福建省福州市八县(市、区)一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题(含解析)

-24--24--24--24-福建省福州市八县(市、区)一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题(含解析)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.).已知命题P:3x0>1，使得lgx0 0，则「p为(Vx 1，总有lgVx 1，总有lgx>0Vx>1,总有lgx>03x0J1，使得lgx0>0D.3x0 1，使得lgx0>0【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【详解】命题是特称命题，则命题的否定是「P:Vx>1,总有lgx>0成立,故选:B【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．属于基础题.已知中心在原点的等轴双曲线C：'—y2=1(a>0,b>0),右顶点为(；2,0)则双曲线a2 b2C的焦距等于(22<244<222<244<2【答案】C【解析】【分析】根据等轴双曲线的定义,右顶点以及双曲线中a,b，c的关系式,计算可求解.【详解】因为双曲线C：三—y2=1(a>0,b>0)为等轴双曲线，所以a=b,a2b2因为右顶点为(<2,0)，所以a=b二<2,所以焦星巨2c=2、a+b2=2<2+2=4.故选:C【点睛】本题考查了等轴双曲线的定义,双曲线的几何性质,属于基础题.TOC\o"1-5"\h\z.不等式2x2+5x-3<0的一个必要不充分条件是( )A.-6<x<1 B.-3<x<1 C.-3<x<0 D.21 c--<x<32【答案】A【解析】【分析】乙 一…C 1 …… ………人、.…解一元二次不等式得-3<x<-,根据充分,必要条件的概念分析可求解.【详解】由不等式2x2+5x-3<0得(2x-1)(x+3)<0,解得-3<x<1,因为(-3,1)=(-3,1),所以选项B为充要条件，因为(-3,0) (-3,1),所以选项C为充分不必要条件，因为(-1,3) (-3,1)，且(-3,1) (-1,3),所以选项D是既不充分也不必要条件,因为(-3,1) (-6,1),所以选项A是必要不充分条件.故选:A【点睛】本题考查了必要不充分条件,属于基础题.4.下列命题中正确的是( )A.命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x2-3x+2=0，则x丰1”B.命题“若平面向量a,b共线，则a,b方向相同”的逆否命题为假命题；C.命题“若a丰3或b中2，则a+b丰5”是真命题；D.命题“若a+b4，-则a、b中至少有一个大于等于2”的逆命题是真命题.【答案】B【解析】【分析】根据写否命题时,既要否定条件,又要否定结论可知，A不正确；

根据原命题为假命题且逆否命题与原命题同真假可知，B正确；根据逆否命题为假且原命题与逆否命题同真假可知，C不正确；根据否命题为假命题且逆命题与否命题同真假可知,，D不正确.【详解】对于A，命题“若x2—3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x2—3x+2中0，则x丰1”，故A不正确；对于B,因为a=0时，满足向量a,b共线，但是不能说a,b方向相同，所以命题“若平面向量a,b共线，则a,b方向相同”是假命题,所以其逆否命题也是假命题，故B正确;对于C,因为命题“若a中3或b2，则a+b丰5”的逆否命题”若a+b=5，则a=3且a=2”是假命题，所以原命题也是假命题，故C不正确；对于D,因为命题“若a+b4，则a、b中至少有一个大于等于2”的否命题”若a+b<4,则a、b都小于2”是假命题，所以逆命题也是假命题，故D不正确.故选:B【点睛】本题考查了四种命题及其真假的判断，属于基础题.x2 yx2 y2 x2 y2B.—+--1或一+--136 4 4 36D.三+22-1或£ +土2-136 32 36 32Ax2,y2,1A.1-1364Cx2,y2,1c.1-13632【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的几何性质得到a2-36,c2-4,b2-32后，讨论焦点的位置可得椭圆方程.【详解】设椭圆长半轴长,短半轴长,半焦距分别为a,b,c,因为椭圆的长轴长为12，且两个焦点恰好将长轴三等分，2a所以2a-12,2c—-,所以a-6,c-2，所以b2-a2-c2-36-4-32,当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为x2+y2-1,3632-24--24--24--24--当焦点在》轴上时，椭圆标准方程匕+J=1,二故选:D,故选:D,M是A1D.如图所示，在平行六面体ABCD—ABCD中，AB=a,AD=b,AA=。1111 1的中点，点N是C的中点，点N是C^上的点，且CN：NA1=1：4.用a,b,c表示向量MN的结果是（ ）B.-a+-b+4cC.31010【答案】DC.31010【答案】D【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法则可得.【详解】如图所示:【详解】如图所示:因为MN=AN-AM=AC+CN-AA-AM--=AC+-CA-AA--AD5 - -2=AC+|(AA^-AC)-耳-2^AD '441二一AC--AA--ADTOC\o"1-5"\h\z5 5i24 41二一(AB+AD)--AA—AD5 5i24»3»4»=_AB+—AD——AA5 10 5i4-3—4——a+—b——c5 10 5.故^：^ —一【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形，向量减法的三角形法，属于基础题.7.空间四边形ABCD中若AB±BD,CD1BD,AC―2,BD―1,则ac.bd=()_A.- B.1 C.<3 D.0【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积计算可得.【详解】因为AC-BD=(AB+BC)BD=(AB+BD+DC)，BD—AB•BD+BD2+DC-BD,因为AB1BD,DC1BD，所以AB•BD=0,DC-BD=0,所以AC-BD=0+12+0=1,故选:B【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积,属于基础题..已知点P为抛物线y=1X2上的动点，点P在X轴上的射影为点H，点A的坐标为(12,6),4则pa+|PH|的最小值是()A.13 B.12 C.11 D.10【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义,得।PA।+1PH1=1PA।+।PH।+1—1=।PA।+1PF।—1，再利用两点之间

连线段最短可得.【详解】如图所示:设抛物线的焦点为F，则F（0」），因为IPAI+1PHI=1PAI+1PH1+1—1=IPAI+1PFI-1>1AFI-1\：'(12-0)2+(6-1)2-1=12,当且仅当A,P,F三点共线,且P在线段AF上时，取得等号故选:B【点睛】本题考查了抛物线的定义,属于基础题..如图，在正方体ABCD-ABCD中，M、N分别为AB、cc的中点，p为AD上一1111 11 1动点，记a为异面直线PM与DN所成的角，则a的集合是（）--24--24--24-A.11)B.C.D.TOC\o"1-5"\h\z「5 」兀、B.C.D.{aI—<a<—}6 2「一兀」兀、{aI—<a<—}4 2,G, ,兀、{aI—<a<—}3 2小Z)1 C1【答案】A【解析】分别以边DA,DC,DD1所在直线为x轴，）轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系:小Z)1 C1设正方体边长为1,P（x,0,0）（0<x<1），并能确定以下几点坐标:)(0,0,1)1)(0,0,1)1,N0,1,-；V2APMAPM=j,-,1,DN=0,1,-7 1V2APM•DN=0 , 1APM1DN1故选A.已知双曲线上-二=1（〃>0,b>0）的一个焦点F与抛物线y2=2px（p>0）的焦点相a2b2同，点A是两曲线的一个交点，且AF垂直x轴，则双曲线的离心率为（ ）

<21+%2A.<3<21+%2A.<3【答案】C【解析】【分析】b2p分别在双曲线和抛物线中求出A的坐标为（c,—）和（5,p）,由此列式可求得.1+<3a2【详解】不妨设A在第一象限内,a2 b2 a则在双曲线上—y2=1(〃>0,b>0)中，F(c,0),A(ca2 b2 a在抛物线y2=2px(p>0)中f(p,0),A(p,p),p b2p b2所以c==，且一=p,2〃cc所以b2=2〃c,所以c2-〃2=2〃c,所以（一）2-1=2-,〃〃所以e2-2e-1=0,所以e=1+%2或e=1=2（舍）.故选:C【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的几何性质,属于基础题.TOC\o"1-5"\h\zx2 y2 x2 y2.已知椭圆—+上=1与双曲线--y=1有公共焦点F,F,且两条曲线在第一象限的〃216 m25 12交点为P点，则△PF1F2的面积为（ ）A.■— B.—~ C.4%；5 D.8y5【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程可知焦点在x轴上,所以〃2-16=m2+5，再联立椭圆与双曲线方程解得点P的纵坐标的绝对值,然后利用面积公式7।ffIIy।可求得.12

【详解】因为双曲线二-22二1的焦点在1轴上,m25Y2V2所以椭圆一+上=1的焦点在X轴上,。2 16所以〃2—16=加2+5,即。2=加2+21,联立X2V2——+=1Q216X2y2联立X2V2——+=1Q216X2y2 - -1,m2 5，所以Q2y2X2+ =Q216 ，所以Q2一机2y2X2 =m21516〜I〜I/Q2根2所以七+二))2=Q2一加2,16 521又\FFI二12所以1m二所以△分;故选:C点睛】本12.已知椭江所以“Q2一根21又\FFI二12所以1m二所以△分;故选:C点睛】本12.已知椭江所以“Q2一根2 加2+21—加21|FF||y|=lx2^m2+51 16加2+5加2+10580的纵坐标的绝对值为/丁M,dm2+521x80802加2+105m2+5双曲线共焦点问题,三角形面积公式,属于中档题.>0）的内接AABC的顶点6为短轴的一个端点，右焦点F,线段线段A8中点为K,且。尸=2尸K,则椭圆离心率的取值范围为（A.C.D.A.C.D.【答案】A【解析】【分析】

设4、yjC(x2,y2)，所以K(§,2产)，根据定比分点坐标公式可得弦AC的中点坐标,再根据弦AC的中点在椭圆内列不等式可解得.【详解】设A（x1，yi）,C（x2，y2）,因为B（0,b）,F（c,0），所以K（J,胃）,x+2xx_2 2-1+2-“y+x+2xx_2 2-1+2-“y+by+2xt——2 21+2x+x=3c，化简得J\2小

y+y=-b12_ _ 0二由定比分点坐标公式得，<0=3cb所以弦AC的中点坐标为(另，--),TOC\o"1-5"\h\z3c b(——)2(-—)2根据弦AC的中点在椭圆内可得+2<1,a2 b293 1所以4e2V4,所以e2<Q,又离心率eE。1)，所以e£(。，I I故选:A【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,定比分点的坐标公式,点与椭圆的位置关系,椭圆的离心率,属于中档题.第n卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．).命题“vx£R,mx2-2mx+1>0”是真命题，则实数m的取值范围为.【答案】0mV1【解析】【分析】依题意列式m=0或m>0且(-2m)2-4m<0,可解得.【详解】因为命题“Vx£R,mx2-2mx+1>0”是真命题,所以mx2-2mx+1〉0对任意实数x都成立，所以m=0或m〉0且（-2m）2-4m<0,-24--24--24--24-所以m=0或0<m<1,综上所述:实数m的取值范围是0<m<1.故答案为：0<m<1【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立,分类讨论思想,属于基础题..双曲线x2-4y2=4的一条弦恰被点P(8,1)平分，则这条弦所在的直线方程是【答案】2x-y-15=0【解析】【分析】设弦为AB,4(\»1),B(x2,y2),将A,B的坐标代入椭圆方程作差,可求出弦的斜率,再由点斜式可解得.【详解】设弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),TOC\o"1-5"\h\z所以x2-4y2=4,x2-4y2=4,11 22所以x2-x2=4(y2-y2),12 12所以y-y 2x所以y-y 2x-x12 1 2—4(y+y)12又弦AB的中点为(8,1),所以x+x=2*8=16y+y=2义1=21 2 ,1 2 ,所以kABy所以kABy-y―k x-x14162=2由点斜式得弦AB所在直线的方程为：y-1=2(x-8),故答案为：2x-y-15=0.【点睛】本题考查了点差法求弦的斜率,直线方程的点斜式,属于基础题..已知人B是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，。是坐标原点，满

足"二2FB，SO.B=<31阴，则P的值为【答案】3<6△【解析】【分析】由题意首先求得倾斜角的三角函数值，然后结合面积公式和三角函数的定义可得P的值.【详解】设焦点弦的倾斜角为a，由抛物线焦点弦的焦半径公式可知：|AF|=1一p—，怛尸|=T-p—，-cosa 1+cosaTOC\o"1-5"\h\z一P p_『 1一. 2J2故：； =2x： ，解得：cos。=彳，故sina= ，-cosa 1+cosa 3 3设原点到直线AB的距离为h，则Soab=J3|AB|=2x|AB|xh,/.h=2J2，由三角函数的定义可得：sina=至2<2 4<3 .由三角函数的定义可得：p，即--—— ，解得：p—3X-6.3P【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径公式，抛物线中的三角形问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1clD1中，底面ABCD为菱形，/ABC=60且AA=AB，M为侧棱AA的中点，E,F分别是线段BB和线段CC上的动点（含端点），且1 11满足BE=C1F，当E,F运动时，下列结论中正确的序号是.A BA B①在△MEF内总存在与平面ABCD平行的线段;②平面MEF,平面BCC1B1；③三棱锥41-MEF的体积为定值；©△MEF可能为直角三角形.【答案】①②③【解析】【分析】对于①，取EF的中点G,则可证MG就是满足条件的线段；对于②，可证MG与平面BCC1B1垂直，再由平面与平面垂直的判定定理可证；对于③，可用等体积法求得三棱锥41-MEF的体积为定值；对于④，设414=AB=a,BE=t，可求得三角形三边长,再用余弦定理判断三角形不可能是直角三角形.【详解】如图所示:取EF的中点G,BC的中点H,AB的中点N，连GH,MG,AH,AC,CN,111对于①,根据梯形中位线有GH=-(BE+CF)=-(C1F+CF)=万CC1=AM，又乙 乙 乙GH//BE//AM，所以GH//AM,所以四边形AHGM为平行四边形，所以MG//AH,又AHu平面ABCD,MG亡平面ABCD,所以MG//平面ABCD,故①正确；对于②，在直四棱柱ABCD-A1B1C1。1中，底面ABCD为菱形，/ABC=60，所以AH1BC,又直四棱柱的侧面与底面垂直，所以AH1平面BCC1B1，而MG//AH，所以MG1平面BCC1B1,因为MGu平面MEF,所以平面MEF，平面BCC1B1,故②正确,对于③，设A1A=AB=a，则7MEF=JA,ME=!CN.S从£=3义堂a乂a乂a=警为定值，故③正确;△对于④，设A1A=AB=a,BE=t，则EF=(：(a-2t)2+a2,ME=(2a-1)2+a2,MF=：a2+(2a-1)2,因为ME=EF=(：(a-2t)2+a2,ME=又ME2+MF2-EF2=2a2+2(-!-a-1)2-(a-21)2-a2=1(a2+4at-4t2)22=-2(t2—at)+—a2=-2(t——a)2+a222因为0<t<a，所以t=0或t=a时，-2(t-1a)2+a2取得最小值,最小值为1a2,所以ME2+MF2-EF2>1a2>0,乙ME2+MF2-EF2所以cosZEMF= >0，所以ZEMF恒为锐角，不可能为直角，故④不正2ME•MF确.故答案为:①②③【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，等体积法求体积，余弦定理判断三角形形状，属于中档题.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17,若命题p:实数X满足元2-4元0，命题中实数X满足(X-1+a)(x-1-a)0(a>0).(1)当a=2且Paq为真命题唉求实数x的取值范围;(2)若P是F的必要不充分条件，求实数a的取值范围.-24--24--24--24---24-【答案】(1)3x4(2)0<a<1【解析】【分析】p八q为真命题时，p与q都是真命题，用0x4和尢-1或X>3取公共部分即可得到;⑵利用真子集关系列式即可得到.【详解】解：(1)由p:X(x-4；0，得0X4,当a—2时，由q：(x—1+2)(x—1—2)A・•.q:x—1或x>3, vPAq为真命题，'P真且q真，A...3x4,工实数x的取值范围为3x4.(2)因为a>0，由「q:(x—1+a)(x—1—a)<0,得1—a<x<1+a(a>0),&&设A―{x10x4},B―{x11—a<x<1+a,a>0},p是F的必要不充分条件，，BA,J1-a0。11+a4,又a>?・,.0<a<1,・・・实数a的取值范围为0<a<1.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,命题的真假,必要不充分条件,属于中档题.18.(1)已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为(0,3),(0,—<3),且渐近线方程为y-土、/2x，求双曲线C的标准方程；(2)在圆x2+y2―3上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD,D为垂足，当点P在该圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程.x2y2一…、一y2 — ——+———1【答案】(1)——x2—1(2)3 32 4【解析】

【分析】⑴根据C=<3,a=质,,联立解方程组可解得a=22,b=1,从而可得；b⑵设出M的坐标为G,y）,根据中点公式可得p的坐标,再将p的坐标代入椭圆方程可得.【详解】解：（1）依题可知双曲线的焦点在y轴上， y2x2则设其方程为：———=1（a>0,b>0），且c=。3①a2b2双曲线的渐近线方程为y=±姮x，即a=、：2②b又a2+b2=c2③，由①②③得a=V2,b=1得双曲线方程为：=-x2=12（2）设轨迹上任一点M的坐标为（x,y），点p的坐标为（x0,y0），则依题意可知d点坐标为（0,y0）xvPD的中点为M，二"x=vPD的中点为M，二"x=2x0y=y02,即＜y=y0•••点P圆x2+y2=3上运动，x2+y2=3，所以(2x)2+y2=3,经检验所求方程符合题意,x2y2+—=1・二点M的轨迹方程为3 34【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,代入法求曲线的轨迹方程,属于基础题.19.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=<2，AF=1，M是线段EF的中点.⑴求证：AM//平面BDE；⑵求二面角A—DF—B的大小.【答案】（I）见解析（II）60【解析】 °试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：（I）记AC与BD的交点为。，连接OE,・・・O、M分别是AC,EF的中点，ACEF是矩形•・四边形AOEM是平行四边形，・•.AM//OE,vOEu平面BDEAM亡平面BDE，二AM〃平面BDE6分（II）在平面AFD中过A作AS1DF于S，连接BS,:AB1AF,AB1AD,ADcAF=A•・AB1平面ADF，二AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理点得BS1DF•・/BSA是二面角A—DF—B的平面角，在RtAASB中，AS=—,AB=21,3•・tan/ASB=33,/ASB=60o二面角A—DF—B的大小为608分另解：以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为>轴，CE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),D(<2,0,0),A(v2,v2,0),B(0,<2,0),E(0,0,1),f(v12,v2,i)M(上2,±2,0),设AC与BD交于点O,则二匹匹;2 2 二二 J2 —五◎(I)易得：二丁二一二.一二.1,二三二一半则用「〃5！，由OEu面BDE，故AM〃面BDE；(II)取面ADF的一个法向量为三二二二•，面BDF的一个法向量为三二一亚，… -丁. 1贝U::巧■:;二.：==——二一，田一网2故二面角A—DF—B的大小为60.考点：证明线面平行及求二面角°20.已知抛物线C的方程为J2=2px(P>0)，C上一点M[3,m]到焦点的距离为2.V27(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；(2)过点P(1,0)的直线l与抛物线C交于点A,B，与y轴交于点Q，设QA八PA,QB二日PB，求证：九十四是定值..3【答案】(1)W=2x，M-,土石(2)证明见解析——- -——- ——- V2 7【解析】【分析】3⑴利用抛物线的定义列式可解得p=1,可得抛物线C:W=2x,令x=-，可得m的值；(2)设直线l的方程为y=k(x-D(k丰0)，并代入抛物线，由韦达定理以及向量关系可解得.p【详解】解：(1)依题意得抛物线的准线为x=-y，.13 1 - 3p.丫抛物线上一点M-,m到焦点的距离为2，由抛物线的定义可得弓+t=2，.二p=1，V27 22--24--24--24-・二抛物线的方程为y2=2x,一“3.m2=2x—，.二m=2(2)当直线l的斜率不存在时不符合题意，故直线l的斜率k必存在且不为0.二直线l过点P(1,0),•二设直线l的方程为y=k(x-i)(k丰0)，当x=0时，y=-k，点Q坐标(0,-k)，设A(xi，yi),B(x2,y2),Iy=kx-k y2由］y2=2x ，得y二k亍-k,整理得62-2y-2k=0,2k丰0,「.A=4+8k2>0，y+y2=-,yg=-2,fv「.QA=(x,y+k)，PA=(x-1,y),•「 ii iiQA二九PA,/.(x,y+k)=X(x-1,y)，ii iiy+k:二yi+k二九y/即九=T—,同理可得日=,1、y+ky+k 2yy+k(y+y)工,.•.九+N=4——+2_2——=--1-2 11_=2+k工=1,yyyy -21 2 12【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,韦达定理，向量的线性运算,属于中档题.21.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB^CD,AD=AB=BC=2,CD=4,E为CD中点，AE与BD交于点O，aADE沿AE折起，使点D到达点P的位置(P注平面ABCE).p(1)证明：平面POB，平面ABCE；（2）若PB=<6，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为二5，若存在，求出PQ的值;若不存在，说明理由.5 QB【答案】（1）证明见解析（2）存在点Q为PB的中点时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为二5，PQ=15 QB【解析】【分析】⑴利用线面垂直的判定定理证AE，平面POB,利用面面垂直的判定定理证平面POB，平面ABCE可得；⑵利用OP2+OB2=PB2证明OPLOB,然后以。为原点，OE,OB,OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-WZ，利用向量可求得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值，根据已知列等式可解得. ——————【详解】解：（1）证明：连接BE，在等腰梯形ABCD中，AD=AB=BC=2，CD=4，E为CD中点，，四边形ABED为菱形，BD±AE，:.OB1AE,OD1AE，即OB±AE,OP±AE，且OBOP=O,OBu平面POB,OPu平面POB，・・4£，平面POB n又AEu平面ABCE，•.・平面POB，平面ABCE.（2）由（1）可知四边形ABED为菱形，，AD=DE=2,在等腰梯形ABCD中

AE=BC=2,APAE正三角形OP=<3,同理OB=<3PB=<6，.二OP2+OB2=PB2,AOP±OB,由(1)可知OP1AE,OB1AE，以O为原点，OE,OB,OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz,由题意得，各点坐标为P(),0,<3由题意得，各点坐标为P(),0,<3),A(-1,0,0),~B口时),C),E(1,0,0),・・・PB=(0,J3,—%”),PC=(2,<3,-..-3),AE=(2,0,0),设PQ=九PB(0<X<1),AQ=AP+PQ=AP+九PB=(1,0,<3)+(0八以,-%3九)=(1,、永,%3-/),设平面AEQ的一个法向量为n=(x,y,z),"2x=b九1—1),x+0入y九1—1),八, 九取x=01y=1，得z=---，所以n=(0,1,人一1设直线PC与平面AEQ所成角为0,0e0,5则sin0=cos<则sin0=cos<PC,n>PCn<15=刀一，即书+邪上1一人M吾J15化简得：4九2-4X+1=0，解得九二1,2••存在点Q为PB的中点时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为今【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,平面与平面垂直的判定,线面角的向量求法,属于中档题.22.已知椭圆C:上+y2=1(〃>b>0)的离心率为豆，椭圆C截直线x=1所得线段的长a2 b2 2度为72.过椭圆