湖南省永州市宁远县启慧学校2021-2022学年九年级（上）第三次月考数学试卷(解析版)

2021-2022学年湖南省永州市宁远县启慧学校九年级第一学期第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分）1．下列各式中是二次根式的是（）A． B． C． D．2．下列运算中，计算正确的是（）A．3ab﹣5ab＝﹣2 B．＝2 C．（x2y3）4＝x6y7 D．a6÷a2＝a33．方程x2﹣3x＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝1，x2＝34．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠2 D．x＞﹣1且x≠25．下列事件为确定事件的是（）A．明天要下雨 B．水中捞月 C．守株待兔 D．任意掷一枚图钉，落地后针尖朝上6．在一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率是（）A． B． C． D．7．如图，线段AB与CD交于点O，下列条件中能判定AC∥BD的是（）A．OC＝1，OD＝2，OA＝3，OB＝4 B．OA＝1，AC＝2，AB＝3，BD＝4 C．OC＝1，OA＝2，CD＝3，OB＝4 D．OC＝1，OA＝2，AB＝3，CD＝4．8．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况，如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（）A．200米 B．（200+200）米 C．600米 D．（200+20）米9．已知（m﹣2）x|m|+x＝1是关于x的一元二次方程，则m可取的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．m≠210．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（）A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD•BC D．＝11．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）13．cos230°﹣tan60°＝．14．抽屉里装有3张卡片，两张印有图案，一张印有的，三张卡片除了图案不同外其他完全相同，现在随机从抽屉里抽取一张卡片，不放回然后抽取第二张，则两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的概率是．15．在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B的坐标为（1，0），AC＝2，∠ABC＝30°，把Rt△ABC先绕点B顺时针旋转180°，然后向下平移2个单位，则点A的对应点D的坐标为．16．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是．17．若两个三角形的相似比为2：3，则这两个三角形对应角平分线的比为．18．如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为．三、解答题（本大题共66分）19．已知x＝2﹣，y＝2+，求代数式x2+2xy+y2的值．20．解方程：x2+4x＝6．21．岳一中初三某学生聆听了感恩励志主题演讲《不要让爱你的人失望》后，写了一份《改变，从现在开始》的倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有421人参与了传播活动，求n的值．22．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如：在线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题，请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），求证：＝1．23．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160m，CD＝40m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．24．综合与实践动手操作如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．延长ED分别交CB于点F，交AB于点G，连接AF．思考探究（1）∠CAF＝°，∠EAG＝°；（2）若BC＝（+1）AC，则①∠DAG＝°；②＝，请证明你的结论；开放拓展（3）如图2，若改变旋转角，已知AC＝3，BC＝4，当∠EAF＝90°时，△AFB的面积为．25．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，四边形ACDE是平行四边形，CE交AD于点F，交BD于点G．甲，乙两位同学对条件进行分析后，甲得到结论：“CE＝BD”．乙得到结论：“CD•AE＝EF•CG”请判断甲，乙两位同学的结论是否正确，并说明理由．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分）1．下列各式中是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．解：A、符合二次根式的定义；故本选项正确；B、是三次根式；故本选项错误；C、﹣42＝﹣16＜0，无意义；故本选项错误D、﹣5＜0，无意义；故本选项错误．故选：A．2．下列运算中，计算正确的是（）A．3ab﹣5ab＝﹣2 B．＝2 C．（x2y3）4＝x6y7 D．a6÷a2＝a3【分析】依据合并同类项法则、立方根、积的乘方及同底数幂的除法法则分别进行计算，然后判断即可．解：选项A：3ab﹣5ab＝﹣2ab，不符合题意；选项B：＝2，符合题意；选项C：（x2y3）4＝x8y12，不符合题意；选项D：a6÷a2＝a6﹣2＝a4，不符合题意；故选：B．3．方程x2﹣3x＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3【分析】利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．解：∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得x1＝0，x2＝3，故选：C．4．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠2 D．x＞﹣1且x≠2【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解：根据题意得：，解得：x≥﹣1且x≠2．故选：C．5．下列事件为确定事件的是（）A．明天要下雨 B．水中捞月 C．守株待兔 D．任意掷一枚图钉，落地后针尖朝上【分析】确定事件就是一定发生或一定不发生的事件，依据定义即可判断．解：A、明天要下雨，是随机事件，选项错误；B、水中捞月是不可能事件，是确定事件，选项正确；C、守株待兔是随机事件，选项错误；D、任意掷一枚图钉，落地后针尖朝上是随机事件，选项错误．故选：B．6．在一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率是（）A． B． C． D．【分析】直接利用概率公式求解．解：从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率＝＝．故选：A．7．如图，线段AB与CD交于点O，下列条件中能判定AC∥BD的是（）A．OC＝1，OD＝2，OA＝3，OB＝4 B．OA＝1，AC＝2，AB＝3，BD＝4 C．OC＝1，OA＝2，CD＝3，OB＝4 D．OC＝1，OA＝2，AB＝3，CD＝4．【分析】根据平行线的判定方法即可一一判断．解：A、∵≠，∴本选项不符合题意．B、无法判断＝，∴本选项不符合题意；C、∵OC＝1，OA＝2，CD＝3，OB＝4，∴＝，∴AC∥BD，∴本选项符合题意；D、∵≠，∴本选项不符合题意．故选：C．8．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况，如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（）A．200米 B．（200+200）米 C．600米 D．（200+20）米【分析】在Rt△ACD中，由tan∠A＝知AD＝＝200（米），在Rt△BCD中，由∠B＝45°知BD＝CD＝200米，根据AB＝AD+BD可得答案．解：由题意知，∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200米，在Rt△ACD中，∵tan∠A＝，∴AD＝＝＝＝200（米），在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝200米，∴AB＝AD+BD＝200+200（米），故选：B．9．已知（m﹣2）x|m|+x＝1是关于x的一元二次方程，则m可取的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．m≠2【分析】根据一元一次方程的定义得出m﹣2≠0且|m|＝2，然后求m值即可．解：根据题意知m﹣2≠0且|m|＝2，解得：m＝﹣2，故选：B．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（）A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD•BC D．＝【分析】先利用平行线的性质得到∠DAC＝∠BCA，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D进行判断．解：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，△ABC∽△DCA；当∠B＝∠ACD时，△ABC∽△DCA；当＝，即AC2＝AD•BC时，△ABC∽△DCA；当＝时，不能判断△ABC∽△DCA．故选：D．11．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形，其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质分别判断即可．解：∵DE＝BF，∴DE﹣EF＝BF﹣EF，即DF＝BE，在Rt△DCF和Rt△BAE中，，∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），∴CF＝EA，故①正确；∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥FC，∵CF＝AE，∴四边形CFAE是平行四边形，∴OE＝OF，故②正确；∵Rt△DCF≌Rt△BAE，∴∠CDF＝∠ABE，∴CD∥AB，∵CD＝AB，∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确；其中正确结论的个数是3个，故选：D．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE＝BD＝x，根据等腰三角形求出BQ＝CQ＝6，求出CM＝QM＝3，解直角三角形求出EM＝3y，AQ＝6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x，∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，∴AQ＝6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM＝QM＝CQ＝3，∴EM＝3y，∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2＝9，故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分）13．cos230°﹣tan60°＝．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，再算乘方即可．解：原式＝（）2﹣＝，故答案为：．14．抽屉里装有3张卡片，两张印有图案，一张印有的，三张卡片除了图案不同外其他完全相同，现在随机从抽屉里抽取一张卡片，不放回然后抽取第二张，则两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的概率是．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的结果数，再利用概率公式可得出答案．解：设两张印有图案的卡片记为A，B，一张印有的的卡片记为C，则卡片A，B上的图案为轴对称图形．画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的结果有2种，∴两次抽到卡片上图案均为轴对称图形的概率为＝．故答案为：．15．在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B的坐标为（1，0），AC＝2，∠ABC＝30°，把Rt△ABC先绕点B顺时针旋转180°，然后向下平移2个单位，则点A的对应点D的坐标为（﹣2，﹣2﹣）．【分析】首先根据直角三角形的性质和勾股定理可得BC，AB，利用直角三角形的面积可得AE，再利用射影定理易得BE，可得点A的坐标，根据旋转的性质易得D的坐标，再利用平移的性质可得结果．解：作AE⊥BC，并作出把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°后所得△DBC1，如图所示，∵AC＝2，∠ABC＝30°，∴BC＝4∴AB＝2，∴AE＝＝＝，∴BE＝＝＝3，∵点B坐标为（1，0），∴A点的坐标为（4，），∵BE＝3，∴BD1＝3，∴D1坐标为（﹣2，0）∴D坐标为（﹣2，﹣），∵再向下平移2个单位，∴D的坐标为（﹣2，﹣2﹣），故答案为：（﹣2，﹣2﹣）．16．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是α＝β＞γ．【分析】首先根据锐角三角函数的概念表示出tan∠1＝，tan∠4＝，进一步分析平行线，再根据平行线的性质进行分析．解：如图所示，tan∠1＝，tan∠4＝，故∠1＝∠4．根据两直线平行，内错角相等，得∠3＝∠2，于是∠1+∠2＝∠3+∠4，即α＝β．根据两直线平行，内错角相等，得∠4＝∠5，又∠3＞∠6，故∠3+∠4＞∠5+∠6，即β＞γ．所以α＝β＞γ．17．若两个三角形的相似比为2：3，则这两个三角形对应角平分线的比为2：3．【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答．解：∵两个三角形的相似比为2：3，∴这两个三角形对应角平分线的比为2：3．故答案为2：3．18．如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为18．【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．解：∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），∴A′（4，4），C′（12，2），∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．故答案为：18．三、解答题（本大题共66分）19．已知x＝2﹣，y＝2+，求代数式x2+2xy+y2的值．【分析】先将代数式化为（x+y）2，然后代入求值．解：∵x2+2xy+y2＝（x+y）2，∴当x＝2﹣，y＝2+时，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（2﹣+2+）2＝16．20．解方程：x2+4x＝6．【分析】配方法求解即可．解：x2+4x+4＝10，（x+2）2＝10，x+2＝±，x＝﹣2±，即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．21．岳一中初三某学生聆听了感恩励志主题演讲《不要让爱你的人失望》后，写了一份《改变，从现在开始》的倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有421人参与了传播活动，求n的值．【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有421人参与列出方程求解即可．解：由题意，得n+n2+1＝421，解得：n1＝﹣21（舍去），n2＝20．故所求n的值是20．22．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如：在线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题，请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），求证：＝1．【分析】（1）连结并延长BO交AC于点E，连结DE，则DE∥AB，DE＝AB，所以△DOE∽△AOB，得＝＝，所以＝；（2）连结并延长BO交AC于点E，连结并延长CO交AB于点F，延长AD于点I，使ID＝OD，连结BI、CI，先证明四边形AOCI是平行四边形，则FC∥BI，EB∥CI，由＝得AO＝AD，所以ID＝OD＝AD，则IO＝AD，所以＝＝1，＝＝1，得AF＝BF，AI＝CE，于是证明O是△ABC三条中线的交点，所以O是△ABC的重心；（3）作BK∥GH交AD的延长线于点K，作CJ∥GH交AD于点J，先证明DO＝AO，再证明△BKD≌△CJD，得DK＝DJ，即可由＝＝，＝＝证明+＝1．【解答】（1）证明：如图1，连结并延长BO交AC于点E，连结DE，∵点O是△ABC的重心，∴AD、BE都是△ABC的中线，∴BD＝CD，AE＝CE，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△DOE∽△AOB，∴＝＝，∴AO＝AD，∴＝．（2）解：O是△ABC的重心，证明：如图2，连结并延长BO交AC于点E，连结并延长CO交AB于点F，延长AD于点I，使ID＝OD，连结BI、CI，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴四边形AOCI是平行四边形，∴FC∥BI，EB∥CI，∵＝，∴AO＝AD，∴ID＝OD＝AD，∴IO＝AD+AD＝AD，∵AO＝IO，∴＝＝1，＝＝1，∴AF＝BF，AI＝CE，∴O是△ABC三条中线的交点，∴O是△ABC的重心．（3）证明：如图3，作BK∥GH交AD的延长线于点K，作CJ∥GH交AD于点J，∵O是△ABC的重心，∴AD是△ABC的中线，∴AO＝AD，DO＝AD，∴DO＝AO，∵∠K＝∠CJD＝90°，∠BDK＝∠CDJ，BD＝CD，∴△BKD≌△CJD（AAS），∴DK＝DJ，∵＝＝＝，＝＝，∴+＝+＝＝＝1．23．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160m，CD＝40m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．【分析】过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中，设CH＝DE＝xm，利用锐角三角函数定义表示出AH与BE，由AH+HE+EB＝AB列出方程，求出方程的解即可得到结果．解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，∴HE＝CD＝40m，设CH＝DE＝xm，在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，∴BE＝xm，在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，∴AH＝xm，由AH+HE+EB＝AB＝160m，得到x+40+x＝160，解得：x＝30，即CH＝30m，则该段运河的河宽为30m．24．综合与实践动手操作如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．延长ED分别交CB于点F，交AB于点G，连接AF．思考探究（1）∠CAF＝45°，∠EAG＝90°；（2）若BC＝（+1）AC，则①∠DAG＝22.5°；②＝，请证明你的结论；开放拓展（3）如图2，若改变旋转角，已知AC＝3，BC＝4，当∠EAF＝90°时，△AFB的面积为．【分析】（1）由旋转的性质可得∠CAD＝∠BAE＝90°，AC＝AD，BC＝DE，∠C＝∠ADE＝90°，可证四边形ACFD是正方形，∠EAG＝90°，可求∠CAF＝45°；（2）由正方形的性质可得∠CAF＝∠AFC＝45°，AC＝CF＝AD＝DF，AF＝AC，可求BF＝AF＝AC，可得∠FAB＝∠FBA＝22.5°，由平行线的性质可求∠DAG＝∠FBA＝22.5°，由相似三角形的性质可求＝；（3）由勾股定理可求AB＝5，由旋转的性质可求AD＝AC＝3，BC＝DE＝4，AB＝AE＝5，∠C＝∠ADE＝90°，通过证明△ADE∽△FDA，可求AF的长，由三角形的面积公式可求解．解：（1）∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．∴∠CAD＝∠BAE＝90