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PAGEPAGE3平面上两点间的距离【学习导航】中点坐标中点坐标1.掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式;2.能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题.(1)平面上两点之间的距离公式为.(2)中点坐标公式:对于平面上两点,线段的中点是,则.【精典范例】例1:(1)求A(-1,3)、B(2,5)两点之间的距离;(2)已知A(0,10),B(a,-5)两点之间的距离为17,求实数a的值.【解】(1)由两点间距离公式得AB=(2)由两点间距离公式得,解得a=.故所求实数a的值为8或-8.例2:已知三角形的三个顶点,试判断的形状.分析:计算三边的长,可得直角三角形.【解】,∵,∴为直角三角形.点评:本题方法多样,也可利用、斜率乘积为-1,得到两直线垂直.例3:已知的顶点坐标为,求边上的中线的长和所在的直线方程.分析:由中点公式可求出中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出的长和所在的直线方程.【解】如图,设点.∵点是线段的中点,∴,即的坐标为.由两点间的距离公式得.因此,边上的中线的长为.由两点式得中线所在的直线方程为,即.点评:本题是中点坐标公式、距离公式的简单应用.例4.已知是直角三角形,斜边的中点为,建立适当的直角坐标系,证明:.证:如图,以的直角边所在直线为坐标轴,建立适当的直角坐标系,设两点的坐标分别为,∵是的中点,∴点的坐标为,即.由两点间的距离公式得所以,.追踪训练一1.式子可以理解为()两点(a,b)与(1,-2)间的距离分析:入射光线和反射光线所在直线都经过反射点,反射直线所在直线经过点关于直线的对称点.【解】入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线对称,设点关于直线对称点的坐标为,因此的中点在直线上,且所在直线与直线垂直,所以,解得.反射光线经过两点,∴反射线所在直线的方程为.由得反射点.入射光线经过、两点,∴入射线所在直线的方程为.点评:求点关于直线的对称点,通常都是根据直线垂直于直线,以及线段的中点在直线上这两个关系式列出方程组,然后解方程组得对称点的坐标.思维点拔:平面上两点间的距离公式为,线段中点坐标为.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用,如:计算图形面积,判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题.追踪训练二1.点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐标为()(1,4)(-1,4)(1,-4)(-1,-4)2.直线3x-y-2=0关于x轴对称的直线方程为.3.已知点,试求点的坐标,使四边形为等腰梯形.答案:点
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