2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page44页，共=sectionpages1818页2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12小题，共36分）下列根式中，属于最简二次根式的是(

)A.6 B.12 C.23 D.下列方程中，关于x的一元二次方程是(

)A.x2+2x=x2-1 B.ax已知3x=2y，那么下列等式一定成立的是(

)A.x=2，y=3 B.xy=32 C.用配方法解方程x2+2x-1=0时，配方结果正确的是(

)A.(x+2)2=2 B.(x+1)2=2下列计算正确的是(

)A.8-3=5 B.6÷3对于一元二次方程2x2-3x+4=0，则它根的情况为A.没有实数根 B.两根之和是3

C.两根之积是-2 D.有两个不相等的实数根如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是(

)A.∠ACD=∠B B.∠ADC=∠ACB

C.AC2=AD如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为(

)A.35×20-35x-20x+2x2=600

B.35×20-35x-2×20x=600

C.(35-2x)(20-x)=600下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有(

)

(1)菱形都相似；

(2)等腰直角三角形都相似；

(3)正方形都相似；

(4)矩形都相似；

(5)正六边形都相似；

(6)等腰三角形都相似．A.2个 B.3个 C.4个 D.5个如图，△ABO的顶点A在函数y=kx(x>0)的图象上，∠ABO=90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q.若△ANQ的面积为1，则k的值(

)A.9

B.12

C.15

D.18下面是李刚同学在一次测验中解答的题目，其中答对的是(

)A.若x2=4，则x=2

B.方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1

C.若方程-0.5x2+x+k=0一根等于1，则k=-0.5

D.若分式x2如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，有下列结论：①∠BAE=30°；②S△ABE=4S△BCF；③CF=13CD；

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本题共6小题，共18分）若代数式23x-6有意义，则x必须满足条件是______．关于x的一元二次方程(k+2)x2+6x+k2-4=0有一个根是0，则已知x1，x2是一元二次方程x2-2x-4=0的两个根，则2x《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为______米．

如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为______c

如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为______．

三、解答题（本题共8小题，共66分）计算：(3解方程：2(x-3)2=去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．

(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与去年9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．如图，AB//CD，AC与BD交于点E，且AB=6，AE=4，AC=9．

(1)求CD的长；

(2)求证：△ABE∽△ACB．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根．

(1)若(x1-1)(x2-1)=28，求m的值；

(2)如图，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，且a，b，c满足a2+b2=c2，已知a=4-2，b=4+2

(1)求斜边c及斜边上的高h的长；

(2)在△ACBx1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若满足|x1-x2|=1，则此类方程称为“差根方程”.根据“差根方程”的定义，解决下列问题：

(1)通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：

①x2-4x-5=0；

②2x2-23x+1=0；

(2)已知关于【基础巩固】

(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证：AC2=AD⋅AB．

【尝试应用】

(2)如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A.若BF=4，BE=3，求AD的长．

【拓展提高】

(3)如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF//AC，AC=2EF，∠EDF=12∠BAD，AE=2，DF=5，求菱形答案和解析1.【答案】A

解：A、6是最简二次根式，符合题意；

B、12=4×3=23，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；

C、23=63，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

D、x2=|x|2.【答案】C

解：A、x2+2x=x2-1是一元一次方程，故A错误；

B、ax2+bx+c=0，a=0时是一元一次方程，故B错误；

C、3(x+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故C正确；

D、1x2+1x-2=0是分式方程，故3.【答案】C

解：∵3x=2y，

∴xy=23．

故选：C．

已知3x=2y，根据内项之积等于外项之积，即若ab4.【答案】B

解：∵x2+2x-1=0，

∴x2+2x=1，

则x2+2x+1=2，

∴(x+1)25.【答案】D

解：A．8=22，与3不是同类二次根式，此选项错误；

B.6÷3=6÷3=2，此选项错误；

C.(-2)2=|-2|=2，此选项错误；

D.6.【答案】A

解：∵a=2，b=-3，c=4，

∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×4=-23<0，

∴一元二次方程2x2-3x+4=0没有实数根．

故选7.【答案】D

解：由题意可得：△ACD和△ABC中，∠CAD=∠BAC，

若∠ACD=∠B，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项A不合题意；

若∠ADC=∠ACB，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项B不合题意；

若AC2=AD⋅AB，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项C不合题意；

故选：D．

利用相似三角形判定方法依次判断可求解．

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为(35-2x)米，宽为(20-x)米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】

解：依题意，得：(35-2x)(20-x)=600，即35×20-35x-40x+2x2=600．

故选：9.【答案】B

解：(1)菱形角度可能不一样，不一定相似，是假命题；

(2)等腰直角三角形都有两个角相等是45°，都相似，是真命题；

(3)正方形四个角都是90°，对应边一定成比例，都相似，是真命题；

(4)不同矩形边长不一定成比例，不一定相似，是假命题；

(5)正六边形各角都相等，各边成比例，是真命题；

(6)等腰三角形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，不一定相似，是假命题．

可得真命题有3个，故选B．

根据真命题与假命题的定义解答．

本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．掌握真假命题的定义是解题的关键．

10.【答案】D

解：∵MQ//NP//OB，

∴△ANQ∽△AOB，

∵M、N是OA的三等分点，

∴ANAO=13，

∴S△ANQ：S△AOB=1：9，

∵△ANQ的面积为1，

∴S△AOB=9，

∴k=2S△AOB=18，

故选：D．11.【答案】C

解：A、通过解方程得，x=±2，所以A不正确；

B、通过解方程得，x=1或x=12，所以B不正确；

C、直接将x=1代入方程中，解关于k的方程即可求得k=-0.5，所以C正确；

D、因为分式中的分母不能为0，所以x不能等于1，所以D不正确．

故选：C．

A、4的平方根为±2，故x=±2；

B、通过整理，解一元二次方程得，x的值不只为1，还有12；

C，将x=1代入方程中，解出k的值即可判断其是否正确；

D、根据分母不能为0，得x-1≠0，再进行判断即可．

本题考查解一元二次方程12.【答案】B

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=∠B=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△BAE∽△CEF，

∴ABEC=BECF，

∵BE=CE=12BC，

∴S△ABES△ECF=(ABEC)2=4，

∴S△ABE=4S△ECF，故②正确；

∴CF=12EC=14CD，故③错误；

∴tan∠BAE=BEAB=12，

∴∠BAE≠30°，故①错误；

设CF=a，则BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，

∴AE=25a，EF=5a，AF=5a，

∴AEAF=213.【答案】x>2

解：代数式23x-6有意义，则x必须满足条件是：3x-6>0，

解得：x>2．

故答案为：x>2．

直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．14.【答案】2

解：把x=0代入一元二次方程(k+2)x2+6x+k2-4=0，得

k2-4=0，

解得k1=2，k2=-2，

而k+2≠0，即k≠-2．

所以k的值为2．

故答案为：215.【答案】8

解：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-4=0的两个根，

∴x1+x2=2，x1x2=-4，

∴2x1+2x216.【答案】7

解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，

∴BD//AC，

∴△ACE∽△BDE，

∴ACBD=AEBE，

∴AC1=1.6-0.20.2，

∴AC=7，

即井深AC为7米，

故答案为7．

首先证明△ACE17.【答案】24

解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，

∴大正方形边长为：8+18=22+32=52(cm)，

∴大正方形面积为(52)18.【答案】23解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，

∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，

∵∠APD=60°，

∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，

∴∠BAP=∠DPC，

即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，

∴△BAP∽△CPD，

∴ABCP=BPCD，

∵AB=BC=3，BP=1，CP=BC-BP=3-1=2，

即32=1CD，

解得：CD=23，

故答案为：23．

根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP19.【答案】解：原式=3-4-6+6【解析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．

本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算性质，本题属于基础题型．

20.【答案】解：方程变形得：2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0，

分解因式得：(x-3)(2x-6-x-3)=0，

解得：x1【解析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．

21.【答案】解：(1)由题知，450+450×12%=504(万元)．

答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．

(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，

依题意得350(1+x)2=504，

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去)，

答：该商店去年【解析】本题考查一元二次方程的应用．

(1)根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额=前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；

(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

22.【答案】解：(1)∵AE=4，AC=9

∴CE=AC-AE=9-4=5；

∵AB//CD，

∴△CDE∽△ABE；

∴CDAB=CEAE，

∴CD=AB⋅CEAE=6×54=152；

(2)证明：∵AEAB【解析】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．

(1)根据相似三角形的判定和性质解答即可；

(2)利用相似三角形的判定解答即可．

23.【答案】解：(1)根据题意得△=4(m+1)2-4(m2+5)≥0，解得m≥2，

x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+5，

∵(x1-1)(x2-1)=28，即x1x2-(x1+x2)+1=28，

∴m2+5-2(m+1)+1=28，

整理得m2-2m-24=0，解得m1=6，m2=-4，

而m≥2，

∴m的值为6；

(2)若x1≠x2，

∵x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，而等腰△ABC的一边长为7，

∴x=7必是一元二次方程x2-2(m+1)x+【解析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．

(1)根据判别式的意义可得m≥2，再根据根与系数的关系得x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+5，接着利用(x1-1)(x2-1)=28得到m2+5-2(m+1)+1=28，解得m1=6，m2=-4，于是可得m24.【答案】1

解：(1)∵a2+b2=c2，且a=4-2，b=4+2，

∴c=(4+2)2+(4-2)2=6，

∵S△ABC=12ab=12ch，

∴ab=ch，即(4-2)(4+2)=6h，

h=73；

(2)如图，连接PC、AP、PB，

∵PE=PF=PG，且PE⊥AB25.【答案】解：(1)①设x1，x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两个实数根，

∴x1+x2=4，x1⋅x2=-5，

∴|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=42-4×(-5)=6，

∴