高三数学联考测试卷

#/9高三数学联考测试卷本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟第I卷(选择题，共60分)参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互，那么P(A・B)=P(A)・P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次重复试验中恰好发生k次的概率P(k)=Ckpk(1-p)n-knn正棱锥、圆锥的侧面积公式S=cl锥侧2其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长，球的体积公式4V=—兀R3球3其中R表示球的半径一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)如果集合S={xIx=2n+1,ngZ},T={xIx=4k土1,kgZ}，贝y()A.SuTB.T匚SC.S=TD.S老T丰已知三个实数a，b=aa，c=ab,其中0.9<a<1,贝9()A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b当lx-2l<a时，不等式1x2-4I<1成立，则正数a的取值范围是()A.(后-2,+8)B.(0,<5-2]C.h'5-2,+xD)G.;5-2,/5+2)在平面内有△ABC和点O，且OA-OB=OB-OC=OC-OA，则点O是厶ABC的()A.ABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心两直线y二±\；3x与椭圆$=3C°｛（9是参数）的四个交点为顶点的四边形的[y=2sin9面积是（）144144J3A.B.6、3C.D.243131设等比数列｛an｝满足条件：对任何正整数n,其前n项和S“恒等于a“+1-a1，则这样的等比数列（）不存在必定存在，其公比可定，但首项不定必定存在，其首项可定，但公比不定必定存在，但首项与公比均不定若a>3，则方程X3-ax2+1=0在（0,2）上恰有（）A.0个根B.一个根C.2个根D.3个根8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AA1与CC1的中点，贝9直线ED与直线D1F所成角为()人1c1小兀r兀A.arccos—B.arccosC.一D.—53369.对于函数f（x）=[sinx,当sin[cosx,当sinx：>cosx时x<cosx时下列命题中正确的是（）该函数的值域为[-1，1]兀当且仅当x=2k兀+（kgZ）时，函数取最大值12函数是以冗为最小正周期的函数3当且仅当2k兀+兀<x<2k兀+亍兀（kgZ）时，f（x）<0在平面内将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（-2，4）重合.若点（5,8）与点（m,n）重合，则m+n的值为（）A.4B.—4C.13D.-13身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同排法的种数为（）A.15B.84C.90D.540已知4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元设2枝郁金香的价格为a元，3枝丁香的价格为b元，则a，b大小为（）A.a>bB.a=bC.a<bD.不确定第II卷（非选择题，共90分）

二、填定题(本大题共4小题，第小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)兀R地球半径为R,在北纬60°圈上有甲、乙两地，它们在纬度圈上弧长为可，则甲、乙两地球面距离为12已知x+y=1(x>0,y>0)，求—+—的最小值，请仔细阅读下列解法，并xy在填空处回答指定问题.解：*.*x+y=1(x>0，y>0)•令x=cos—0，y=sin—0(其中①②)贝9—H——=H=tan—0+—cot—0+3三3+—\—xycos—0sin—01—一此时当③时，丄+-取得最小值3+2^2.xy说明：①指出运用了什么数学方法②指出0的一个取值范围③指出x、y的取值有下列命题：①x,yeR，若x—+y—=0,则x、y全为零；②“全等的三角形是相似三角形”的否命题；③“若m>1，则mx—-—(m+1)x+m-3>0的解集为R”的逆命题；④“若a+5是无理数，则a是无理数”的逆否命题.其中正确的是.(填上所有正确命题的序号)已知两台运行的仪器发生故降的概率为P1，P—，现同时对这两台仪器做运行情况检测，检测中发生故障的仪器台数£的期望是.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)(本小题满分14分)已知f(x)=sin—x-cos—x+1，(1)化简f(x)；(2)若sin(x+-)=3，且1+cotx45<x<x，求f(x)的值.4418.(本小题满分1—分)从汽车站驾车至汽车西站的途中要经过8个交通岗，假设某辆汽车在各交通岗遇到红灯的事件是的，并且概率都是丄.求：3(1)这辆汽车首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；

(2)(理科)这辆汽车在途中遇到红灯数£的期望与方差;(文科)这辆汽车在途中恰好遇到4次红灯的概率.19.(本小题满分12分)如图，四棱锥P-BCD中，PD丄面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中，ZD=ZDAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,(1)求异面直线PA与BC所成的角；(2)若PB的中点为M,求证：平面AMC丄平面PBC.20.(本小题满分12分)若存在正实数x,使得不等式皿三Ind成立，求实数k的取值范围.

x+1x+121.(本小题满分12分)设椭圆G方程为丈+丘=1(a>b>0),曲线C方程为y=1，且曲线1a2b22x1与C2在第一象限内只有一个公共点P.试用a表示点P的坐标；设A、B是椭圆q的两个焦点，当a变化时，求△ABP面积函数S(a)的值域；记min{y1，y2，…,yn}为y1，y2，…,yn中最小的一个，设g(a)是以椭圆q的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a),S(a)}的表达式.22.(本小题满分14分)在正三棱锥中，如果以侧棱与底面所成角的余弦值为自变量x,以侧面与底面所成角的余弦值为因变量y,则得到函数y=f(x).(1)求函数y=f(x)的解析式及定义域；

判断f(x)的单调性并给予证明；如果数列{a},a=—,a1=f(a)(neN*)，求证：当n三2时,nn3n+1n1a<・n5参考答案一、选择题对S中的n分类：n=2k，keZ贝Vx=4k+1；n=2k-1，keZ时，x=4k—1,所以S=T故选C.利用指数函数y=ax(0<a<1)的单调性比较可知选A.不等式lx-21<a的解集为(2-a，2+a)，不等式1x2-41<1的解集为(占，-爲))由题设知前一解集为后一解集的子集，所以有2-a三占且2+a<v'5所以0<a5+2，故选B.由OA-OB=OB-OC知OB-(OA-OC)=0即OB-CA=0，所以OB丄CA，同理可得OC丄AB，OA丄BC，所以O是△ABC的垂心，故选B.5•椭圆为竺+22=1.y二占x与椭圆在第一象限的交点坐标为94(」,63)，故所求四边形面积为4x-L.63=空3，故选c.v31“31<31“3131由题设知a1+a2++an=an+1-a1，当公比q=1时，na1=0，Aa1=0不符合，所以qM1,此时有=a^qn一1-q=-1，Aq=2，故选B.令f(x)=x3一ax2+1.则广(x)=3x2-2a，在a>3，xe(0，2)时，广(x)<0,又f(0)=1>0,f(2)=9—4a<0,故f(x)的图象在(0,2)上与x轴有一个交点，即f(x)=0有一个根，故选B.连B1F,则B]F〃DE，所以ZD1FB为异面直线ED与D/所成的角.令正方体棱长为2,贝yBF,AF=宓,BD=魚,..1111cosZDFB=5+5_8=1,ZDFB=arccos1，故选A.12x5515

由图形可知选D.由题可知（2,0）与（-2,4）是某一直线的对称点，此直线即为其垂直平分线I：y-2=x，且点（5,8）与（m,n）关于l对称，故可求得m=6,n=7,.°.m+n=13,故选C.由题设知为C2-C2-C2=90，故选C.642由二元一次不等式表示的区域可知选A.二、填空题甲、乙直线距离为R,在大圆中甲、乙劣弧所对圆心角为-，所以甲、乙3球面距离为IR.14・①换元法②濮（0,专）15.①④16・P1+P2三、解答题:sin2x-cossin2x-cos2x+117.(1)f(x)=2sinxcosx+2sin2x1+cotx=2sin2x1+dsinx(2)V—<x<—-，.:—<x+—<-4424sinxsinx=sin(x+-4-=sin(x+-)cos--cos(x+-)•sin-=^(3+4)=迄444425y10492518.（1）V这辆汽车在第一、二交通岗均未遇到红灯，而在第三个交通岗遇到红灯,p=(1-3)(1-2)x1=4到红灯,p=(1-3)(1-2)x1=427⑵（理「w8,3）8x(文)P=C8xG)43(1-1)41120=112038=656119.（1）建立如图所示的空间直角坐标系VZD=ZDAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0)由PD丄面ABCD,得ZPAD为PA与平面ABCD所庆=8X33(1-+)=1成的角:.Z成的角:.ZPAD=60°在RtAPAD中，由AD=2得PD=2叮3,:.P(0,0,2朽)•・•PA=(2,0,-2.3),BC=(-2,—3,0)cos<PA,BC>=2x(—2)+0x(—3)+(-2^3)x0v134713!3"PA与PA与BC所成的角为13arccos—13(2)TM为PB中点：M坐标为(1,2,"3)・•・AM=(—1,2<3),CM=(1,1,-'3),PB=(2,4,—2朽)JAM・PB=(—1)X2+2X4+\：'3X2^3=0CM・PB=1X2+1X4+2u3X(—2^3)=0・•・AM丄PB,CM丄PB.PB丄面AMCTPCu面PBC・•.面AMC丄面PBC20.4三gK+In丄x+1x+1.・・ink輕-1」x+1x+1存在正实数x,使得不等式皿三ln旦成立X+1X+1等价于不等式lnK<-1nX—ln—J在(0,+8)内有解x+1x+1设/(x)=X—ln―(x>0)X+1X+1则f'(x)=Inx(x+1)2・•.当0<x<1时，f(x)>0,f(x)是增函数当x>1时，广(x)<0,f(x)是减函数・•.当x>0时，f(x)有最大值f(1)=ln2・•・在使InkW出-In亠在(0,+8)内有解x+1x+1即InkWln2・・・0<kW2.21.(1)由1y=xx2丄y21.(1)由1y=xx2丄y2a2b2b2x4—a2b2x2+a2=0,由条件有厶=a4b4-4a2b2=0得ab=2，解得x=a■v2(舍)或x="|•P点坐标为高为空a11高为空a11S(a)=2-水a2-b2即a>2(2)V在AABP中，|AB|=2\：a2-b2Va>b>0，b=-a得0<—<1于是0<S(a)<込a4故△ABP面积函数S(a)的值域为(0,辺)(3)g(a)=c2=a2一b2=a2解不等式g(a)三S(a)即a2-兰三込Jl-—a2\a4整理得a8-10a4+2420•a三46或aW/2(舍)故f(a)=min{g(a),S(a)}=4故f(a)=min{g(a),S(a)}=4a2--a2i”2(1-—)a4(y2<aw46)(a>4‘6)(a>4：6)22.(1)如图，正三棱锥P-ABC,侧棱长为b,底边长为a,过P作PO丄面ABC,垂足为O.连结AO并延长交BC于D.连结PD,则ADIBC,PD丄BC323在厶ABC中，AD=a，•:AO=—AD=a.在233Rt^PO