人教版B版（2022）高中数学必修第一册：第三章综合测试（含答案与解析）

第三章综合测试一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数（不为零），且，则等于（）A.B.C.2.已知函数的定义域为，若，则函数的定义域为（）A.B.C.D.3.已知函数，则等于（）4.已知函数若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.5.若函数是定义在上的偶函数，则（）C.D.6.某工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外，每生产1件该产品还需要增加投资1万元，已知年产量为件，当时，年销售总收入为万元；当时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元，要使年利润最大，则该工厂的年产量为（）（）件件件件7.设集合，，函数若，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知二次函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.9.已知函数是上的偶函数，且满足，在上只有，则在上的零点的个数为（）二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）10.下列各组函数表示的是同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与E.与11.下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是（）A.B.C.D.E.12.已知函数，则（）A.的定义域为B.为定义域上的增函数C.为非奇非偶函数D.的最大值为8E.的最小值为2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.若是上的单调函数，则实数的取值范围为________.14.设是定义在上的函数，且，在区间上，其中，若，则的值是________.15.已知函数在上为奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为________.16.下列说法：①若方程有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③若函数的值域是，则函数的值域为；④曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1.其中正确的为________（填序号）四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知函数是上的偶函数.（1）求实数的值；（2）判断并用定义法证明函数在上的单调性.18.（12分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示，请根据图像解答下列问题.（1）写出函数的增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若函数，求函数的最小值.19.（12分）已知函数，且.（1）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性；（2）证明函数在上是增函数；（3）求函数在区间上的最大值和最小值.20.（12分）近年来，雾霾日益严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题.某空气净化器制造厂决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（）.销售收入（万元）满足假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润的函数解析式（）；（2）工厂生产多少台产品时，可使利润最多？21.（12分）若非零函数对任意实数均有，且当时，.（1）求证：；（2）求证：为减函数；（3）当时，解不等式.22.（12分）已知函数对任意的实数都有，且当时，有.（1）求；（2）求证：在上为增函数；（3）若，且关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

第三章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】，.故选B.2.【答案】A的定义域为，解得即3.【答案】C【解析】4.【答案】D【解析】当时，，解得；当时，，符合条件；当时，，解得.综上，，故选D.5.【答案】B【解析】∵偶函数的定义域关于原点对称，，解得.由可得，∴.∴，，故选B.6.【答案】C【解析】由题意得，当时，，时，；而当时，，所以时，所得年利润最大，故选C.7.【答案】C【解析】，，，，，又.故选C.8.【答案】D【解析】当方程在上有两个相等的实数根时，有此时无解.当方程有两个不相等是实数根时，分下列三种情况讨论.①有且只有一根在上时，有，即，解得；②当时，，方程化为，解得，，满足题意；③当时，，方程可化为，解得，，满足题意综上所述，实数的取值范围为.故选D.9.【答案】B【解析】由题意可得，.当时，仅有一个零点，且是偶函数，在上仅有一个零点，在上有两个零点，即与.，，所求零点的个数为，故选B.二、10.【答案】BD【解析】对于A，与的对应关系不同，故与表示的不是同一个函数；对于B，与的定义域和对应关系均相同，故与表示事同一个函数；对于C，的定义域为，的定义域为，故与表示的不是同一个函数；对于D，与的对应关系x和定义域均相同，故与表示的是同一个函数；对于E，的定义域是，的定义域是，故与表示的不是同一个函数.故选BD.11.【答案】CE【解析】对于A，是定义域R上的偶函数，.不满足题意；对于B，在定义域上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数.不满足题意；对于C，在定义域上是奇函数，且是减函数，满足题意；对于D，在定义域上是奇函数，且是增函数.不满足题意；对于E，在定义域上是奇函数，且是减函数，满足题意.故选CE.12.【答案】ACE【解析】由题设可得函数的定义域为，，而，即，，的最大值为，最小值为2，故选ACE.三、13.【答案】【解析】在上是单调递减的，且在上是单调函数，在上一定单调递减，解得，.14.【答案】【解析】，，，又，，，，.15.【答案】【解析】为奇函数，，.为奇函数且在上单调递增，在上单调递增.由数形结合解对可得或，即不等式的解集为.16.【答案】答案①④【解析】①方程有一正一根，则有解得，故①正确；②定义域为，此时，既是奇函数也是偶函数，故②不正确：③函数的值域与函数的值域相同，故③不正确；④画出曲线，如图所示，曲线和直线的公共点的个数可能为0，2，3，4，故的值不可能是1，故④正确.故填①④.四、17.【答案】（1）因为函数是上的偶函数，所以，即对任意实数恒成立，解得.（2）由（1）得，此函数在上为增函数.证明：任取，且，则，因为，且，所以，，，所以，即.所以函数在上为增函数.18.【答案】（1）根据偶函数的性质及已知条件，将题中的图像补充完整（图略），由函数图像知，的增区间为和.（2）当时，，，又函数是定义在上的偶函数，所以，所以函数的解析式为（3）由（2）知，.因为函数，的图像的对称轴为直线，所以①当，即时，函数的最小值为；②当，即时，函数的最小值为；③当，即时，函数的最小值为.19.【答案】（1）在其定义域上为奇函数.证明如下：，，，且函数的定义域关于原点对称，在定义域上称为奇函数.（2）证明：任取，且，，，即，在为增函数.（3）由（2）可知在上单调递增，在上的最小值和最大值分别，.20.【答案】（1）由题意得，则即（2）当时，函数在定义域内递减，所以；当时，，所以当时，有最大值，最大值为60.综上，当工厂生产1200台产品时，可使利润最多，利润最多为60万元。21.【答案】（1）证明：，又.（2）证明：任取，则，又为非