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文档简介

离散型随机变量函数分布教学讲义为了解决类似的问题,下面我们讨论两个随机变量函数的分布.一、问题的引入例1设两个独立的随机变量X与Y的分布律为求随机变量Z=X+Y的分布律.得因为X与Y相互独立,所以解二、离散型随机变量函数的分布可得所以结论三、连续型随机变量函数的分布

1.Z=X+Y的分布由此可得概率密度函数为由于X与Y对称,

当X,Y独立时,例4设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度.得说明

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.

例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则3X+4Y+1也具有正态分布.为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例6若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷积公式也即为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域如图示:也即于是同理可得故有当X,Y独立时,由此可得分布密度为解由公式例7得所求密度函数得3.极值分布则有故有推广若X与Y相互独立同分布且为连续型随机变量,X的分布密度为p(x),则M与N的分布密度为

上述结论可以推广到n维情形,即若设随机变量相互独立同分布,令则它们的分布函数分别为它们的概率密度函数分别为例1*设X,Y独立同分布,P{X=i}=1/3,i=1,2,3,求M=Max(X,Y),N=min(X,Y)的分布律.

解从而M的分布律为

类似可得N的分布率为

N123P5/91/31/9M123P1/91/35/9从而M的分布律为例2书上四、小结1.离散型随机变量函数的分布律2.连续型随机变量函数的分布若随机变量（X,Y)的概率密度为p(x,y)，则

(4)Z=X－Y的概率密度为

（5）Z=kx+Y,(k>0)的概率密度为（6）Z=XY的概率密度为

本节结束例1设随机变量X与Y相互独立,且其分布密度分别为其它.其它.求随机变量Z=2X+Y的分布密度.

由于X与Y相互独立,所以(X,Y)的分布密度函数为解备份题随机变量Z的分布函数为所以随机变量Z的分布密度为解例2解例3此时例9解例1

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