概率论与数理统计课件4.2随机变量序列的两种收敛

§4.2随机变量序列的两种收敛性随机变量序列的收敛性有多种,其中常用的有两种:依概率收敛和依分布收敛.前面讨论的大数定律涉及的是一种依概率收敛,后面将要讨论的中心极限定理将会涉及依分布收敛,而极限定理不仅是概率论的中心议题,而且在数理统计中有广泛的应用.下面将给出这两种收敛性的定义相关的性质.一、依概率收敛=0，其中

或等价于

1.定义

上一节上，我们从频率的稳定性出发，得出下面的极限关系式：这与数学分析中通常的函数收敛的意义不同.

在上式中

以随机变量

代替

以便

得到新的收敛概念.

本节假定

所得到的随机变量都是定义在同一概率空间

（F,

）上的.

特别地，贝努里大数定律可以描述为

辛钦大数定律描述为

例4.2.1设是独立同分布的随机变量序列，且

试证

（.证因为,

,由契贝晓夫不等式故

即

2.性质

1）若

则p

证:因为

所以

，由

则中至少有一个成立，即于是

即

有从而

这表明，若将两个以概率为1相等的随机变量看作相等时，依概率收敛的极限是唯一的.2）(斯鲁茨基定理)若

所以，证明:因为

即由此得，

，同理可得

为了证明我们分几步进行：若

，则有

，这是因为对任意，有

若，则有

，这是因为在

对任意

时，有

而当时，结论显然成立.若，则有

，这是因为有以下一系列结论：

即再由

，从而有为了证明

，我们先证明这是因为对任意

，有

这就证明了

结合，就有

再与

由此性质可以看出，随机变量序列在概率意义下的极限（即依概率收敛于常数），在四则运算下仍然成立，这与数学分析中的数列极限十分相似.更一般地,有证明略.

，令

3）设是两个随机变量序列，,b为常数，若且在g(x,y)在点（a,b）处连续，则例4.2.2设为独立同分布随机变量序列，存在证明

证：因为为独立同分布随机变量序列，则从而

由斯鲁茨基定理

亦为独立同分布随机变量序列，由辛钦大数律注意此例表明,要证明随机变量序列依概率二、依分布收敛

与之间的关系怎样呢？例4.2.3设及都服从退化分布：

收敛,可以转化为用大数定律来证明.我们知道，随机变量的统计规律由它的分布函数完时，其相应的分布函数全刻划，当对任给＞0，当n＞时，有所以

而的分布函数为

的分布函数为易验证,当时，有→（）.但时，不趋于.1.定义

上例表明，一个随机变量依概论收敛到某随机变量，相应的分布函数不是

在每一点都收敛，但如果仔细观察

这个例，

发现不收敛的点正是

的不连续

点，类似的例子可以

举出很多，使人想到要求

在每一点都收敛到

是太

苛刻了，可以去掉的不连续点来考虑.

2.依概率收敛与弱收敛之间的关系

定义4.2.2设

是一列分布函数，如果对

的每一个连续点

，都有

成立，则称

分布函数列

弱收敛于分布函数

，并记作

若随机变量序列

的分布函数

弱收敛于随机变量

的分布函数

,也称

按分布收敛于

，并记作

定理4.2.1若随机变量列

依概率收敛于随机变量

，即

,则相对应的分布函数列

弱收敛于分布函数

即证明：对于任取，因有故即

因

，故

所以有

同理可证，对有,于是对任意有,令，有若x是的连续点，就有.

注意这个定理的逆命题不一定成立，即不量序列依概率收敛.能从分布函数列的弱收敛肯定相应的随机变例4.2.4抛掷一枚均匀硬币，记=“出现正面”，令=“出现反面”,则因与完全相同，显然有→对成立.但对成立,

所以不成立.一般来说，按分布收敛不能推出依概率收敛，但在特殊情况下，它却是成立的.定理4.2.2

随机变量序列(为常数)这里的分布函数，也就是退化分布证明略.

的充要条件为习题4.21．设随机变量序列独立同分布,数学期望、方差存在，且证明

2．设

证明(1)

(2)

3．设

,则对任意常数，有

4．证明：

的充要条件为：时，有

5．设为退化分布：

下列分布函数的极限是否为分布函数？

(1)

；(2)

6．设随机变量

服从柯西分布，其密度函数为

证明：

时，

7．设

为一列独立同分布的随机变量，

其共同分布

是参数为1的指数分

布．证明：

8．设分布函数列