机械控制工程基础（北京理工）第五章 控制系统的稳定性分析课件

控制系统的稳定性分析第五章§5-1稳定的基本概念例1：

求当f(t)=0时，而对质量m施加一个初始扰动，即当t=0时令质量m有一个位移，即y(0)=a，然后突然释放，求系统的运动。

图示系统的运动方程为：解：

对上式进行拉氏变换，得将初始条件代入，得例２：设等式右端常数项为H，则

结论：如图所示系统，在施加一初始扰动ａ后，系统的运动随时间增长而衰减，最后可恢复到原始静止状态。稳定性概念：当系统受到扰动作用后，将偏离原来的平衡位置，当扰动消除后，如果系统能在一定的时间范围内以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则称系统是稳定的系统，反之则称系统是不稳定系统。

由于暂态分量只与系统结构参数有关（如例２），与输入量无关。所以，研究系统稳定性就是研究系统输出的暂态分量与系统结构参量的关系，通过系统结构参数来判定稳定性以及在确定稳定的条件下系统参数的变化范围。

§5-2

线性系统稳定的

充分和必要条件1、线性常微分方程解的特性在数学分析中我们知道，对线性常微分方程

的解分两部分，即齐次通解特解实数根（2）求出对应的特征根：设有q个实根r对共轭复根：（3）写出齐次通解的一般形式：

其中，Ak、Bk、Ck为由初始条件确定的常数由上式可以看出，研究暂态分量式是否成立，实际上就是研究齐次方程的通解随时间的变化趋势，也就是分析是否成立？？2、趋势分析(1)if任一则系统发散，不稳定。（2）if任一，则系统发散，不稳定。（3）if任一，则系统等幅振荡，也不稳定。（4）只有对所有的成立时，才成立，即系统才稳定。§5-3系统稳定性判定方法

-劳斯（Routh）判据

用特征方程的根直接判定系统的稳定性，须求解特征方程。实际上我们在判定稳定性时，需要知道的只是根的符号。因此，Routh于1877年提出了不需求特征根而进行稳定性判定的劳斯判据。下面介绍这一方法：1．系统稳定的必要条件：若线性系统特征方程为:

如果为特征方程的根，根据代数理论中根和系数的关系有：

2.劳斯判据应用必要条件只能证明特征方程缺项（系数为0）或有不同号系数的系统为不稳定系统，而不能对系数全大于0的系统进行判别。

（1）劳斯表：对于系统特征方程

可列出下表

其中：按上面给出的计算方法，一直算到第n行（S1），第n+1行是S0仅第1列有数即特征方程中系数a0。

例1已知系统的特征方程为

试用劳斯判据判定系统的稳定性。

解：列劳斯表并计算：结论：表中第1列数均大于零，故系统稳定。

解：∵系统闭环传递函数为特征方程为：

解出上面不等式组，得当0<K<2.403时，系统稳定，当K=2.403时，称闭环系统为临界稳定，实际上是等幅振荡系统。列劳斯表：若闭环系统稳定，应该有

§5-4奈魁斯特稳定判据奈魁斯特（Nyquist）曲线

与开环幅相频率特性：奈魁斯特（Nyquist）稳定判据可简称为奈氏判据，它是利用开环幅相频率特性曲线判断闭环系统稳定性的图式稳定判别法。由于系统的频率特性可用实验方法获得，所以奈氏判据对那些无法使用劳斯判据等方法判别稳定性的系统，具有重要意义。§5-4奈魁斯特稳定判据闭环系统稳定的充要条件:当频率

由至变化时，奈氏曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数R等于开环传递函数的右极点数P。当开环传递函数没有右极点时，闭环系统稳定的充要条件为奈氏曲线不包围（-1，j0）点。如果R不等于P，则闭环系统不稳定，闭环右极点数（即正实部特征根的个数）Z可由下式求出，即：Z=P-R

§5-4奈魁斯特稳定判据为简单直见，使用奈氏判据时，一般只画出频率ω从零变化到无穷大时的开环幅相频率特性曲线即可。这时奈氏判据表达式可改写为：Z=P-2N

式中N—开环幅相频率特性曲线包围（-1，j0）点的圈数，沿ω增加方向，逆时针包围时，N取正值；

P——开环传递函数的右极点数；

Z——闭环传递函数的右极点数。§5-4奈魁斯特稳定判据

若开环传递函数中含有个积分环节时，绘制开环幅相频率特性曲线后，还应从频率对应的点开始，逆时针方向用虚线补画一条半径为无穷大，角度为90的圆弧。此时，系统的开环幅相曲线应包括补画的虚线部分。§5-4奈魁斯特稳定判据例：已知两单反馈控制系统的开环传递函数分别为

§5-4奈魁斯特稳定判据其开环幅相频率特性曲线分别中图4-46（a）、(b)所示，试用奈氏判据分别判断对应的闭环系统的稳定性。

§5-4奈魁斯特稳定判据解（1）系统1：由开环传递函数的表达式知，P=0，由图4-46（a）所示开环幅相频率特性曲线知，N=0。由奈氏判据，有Z=P-2N=0，故闭环系统稳定。（2）系统2：由开环传递函数表达式知，P=0，由图4-46（b）所示开环幅相频率特性曲线知，N=-1。

由奈氏判据，有P-2N=2，故闭环系统不稳定§5-4奈魁斯特稳定判据例：单位反馈系统的开环传递函数为，开环幅相频率特性曲线如下图所示，试判断闭环系统的稳定性。解：由G(s)表达式及图知，P=1，N=1/2。由奈氏判据，有P-2N=0，故闭环系统稳定。

此例说明：开环系统有不稳定环节时，闭环系统仍有可能是稳定的。解：由G(s)表达式及图知，P=1，N=1/2。由奈氏判据，有P-2N=0，故闭环系统稳定。

此例说明：开环系统有不稳定环节时，闭环系统仍有可能是稳定的。例:已知系统的开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。

§5-4奈魁斯特稳定判据

§5-4奈魁斯特稳定判据解：根据开环传递函数绘制的开环幅相频率特性曲线如图所示。由表达式及图知，P=0，N=-1。根据奈氏判据，有Z=P-2N=2，故闭环系统不稳定，闭环右极点数为2。§5-5系统的

相对稳定性一、相对稳定性概念左图是开环幅相频率特性曲线相对（-1，j0）点的位置与对应的系统单位阶跃响应示意图。图中各系统的开环传递函在右半S平面的极点数P皆为零。

不稳定如果结构参数有变化可能不稳定稳定性好由图可见，当开环幅相曲线包围（-1，j0）点时，对应的系统单位阶跃响应h(t)发散，系统不稳定；当开环幅相线通过（-1，j0）点时，对应的系统单位阶跃响应h(t)呈等幅振荡；当开不幅相曲线不包围（-1，j0）点时，系统稳定。

但由图中(c)、（d）可知，开环幅相曲线距（-1，j0）点的远近程度不同，系统的稳定程度也不同，开环幅相曲线距（-1，j0）点越远，闭环系统稳定的程度愈高，这就是所谓相对稳定性。

二、系统的稳定裕量系统的相对稳定性通常以稳定裕量来表示。系统的稳定裕量（也称稳定裕度）包括幅值裕量和相角裕量。

相角裕量幅值裕量（1）幅值裕量开环幅相频率特性曲线与负实轴相交时的幅值的倒数定义为幅值裕量（或增益裕量），用表示，取对数后得，

幅值裕量的物理意义是，如果系统的开环增益放大倍，则系统处于临界稳定状态。（2）相角裕量

开环幅相频率特性曲线上幅值为1这一点的相解与180°之和定义为相角裕量，用表示，即式中用负角度计算。

相角裕量的物理意义是，如果再滞后时，系统处于临界稳定状态。

在对数坐标图中，幅值裕量的分贝值为

相角裕量为

幅值穿越频率与相角穿越频率位置与系统稳定性的关系：对于最小相位系统，只有当幅值裕量、相角裕量都为正值时，系统才是稳定的。而且当,愈大时，系统稳定性愈好，但稳定裕量过大会使系统响应变慢。经验证明，当取时，系统的综合性能较好。