2023安徽版数学中考复习题6

2023安徽版数学中考

6.2图形的相似

基础练

考点1相似与位似的有关概念

1.（2021重庆中考A卷，等）如图,△/a'与△顺位似，点。是它们的位似中心，其中修2啰则

△/6C与△应尸的周长之比是

A.1：2B.1：4

C.1：3D.1：9

解析YAABC与丛DEF同心儿022OB,

：.AOBCsAOEF”旦\：.AABC与丛DEF的局长之此为1：2.故选A.

OEEF2

2.（2021淮南联考，镇）如图，线段48〃曲连接弘8c交于点。若办2M则下列选项中错误的是

A.XAOBsXDOC

B.—=i

OC2

CXAOB的面积

,kDOC的面积4

n〉AOB的周长1

•〉D0C的周长2

解析,：AB//CD,CI>2AB,

・・.△/如△阳黑震!

.4AOB的面积_pB\2_lbAOB的周长_AB1

…〉DOC的面积\DC)$〉DOC的周长DC2

，A、C、D正确,B错误，故选B.

3.(2022亳州利辛一模，僚)如图，在平面直角坐标系中,△/a'的三个顶点坐标分别为4(-2,1)、

员一3,2)、6(-1,4).

⑴以原点。为位似中心，在第二象限内画出△/回放大为原来的2倍后的△46C；

⑵画出△/IB。绕。点逆时针旋转90°后得到的△儿区C

解析⑴如图,△46G为所求作的三角形.

(2)如图，△儿区。为所求作的三角形.

4.(2022安徽C20教育联盟一模，播)在坐标平面内，△/回的顶点位置如图所示.

⑴将△/回作平移变挽使得三角形上一点(x,y)变换成(户1,厂3),得到△484；

⑵以点。为位似中心，在网格中画出与△46K位似的图形△4AC,且使得△儿民C与C的相

似比为2：1.

解析（1）根据题意得，将△4%向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到如图所示.

（2）如图所示,区C为所求作的三角形.

考点2相似三角形的性质与判定

5.（2022安庆调研，熠如图，在口/腼中，反尸分别是力〃、切边上的点,连接应"、";相交于点G

延长州交切的延长线于点〃则图中的相似三角形共有（C）

C

A.2对B.3对

C.4对D.5对

解析根据相似三角形的判定可得△/0s△尸幽△从如△幽△侬9s△施4,△力座s△CBH,

共4对.故选C.

6.（2022合肥蜀山调研，缁）如果两个三角形的面积之比是3：1,则它们的周长之比

是8：1.

解析•.•相似三角形的面积之比等于相似比的平方，两个相似三角形的面积之比为3：1,...这

两个相似三角形的相似比为国：1,

•.•两个相似三角形的周长之比等于相似比,...这两个三■角形的周长之比等于百:1.

7.（2022北京中考，幽如图,在矩形加力中，若［比3,4>5,竺上，则四的长为1.

FC4

解析四边形ABCD是矩形,

//除90°,AD=BC,AD//BC.

在RtZ\4比'中"小5,49=3,

：.BOy/AC2-AB2=4.

：.AD=B(=4.

'：AD//BC,

：.NEA片/BCF,Z.AEF-ZCBF,

:.XAEFsXCBF.

.AEAFI即竺上

*BCFC4144’

・••心L

8.（2022广西北部湾经济区中考，谓）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影

子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度.如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米,

同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度同是134米.

D

解析,:BOLOA,EF1OA,

：.ZBOA=ZEFD=90。，由题意知BA//ED,

：.NBAW/EDF,：./\BOA^^EFD,

EFFD

，££二注3134米.

24'

，金字塔的高度砌是134米.

9.（2022安徽省名校联考二模，播）一天,数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因

挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响.如图是同学们选择（确保测量

过程中无安全隐患）的测量对象烦U量方案如下：

①先测出沙坑坑沿的圆周长为34.54米；

②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于6时，他

的视线恰好经过沙坑坑沿圆周上一点力看到坑底卫甲同学的视线起点C与点4点S三点共线）,

经测量：4庐L2米，除1.6米.根据以上测量数据，求该“圆锥形坑”的深度（圆锥的高）.（意取

3.14,结果精确到0.1米）

解析设圆锥底面圆的圆心为，连接OS、阳则N3/月吐90°,OS〃园

：.ZACB=ZASO,

△烟,

.OSOA.„„OABC

,.一=—,..os=---,

BCABAB

'：0A=34.54=5.5米，除1.6米,45=1.2米,

2IT

...妗艺宁心73（米），

...该“圆锥形坑”的深度约为7.3米.

思路分析

设圆锥底面圆的圆心为。连接OS、例证明然后根据相似三角形对应边成比

例求出〃S的长度.

提分练

考点1相似与位似的有关概念

1.（2022合肥蜀山二模，播）如图是由边长为1的小正方形组成的网格,4、B、C,〃四点均在正方

形网格的格点上，线段力反切相交于点〃

⑴请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母）,构成一对相似三角形，并用“s”符号写出

这对相似三角形；

⑵线段的长为.

解析⑴如图，连接£初

由格点图可得初〃4C

:、MAOCSMBOD.

(2)'：/XAOC^IXBOD,

.OA_AC

••~~/

OBBD

Z^=V12+l2=V2,/i^=V32+32=3V2,

.0A_3«_Q

••布F'

：.A0=30B,

■:322+22=2企,

：.AO=-A&--X2V2=—.

442

故答案为这.

2

2.（2022合肥瑶海一模，幽已知:△/回的三个顶点坐标分别为40,3）,凤3,4）、6（2,2）.（正方形网

格中每个小正方形的边长是一个单位长度）

⑴画出△力a'向下平移4个单位长度得到的△48C,点G的坐标是；

⑵以点6为位似中心,在网格内画出区Q使△儿与C与△/aI位似，且位似比为2：1,点G的坐

标是.

解析（1）如图所示,向下平移4个单位长度得到△46C.

••,6(2,2),

...点G的坐标是(2,-2).

（2）如图所示,以8为位似中心，画出区C,使△力血G与a'位似.

.•位似比为2:1,

.BC_1

.'B^2'

:.B2gBQ

：.CC^BC,

•••凤3,4),[2,2),

除J(3-2尸+(4-2)2=*,

:.CCF后

设直线的解析式为尸丘8(A#0),

把凤3,4),42,2)代入得，

(3k+b=4,初产(k=2,

|2忆+8=2,解仔状=一2,

二直线比的解析式为产2『2,

二可设C(网2片2),

fG=V(m-2)2+(2m-2-2)2=V5,

解得近1或3(舍去)，

2zzr2=0,

・••点C的坐标是(1,0).

思路分析

(1)根据△/1比向下平移4个单位长度得到的△4AG,即可求解；

⑵根据题意，画出图形,根据位似图形的性质，可得CG=6C从而得到。6=遮，然后设直线BC

的解析式为广江氏A#0)把H3,4),电,2)代入，求出直线式的解析式,可设点C的横坐标为加，从

而得到关于加的方程，即可求解.

3.(2022芜湖镜湖一模，婚)如图,△/1宽的三个顶点坐标分别是/(0,3),^1,0),6(3,1).

⑴以原点。为位似中心，在y轴左侧画出446G,使得身G与△/a'位似，且位似比为2：1;

⑵△/回的内部一点〃的坐标为（名份,请写出点"在△4AG中的对应点助的坐标.

解析（1）如图所示.

⑵•.•△4AG与的位似比为2：在y轴左侧,，△4%的内部一点加在△4AC

中的对应点眼的坐标是（-2a,-2份.

思路分析

（1）依据位似中心及位似比即可作出△4AG；⑵根据位似比和位似图形的位置即可求解.

考点2相似三角形的性质与判定

4.（2021浙江杭州中考，的）如图，锐角三角形/a'内接于。QN刃。的平分线4G交。。于点&交

边于点£连接BG.

⑴求证:

⑵已知/生&月力求线段曲的长（用含a,b的代数式表示）;

⑶已知点£在线段"1上（不与点4点6重合），点〃在线段北上（不与点4点E重合）,/ABD=/CBE,

求证:除宓•GD.

解析⑴证明:平分/为C

：.ZBAG=ZFAC.

又•：乙"乙Q

:.XABGSXAFC.

⑵由⑴知竺二竺.

''''AFAC

'：A(=AF^b,

.,.AG=AB=a,

：.FG=AG-A^a-b.

(3)证明:：ZCAG=ZCBGIZBAG=ZCAG,

：.ZBAG=ZCBG.

'：/ABD=4CBE,

，4BDG=4BAG*/ABA4CBG+4CB芹/EBG.

文,：/DGB=4BGE,

:.ADGBsABGE,

.GDBG

…BGGE'

：.B（?=GE-GD.

5.（2022安庆调研，幽在四边形46切中,对角线AC,9相交于点0.

⑴如图①,若四边形力也为矩形，过点。作初1园求证:密1办

⑵如图②，若AB〃CD泡点、。作即〃四分别交BC、/〃于点EF求证喘+方2；

⑶如图③，若3平分//期〃、£分别为0A.仍上的点，应交%于点也作初V〃仍交0A于点

可小8,循6,直接写出线段助V的长度.

解析⑴证明:•.•四边形46(切是矩形，

，0是“中点MAL线/斤3

'：OEVBC,

：.0E//AB,

：.4CA土乙COE,

又/加=/位390°,

:.MCABsMCOE,

・OCOE1

**ACAB2'

OB^AB,

21

・•.0e1CD.

2

(2)i正明:•・•小〃/瓦

・•・△4"△加笈

・FO_DO闰^OF_AOOE_COEO_B0

**ABDB'，上CDAC*ABCA'CDBD'

・FOOFOEtEODOAO,COBO

ABCDABCDDBACCABD

・FO+OE,EO+O4—力0+C。BO+DO

ABCDACBD'

.,•空+空=2.

ABCD

(3)岭.

详解:设M^x,

'：MN//OB,

ZDNM=ADOE,ADM2/DEO/阳/AMOE,

：./\DNM^/\DOE,

.DN_MN

'"DOOE'

火YOC斗分乙AOB,

二/NO语乙MOE,

，4N0M=/NM0,

：.OS^NM.

贝

86’

•・•产■24中

即助隹.

7

思路分析

⑴根据题意，在△/勿中，根据相似三角形的性质，可得好，£即可得证;⑵由EF〃AB,得

△加叱△〃叫根据相似三角形的性质,对应边成比例，即可得线段之间的比例关系;⑶由心〃的

可证△〃恻s△戊况根据相似三角形的性质,对应边成比例，可得黑=器，即可求得线段，断的长度.

6.(2022合肥巢湖二模，象9定义:如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍,那么我们称这

样的三角形为倍角三角形.根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍,所以我

们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形,再利用我们学过的相似三角

形的性质解决相关问题.请通过这种方法解答下列问题：

⑴如图1,在△力%中,”是角平分线，且A於BD・园求证:是倍角三角形;

⑵如图2,已知△/a'是倍角三角形，且乙4=2NC/斤8,除10,求然的长;

⑶如图3,已知在△/a'中,N/=3NC/庐8,除10,求4C的长.

图3

解析⑴证明:•.•四=8〃•园

.ABBD

'"BCAB'

VZ5=Z^

二XABM△CBA,：.NBAD=ZC,

又•:AD是/BAC的平分线，

：.ZBAC=2ZBAD,

:.乙BAC=2乙Q

是倍角三角形.

⑵如图，作N胡C的平分线/〃则/胡NBAD=2ZCAD,

■:/BAO24C,

胡氏NCN。氏/C

又炉NE

:.△ABMXCBA,

，也空，即AE=BD・BC,

BCAB

：.BD=6.4,

：.CD=B&BD=10-e>.4=3.6,

■:乙CAM乙C,

・•・/!〃=缪二3.6,

・.ADBD

•ACAB1

・3.6_6.4

AC8'

，裕4.5.

A

⑶如图，过点力作/胡C的三等分角,/〃熊分别交8C于点则/胡小3Z以止3Z加后3ZCAE,

'：ZBAC=3ZC,

，4BAD=/DAa4CAk4C,

又左/日

:.△ABMXCBA,

，理二当即Aff=BD-BC,

BCAB

：.BD=6.4,

：.CD=B&BD=iO-Q.4=3.6,

■:4BA左24C=4BEA,

，屿心8,

，CE=2,D方1.6,

■:乙CA方乙C,

・F斤上2,

/DA片ZC,乙ADO乙EDA,

:.XADEs/xcDA、

：.丝普即Aff=DE•1.6义3.6,

CDAD1

・・・/!Z>2.4,

・.AE_DE

*ACAD'

.21.6

*'AC2A'

：.AC=3.

A

BI）EC

思路分析

⑴根据相似三角形的判定可证△/劭s△烟,进而由相似三角形的性质可得/以仄NC由

角平分线的性质可得/加小2N用!〃等量代换即可求证；

⑵作乙必。的平分线/〃根据角平分线的性质易得/胡用2/历L9=2NO〃进而可证

△力如△⑦4,根据相似三角形的性质可得Aff=BD•%进而可得BD、CD的长油等角对等边可

得AD=C33.6,根据相似三角形的性质可得熬器代入数据即可求解；

ACAB

⑶过点A作/为C的三等分角，心四分别交BC于点根据三等分角的性质可

知,/胡小3/胡氏3/%后进而可证△烟，由相似三角形的性质可得•BC,

进而可得BD、CD的长，根据外角的性质和等量代换可得N胡氏2/小/原4,由等角对等边可得

8层胫8,进而可得△/应s△徵片,由相似三角形的性质可得.=庞•内代入数据求得仍2.4油

相似三角形的性质可得笠=黑，代入数据即可求解.

ACAD

解后反思

本题综合考杳相似三角形的判定及其性质、角平分线的性质、等角对等边等知识,正确作

辅助线构造相似三角形，而解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其性质.

7.（2022江苏苏州中考，咫1）⑴如图1,在.AABC中,/ACB=2/B,CD平分/ACB,交4?于点D,