2020-2021数学1-2课时2.2.2反证法含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年人教版A数学选修1-2课时分层作业：2.2.2反证法含解析课时分层作业(六）反证法(建议用时：40分钟)一、选择题1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°",应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°B[由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以选B.]2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根A[依据反证法的要求,即至少有一个的反面是一个也没有,直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根,故应选A。]3．用反证法证明数学命题时,首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a,b，c中恰有一个偶数"时正确的假设为（）A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a,b,c都是偶数C．自然数a，b,c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数D［反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．］4．已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(）A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线C［假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线，故选C。］5．设x，y,z都是正实数,a＝x＋eq\f(1，y），b＝y＋eq\f（1,z），c＝z＋eq\f（1，x），则a,b，c三个数（)A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2C［若a，b，c都小于2，则a＋b＋c〈6， ①而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f（1，y）＋z＋eq\f(1,z）≥6， ②显然①②矛盾，所以C正确．]二、填空题6．用反证法证明“若函数f（x）＝x2＋px＋q，则|f（1）｜，｜f（2）|,|f(3）|中至少有一个不小于eq\f(1,2）”时，假设内容是__________．|f（1)|，｜f(2）|，｜f(3)｜都小于eq\f(1，2)[“｜f(1）|，|f(2）|,|f（3）｜中至少有一个不小于eq\f（1,2)”的反面是“|f（1）|，|f(2）｜,|f(3）｜都小于eq\f（1，2）”．］7．用反证法证明命题“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1"时，应假设______________________________________________．x≠－1且x≠1[反证法的反设只否定结论，“或”的否定是“且”，所以是x≠－1且x≠1.］8．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…,a7是由数字1，2，…，7任意排成的一个数列，求证:乘积p＝(a1－1)(a2－2）…（a7－7）为偶数．证明：假设p为奇数，则________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．a1－1，a2－2，…，a7－7（a1－1)＋（a2－2）＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－（1＋2＋…＋7)[由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故（a1－1）＋(a2－2)＋…＋(a7－7）＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7）＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．］三、解答题9．已知x，y〉0，且x＋y〉2。求证：eq\f(1＋x,y），eq\f（1＋y，x)中至少有一个小于2。[证明］假设eq\f（1＋x,y)，eq\f（1＋y，x）都不小于2,即eq\f（1＋x，y)≥2,eq\f(1＋y，x）≥2.∵x,y>0，∴1＋x≥2y，1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y）,即x＋y≤2与已知x＋y〉2矛盾．∴eq\f（1＋x,y），eq\f(1＋y,x）中至少有一个小于2。10．已知m是整数，且m2＋6m是偶数,求证：m[证明]假设m是奇数，不妨设m＝2k－1(k∈Z)，则m2＋6m＝(2k－1）2＋6(2k－1)＝4k2＋8k－5＝4（k2＋2k因为k∈Z，所以k2＋2k∈Z,于是4(k2＋2k）是偶数，从而4(k2＋2k)－5为奇数，即m2＋6m是奇数，这与已知条件中的m2＋6因此假设错误，即m不是奇数．1．已知a、b、c∈（0,1)．则在(1－a)b、（1－b)c、（1－c）a中，(）A．不能同时大于eq\f(1,4) B．都大于eq\f(1，4)C．至少一个大于eq\f（1，4） D．至多有一个大于eq\f(1，4）A［法一：假设(1－a)b、(1－b）c、(1－c）a都大于eq\f（1，4）.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数．eq\f（1－a＋b，2)≥eq\r（1－ab)＞eq\r(\f(1，4))＝eq\f(1,2),同理eq\f(1－b＋c,2）＞eq\f（1,2），eq\f(1－c＋a,2）＞eq\f（1,2）.三式相加,得eq\f(1－a＋b，2)＋eq\f（1－b＋c,2)＋eq\f（1－c＋a,2)＞eq\f(3，2），即eq\f(3，2)＞eq\f（3,2)，矛盾．所以（1－a）b、（1－b)c、（1－c）a不能都大于eq\f(1,4）。法二：假设三个式子同时大于eq\f(1，4）,即(1－a)b〉eq\f（1,4），(1－b）c〉eq\f(1，4），（1－c）a〉eq\f(1，4)，三式相乘得（1－a)b(1－b)c（1－c）a〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4））)eq\s\up12（3)， ①因为0<a〈1,所以0<a（1－a）≤eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1－a＋a,2)）)eq\s\up12(2）＝eq\f（1，4)。同理，0〈b(1－b）≤eq\f（1，4），0<c(1－c）≤eq\f（1，4）.所以（1－a)a（1－b)b(1－c)c≤eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,4)))eq\s\up12（3)。 ②因为①与②矛盾，所以假设不成立,故选A.]2．设椭圆eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2,b2）＝1(a＞b＞0）的离心率为e＝eq\f(1,2),右焦点为F(c，0），方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（)A．必在圆x2＋y2＝2上B．必在圆x2＋y2＝2外C．必在圆x2＋y2＝2内D．以上三种情形都有可能C［∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2），∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2。假设点P(x1，x2)不在圆x2＋y2＝2内，则xeq\o\al（2，1）＋xeq\o\al(2，2)≥2，，但xeq\o\al（2,1)＋xeq\o\al(2，2)＝(x1＋x2）2－2x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(b，a）)）eq\s\up12(2)＋eq\f（2c,a)＝eq\f（3c2，4c2)＋eq\f(2c,2c）＝eq\f(7,4)〈2,矛盾．∴假设不成立．∴点P必在圆x2＋y2＝2内．故选C。]3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是________．丙［若甲是获奖的歌手,则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话,不符合题意．若丁是获奖的歌手,则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．]4．设a，b是两个实数，给出下列条件:①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2<2。其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________（填序号)．③[假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.则①②④均有可能成立,故①②④不能推出“a,b中至少有一个大于1”，故选③.]5．等差数列｛an}的前n项和为Sn，a1＝1＋eq\r（2),S3＝9＋3eq\r(2）.（1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2）设bn＝eq\f(Sn,n)（n∈N＊），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．［解］(1）设公差为d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r（2）＋1,,3a1＋3d＝9＋3\r(2），)）∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r（2）,Sn＝n(n＋eq\r(2）)．(2）证明：由（1)得bn＝eq\f(Sn,n）＝n＋eq\r（2）。假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列,则beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r（2)）2＝（p＋eq\r(2））（r＋eq\r(2)）,∴(q2－pr)＋(2q－p－r)eq\r(2）＝0。∵p，q，r∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（q