让抽象变得自然线性代数精彩案例

让抽象变得自然线性代数精彩案例润物细无声：应用案例

子空间概念的应用

4阶幻方构造法

4x+

同加1随风潜入夜:概念的引入方程个数的真与假

方程组有几个方程？

3个?2个?

某个方程是其余方程的线性组合线性相关

方程组线性相关有多余的方程（是其余方程的线性组合）删去多余的方程----打假将打假进行到底极大线性无关组剩下的方程的个数----秩rank极大线性无关组，秩二元一次方程组的几何意义行列式的定义

方程组可写成向量形式即1.有唯一解的条件不共线即2.消元:方程(1.1)两边与(1.1)作内积消去y,得其中就是同理得图2因此,于是3.二阶行列式—平行四边形面积称为二阶行列式,记作是平行四边形OAPB的有向面积,是两个向量或的函数,计算公式:或图24.代数算法可写成其中三阶行列式与体积1.三元一次方程组的几何意义两边同时与方程作内积消去y,z,得到类似地可以得到y,z的表达式。当时得从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使则就是以OA,OB,OC为棱的平行六面体的有向体积。称为三阶行列式，记作2.三阶行列式—平行六面体体积利用基本性质计算n阶行列式(3.1)当

i1,i2,…,in

中有两个相等时，这样的项可以从(3.1)中去掉。只剩下i1,i2,…,in

两两不相等的项,(3.1)中的变成对1,2,…,n的全体排列(i1,i2,…,in)求和，成为：将排列中任意两个数相互交换位置,称为这个排列的一个对换。相应地，行列式中的互换了位置，其值变为原来值的相反数。进行若干次对换(设为s次)可以将排列变成标准排列(12…n),相应地将变成(3.2)以下只须对每个排列求可以证明,的值由排列唯一决定,我们将记为sgn。则sgn代入(3.3)得到(3.3)于是得这可以作为

n阶行列式的定义。(3.4)线性代数

空间为体,矩阵为用研究对象----几何：线性空间(向量)研究工具----代数：矩阵运算向量(问题)

矩阵语言描述

矩阵运算解决向量(解答)与微积分的关系:非线性--微积分

线性--线性代数微积分中的代数模型

物理:以匀速代变速几何:以直代曲代数:以线性代非线性线性化--微分与导数y=f(x)

在a的微分：

Dy=f(x)-f(a)≈

线性函数dy=kDx误差q=Dy-dy是Dx=x-a的高阶无穷小.导数f’(a)=一次项系数k.

一次函数逼近f(x)≈f(a)+f’(a)(x-a)误差集合

o(Dx)：Dx的高阶无穷小非零作零貌似零:q+q=q,q-q=q,aq=q.同余式f(x)≡f(a)+f’(a)(x-a)（modo(Dx)）同余式:极限:f(x)A,f(x)≡A

（modO(Dx)）微分:f(x)≡f(a)+f’(a)(x-a)(modo(Dx))Taylor逼近:f(x)≡

k0+k1(x-a)+…+kn(x-a)n(modo(Dx)n)

多项式的导数.多项式f(x)的导数:x为常量，t为变量,则

Df(x)=f(x+t)–f(x)是t的多项式，其中的一次项系数为f’(x).

和差积商的导数公式f(x)

≡f(a)+f’(a)Dxg(x)≡g(a)+g’(a)Dx两式相加减和差的导数相乘乘积的导数f(x)g(x)≡f(a)g(a)+(f(a)g’(a)+g(a)f’(a))Dx倒数的导数:

微积分基本定理数学聊斋：飞檐走壁之电影实现导数：位置f(t)

速度v(t)=f’(t)积分：速度v(t)路程Df(t)“倒过来放映”:求f(t)使f’(t)=v(t).

例：.

F(x,y)在某点P0可微何时由

F(x,y)=0确定

y=f(x)?线性化:aDx+bDy≈0,

y=f(x)在

x0可微,导数为

隐函数存在定理

可微函数n个方程=0,线性化即当detB时有唯一解隐映射定理线性变换前后的图形

向量方向的变化选取特征向量为基计算案例:若当标准形

网上资源://精品课程国家级数学实验(2003),线性代数(2004)2006申报精品课程国家级联系办法:已出版教材

李尚志,线性代数(数学专业用),

高等教育出版社,2006.5

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随笔:

比梦更美好比梦更美好之二---名师培养了我数学聊斋二则

数学诗选

星移斗转落银河,月印三潭伴碧波。保短保长皆变换,

能伸能屈是几何。

矩阵与变换我的数学聊斋

之一

峨嵋山的佛光

数学聊斋

之二

指鹿为马之幼儿版

博比:

长颈鹿马马老虎猫咪狮子

狗狗黑猩猩爸爸

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数学聊斋

之三

人与照片之维数之四飞檐走壁之电影实现

数学聊斋(之五)

足球的方与圆---概