≥0）上的角与60°角的终边重合,故终边落在y＝eq\r(3)x（x≥0)上的角的集合为｛α｜α＝k·360°＋60°，k∈Z｝．(3）如图,直线y＝－x过原点，倾斜角为135°，以射线OA为终边的角的集合为S1＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z},以射线OB为终边的角的集合为S2＝{α｜α＝135°＋180°＋k·360°，k∈Z｝．所以，终边落在直线y＝－x上的角的集合为S＝S1∪S2＝｛α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}∪｛α|α＝135°＋180°＋k·360°，k∈Z｝＝{α｜α＝135°＋2k·180°,k∈Z｝∪{α｜α＝135°＋（2k＋1）180°，k∈Z｝＝｛α｜α＝135°＋n·180°，n∈Z}．已知终边求角的一般方法是:先根据终边位置在0°~360°范围内写出符合要求的角α，再根据终边相同的角的集合的表示形式写出与角α终边相同的角的集合，如果已知角的终边在一条直线上,则需对写出的两个集合求并集并进行化简.

[变式训练3］如图所示，已知直线l1：y＝eq\f(\r(3)，3）x及直线l2：y＝－eq\r(3)x，且l1与l2垂直,请表示出终边落在直线l1，l2上的角．解：由题图知，终边落在直线l1上的角的集合为M1＝{α｜α＝30°＋k·360°,k∈Z｝∪｛α｜α＝210°＋k·360°,k∈Z}＝｛α｜α＝30°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛α｜α＝30°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝｛α|α＝30°＋m·180°，m∈Z}；终边落在直线l2上的角的集合为M2＝｛α｜α＝120°＋k·360°,k∈Z｝∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}＝{α｜α＝120°＋2k·180°,k∈Z｝∪{α|α＝120°＋(2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛α｜α＝120°＋m·180°,m∈Z}．命题视角3：区域角的表示[例4]已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．[分析]结合图形，在0°~360°范围内,写出终边在阴影部分内的角的范围，再加上360°的整数倍后进行集合的运算．[解]终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝｛α|α＝30°＋k·180°,k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z｝．表示区间角的三个步骤,第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；，第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°~360°范围内的角α和β，写出最简区间｛x｜α〈x〈β｝；,第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合。[变式训练4］写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合，如图所示．解：如题图(1)所示，以OB为终边的角有330°角,可看成是－30°，∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：S1＝｛x｜x＝75°＋k·360°，k∈Z｝，S2＝｛x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}．∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|k·360°－30°≤θ≤k·360°＋75°,k∈Z｝．如题图（2)所示,以OB为终边的角有225°角,可看成是－135°，∴终边落在阴影部分的角的集合为｛θ|－135°＋k·360°≤θ≤135°＋k·360°，k∈Z｝．1．以下说法，其中正确的有(D)①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角;③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析:①②③④都正确．2．手表时针走过了1小时，时针转过的度数为（D）A．60° B．－60°C．30° D．－30°解析：顺时针转过eq\f（1,12）个周角,转过的度数为－30°.3．设A＝｛小于90°的角}，B＝{锐角｝,C＝｛第一象限角},D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有（D)A．BCA B．BACC．D（A∩C) D．C∩D＝B解析：显然第一象限角不是都小于90°，且小于90°的角不都在第一象限，故A，B错，0°不属于任何象限，故C错,锐角为小于90°而大于0°的角，∴C∩D＝B,选D.4．将－885°化为α＋k·360°（k∈Z，0°≤α〈360°）的形式是195°＋(－3）×360°。解析：－885°＝（－3)×360°＋195°.5．若角α的终边和函数y＝－|x｜的图象重合,试写出角α的集合．解：由于y＝－｜x|的图象是三、四象限的平分线，故在0°~360°间所对应的两个角分别为225°及315°，从而角α的集合为S＝{α|α＝k·360°＋225°或α＝k·360°＋315°，k∈Z}．-—本课须掌握的两大问题1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动"的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同的角的认识一般地，所有与角α终边相同的角,连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，