人教B版（2022）高中数学选择性必修第一册2.1　坐标法word含答案

第二章平面解析几何坐标法课后篇巩固提升基础达标练1.数轴上的三点M,N,P的坐标分别为3,-1,-5,则MP+PN等于( 解析MP+PN=MN=-1-答案A2.数轴上点P(x),A(-8),B(-4),若|PA|=2|PB|,则x等于() 163 C.163 或解析因为|PA|=2|PB|,所以|x+8|=2|x+4|,解得x=0或-163答案D(1,-2)关于A(-1,1)的对称点P'的坐标为()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)解析设P'点坐标为(x,y),因为A为PP'的中点,所以1+x2故P'的坐标为(-3,4).答案B4.已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点不是()A.(9,-4) B.(1,8)C.(-3,0) D.(1,-3)解析设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论.(1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有3+52=-1+x2,-2+22(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8);(3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故选D.答案D5.在数轴上有点A(1),若点A负向移动3个单位长度到达点B,则AB=.向量AB与以B为起点,终点坐标为的向量是相等向量.

解析由于A(1)负向移动3个单位长度到达B点,所以B点坐标为-2,则向量AB的坐标为-3,若以B为起点的向量为-3,则终点坐标应为-5.答案-3-56.已知▱ABCD的三个顶点A(0,0),B(x1,y1),D(x2,y2),则顶点C的坐标为.

解析由于▱ABCD的各顶点的顺序已经确定,因此点C的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性质——对角线互相平分,再根据中点坐标公式,即可求出点C的坐标.设顶点C的坐标为(m,n),AC与BD的交点为O,则O为AC和BD的中点,根据题意得点O的坐标为x2+x12,y所以m+0解得m=x2+x1,n=y2+y1,所以点C的坐标为(x1+x2,y1+y2).答案(x1+x2,y1+y2)7.已知四边形ABCD的顶点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),E,F分别为边AB,BC的中点,求CE,DE,AF,DF的长度.解设线段AB的中点为E(x,y),则x=-4+22=-1,y=3+5则|CE|=(-1-6)|DE|=[-1-(-3)即CE,DE的长度分别为52,25.设线段BC的中点为F(m,n),则m=2+62=4,n=5+32则|AF|=[4|DF|=[4即AF,DF的长度都为65.8.如图所示,△ABD和△BCE是在直线AC同一侧的两个等边三角形,求证:|AE|=|CD|.证明以B为原点,以直线AC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,则有A(-a,0),C(c,0),D-a2,3于是|AE|=c=c2|CD|=c=c2所以|AE|=|CD|.能力提升练1.当数轴上的三个点A,B,O互不重合时,它们的位置关系共有六种情况,其中使AB=OB-OA和|AB|=|OB|-|OA|种 种 种 种解析AB=OB-OA恒成立,而要使|AB|=|OB|-|OA|成立,则点A应在点O和点B中间,答案B2.某县位于山区,居民的居住区域大致呈如图所示的五边形,近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成,若AB=60km,AE=CD=30km,为了解决当地人民看电视难的问题,准备建一个电视转播台,理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小,图中P1,P2,P3,P4是AC的五等分点,则转播台应建在()处 处 处 处解析以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则P4(6,6),P3(12,12),P2(18,18),P1(24,24).设转播台的坐标为P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2=x2+y2+(x-60)2+y2+(x-30)2+(y-30)2+(x-30)2+(y-60)2+x2+(y-30)2=5x2-(120+120)x+5y2-(120+120)y+2×602+4×302,故当x=24,且y=24时,|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2+|PE|2最小,故P应在P1处.答案A3.使得|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为.

解析设函数y=|x-3|+|x+1|,因为函数y=|x-3|+|x+1|的最小值为4,即y≥4,所以使|x-3|+|x+1|≥a恒成立a的取值范围为(-∞,4].答案(-∞,4]4.已知x,y∈(0,1),则x2+y2解析∵x,y∈(0,1),∴x2+y2+x2+(y-1)2+(x-1)2+y2+(x答案225.已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,-2),(3,1),(0,2),求这个平行四边形第四个顶点的坐标.解设A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),第四个顶点D的坐标为(x,y),(1)若四边形ABCD是平行四边形,则由中点坐标公式得x解得x∴点D的坐标为(-4,-1);(2)若四边形ABDC是平行四边形,则由中点坐标公式得x解得x=4,y=5,(3)若四边形ACBD是平行四边形,则由中点坐标公式得-解得x∴点D的坐标为(2,-3).综上所述,满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(-4,-1)或(4,5)或(2,-3).6.用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.证明以线段BC的中点为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设A(a,b),C(c,0)(c>0),则B(-c,0).线段AB的中点E的坐标是a-线段AC的中点F的坐标是a+则|EF|=a-c因为|BC|=2c,所以|EF|=12|BC|又E,F的纵坐标相同,所以EF∥BC.综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.7.河流的一侧有A,B两个村庄,如图所示,计划在河上共建一座水电站给两村供电.已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300m和600m,且两村相距500m.为了使水电站到两村的距离之和最小,水电站P应建在什么位置?解如图所示,以河边所在直线为x轴,以AC为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,300),B(400,600).设A关于x轴的对称点为A',则A'(0,-300),连接A'B交OD于点P,此时|PA|+|PB|最小.设|OP|=x,则由△OA'P∽△DBP,得x400解得x=4003,故水电站P应建在C,D之间距离点C4003m素养培优练1.已知点A(-1,2),B(1,3),在直线y=2x上求一点P,使|PA|2+|PB|2取得最小值,并写出P点坐标.解设P点的坐标为(x,y),由于点P在直线y=2x上,所以y=2x.|PA|=(=(=x=5x|PB|=(=(=x=5x所以|PA|2+|PB|2=5x2-6x+5+5x2-14x+10=10x2-20x+15=10(x-1)2+5,因此,当x=1时,|PA|2+|PB|2取得最小值为5,y=2×1=2,所以所求P点的坐标为(1,2).2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,P为三角形内一点,且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2.证明如图所示,以CA所在的直线为x轴,点C为原点建立平面直角坐标系,设C(0,0),A(3a,0),B(0,3b),P(x,y).∵S△PCA=S△PCB=S△PAB,∴S△PCA=13S△ABC即