外文翻译原文

毕业计外文献译院

系：

数学与计算机科学学院年级专业：

12数学与应用数学姓学

名：号：

施钰桢121301025指导老师评：指导教师签名：年

月

日

外文翻译有限维向空间本文译自：PaulFinite-DimensionalVectorLibraryofCongressCataloginginPublicationData,§2.向量空间现在我们来到了这本书的基本概念这里.有如下的定义，是一个数域;F中的元素叫做标量.定义：向量空V满足以下公理.（A）对于任意的xy，中有唯一确定的向量与它们对应，称为与的和，并记作x+y，满足：（1）交换律+x（2）结合律+（y+=(x+yz（3）V中存在一个独特的向量0（称为原点于任意向量x使得xx（4）对于任意向x，中存在一个向量x与之对应，使x+（x=0.（B）于任意α和x，其中是一个标量，x中的向量，中有唯一确定的向量与它们对应，称为α和的积，记作α，有如下公式：（1）乘法结合律，α（β）（α.（2）对每个向有，1x=（C）向量乘法分配律，α（x+y）=α+α.（2）标量乘法分配律β）xα+.这些公理在逻辑上不要求是独立的它们只是其中的一个特性为了方便我们研究.向量空V和数域F之间的关系通常被描述是F上的向量空.如果F是实数域RV被称为实数向量空间;同样，如或者是E，我们称为有理向量空间或复数向量空间1

外文翻译3.实在讨论关于公理的影响前，我们举一些例.整个操作中我们将一遍又一遍参考这些例子，并利用现有的符号.（1）让E

（=）为复数的集合，如果我们+和αx为普通复数加法和乘法，则E

为复数域上的向量空间.（2）为所有多项式的集合，变t为复数系.我们解释到复数多项式的加法和乘法能写成向量加法和乘法就称p复数向量空间原点在多项式恒等于零.这本书的典型例子即实例1太过简单实例2太复杂.我们再举一个例子，复数向量空间（我们将在后面看到）一般足够为我们所用（）设E

,n…,是所有元复数的集合.如x=

，...,和（，...,据定义,有+

(

,…,+),1

(

1

,…,

n

0=(0,…,0),-

(-

-

).这些中的真理（A与（）都很容易满足，所以间，被称维复坐标空间.

是一个复数向量空（4）对于每个正整n，设P为所有多项式的集合（复系数，如实例（2n当维≤n-1时，多项式恒等于零.（通常都是以维来讨论的，这多项式的维是没有定义，所以我们不能说≤-1）跟线性运算的解释一样（加法和标量乘法）如（2P是一个复数向量空间.n与E

相近的所有维实数

跟

的加法和标量乘法的定义相同，但现在我们只考虑实数标量，空R

2

是一个实数向量空间，它会被称为维

外文翻译实坐标空间.（6）前述所有实例可以进行推广.例如）中的一个明显的概括，可以说每个所述的数域可以被视为其自身的向量空.一个常见的推广（）和（）是由任意数域和n维F元素构成集合n;相同情况下线性运算的正式定义为F=E.（）根据定义，数域至少具有两个元素;一个是向量空.于每个向量空间包含原点，实际上（即除符号）一个向量空间只具有一个向量，这个是最简单的向量空间将用来表示.（8）如果在所有实数R中，加法和有理实数乘法的定义跟之前是一样的，那么R为实数向量空间.（）如果在所有复数的集合E中，加法和复实数乘法的定义跟之前是一样的，那么E为复数向量空间.（将此例与（1对比，他们有很大的不同）4.评论公理和符号的评论数域和向量空间的公理存在惊人的相似之处（和同样惊人的差异.在这两种情况下公（A中描述了该系统的加法结构公（）描述了其乘法结构公（C说明两种结构的联系§1和2中的公（A）的交换律是代数中较为熟悉的术;（§2）中公理（B）及（C中承认了标量作为运算的符号.我们顺便提下如果标量是元素（而不是数域应的向量空间的广义概念称为模.特殊实向量空（如R3是熟悉的几何图形.似乎在这个阶段坚持R以外的数域显然是没有任何理由的别是复数域.们希望读者愿意去相信它，我们后面尽量使用复数性质（共轭，代数包闭并且，我们的研究结果为希尔伯特空间的复数的推广在向量空间中的两个应用程序现（量子力学物理和数学中发挥重要的作用.它的一大缺点就是画图难度大对普通阿根图1图是无法区别的，用图形表示似乎是超出人能达到的范.此我们不得不使用一些图像语言来区E

和R

，例如将

称为平面.3

外文翻译最后我们对符号评论.我们观察到的符号0有两个含义一个作为标量，一个作为向量.为了使情况的不那么糟，我们将在后面引入线性泛函与线性变换来给它下定.幸运的是的各种解释由此可得知，紧记这句话，我们就不会混淆了.1.证明，如果x和y是向量是一个标量，则下面的关系成立(x(b((),0(观察到相同的符号被用在个等式的两边侧它表示的是标量，右侧它表示的是向量.)(e)如，那=0=0（=0）(f)x(g)+(-y)=x2.如果P是素数，Z

P

n

(这里=x（-y）是向量空间（cf.，3）;在这个量空间里有多少个向量？3.V是所有（命令）对数或实数的集合如果的元素，有+y=（12x（0=0,0）-x-2

)和y,1

)V中在线性操作的这些定义V是一个向量空间吗？为什么？4.有时一个向量空间中的一个子集本身就是一个向量空间(线性操作已经给出).例如,向量空间E和E3中子V组成的向134

外文翻译（是实数1（b=01（c=0=012（d+1（+12在这种情况是向量空间？5.考虑到向量空间和p中的子组成的向量多项式)x,有（）有3（b）2x0）x（1）（c）x）≥0≤≤1）（d））=（取任意数在这种情况是向量空间？5.线性关系既然我们已经描述了向量空间我们一定会对空间中的元素关系感到兴趣我们对求和符号描述几.果一组向量被赋于相应的一组指标i即为,如i果没有必要或者不方便对指标进行详细说,我们将简单地讲一组向{}我i们承认相同的向量可能有两个不同的指标与之相对.因此应该说,要的不是向量出现在{x},而是它们是如何出现.)如果考虑指标集是有限,们就i把相应的向量之和记x（者，可更加明确的记为ii

i

i

）.为了避免频繁和繁琐承x作为一般理论的总结是一个好主意，即使之前没有指标i作总ii结,或者更准确地说,即考虑指标集是空的.（当然在这种情况下是没有向量和，或者更准确地说,{x}是空的）.这种“空的和”很显然定义为向量0i定义：如果存在一组相对应的标量{a}且它们不全为0，使得i5

iiii外文翻译iiiii

axi

i

则称有限向量组{}线性相关.另一方面,如果使i于任i),则称{x}线性无关.i

i

a且仅当=0(对ii这个定义的说法是指在空集情况下,虽然可能产生矛,但其它部分的理论还是相对吻合的.其结果表明，空集向量是线性无关的实际上,如果没有指i,那么从向量中挑出一部分并分配给选定的非零标量使其之和消失是不可能.问题不在于避免赋值为零,而于分配指.注这观点表,集不是线性相关;线性无关的定义与直接否定线性相关的定义是等价的，这个说法还是需要一些直观理由.简单的说法是ax当且仅a=0于任i).假使没ii有指i，则另有说法果i，这个版本显然是如此.

i

a没有指i，,如果不存在指ii线性相关和无关是向量集的属性，它是司空见惯,然而对于向量本身的形容词应用,我们有时会一组线性无关的向量不线性无关的一组向量它也可以简单的说向量的线性相关和无关，并不一定要是有限集为了深入了解线性相关的意义，我们用已有的向量空间的例子来学习(1)如果x和y是E1中的任意两个向量,则和是一组线性相关.如果x==这个并不重要如果不是这样的,那么我们有+(-)的关系.很明,因为每组包含一个线性相关的子集本身就是线性相关,这表明在各个组中包含多个元素是一组线性相关.(2)在空间P情况下，向量x,y定义，有(t)t)(1z(t)

的例如,当xyz则线性相关.然而对于无限的向量集x

0

,x1

,x

2

,

的定义，有

0

(t)

1,x1

()

,x

2

(t)

2

,

,是一组线性无关的,如果存在形式6

ii外文翻译iiax001nn那么，我们就得到一个多项式的恒等式：att0由此可得

a01n(3)正如我们前面提到的,空间

是我们要研究的原型,让我们来看,当=3，对于那些熟悉的高维几性相关的概念(者,确切的说,其类似的(3))这个领域有一个具体的几何意.我们只提及在几何语言中若两个向量是线性相关的，当且仅当它们是共.（如果有人认为一个向量不是作为空间中的一个,而是作为一个箭头指向即从原点指向某个给定的点,由于两次忽略了“原点以前面的句子应该修改下我们目前介绍了向量空间中线性流形（或向量子空间）的概念，并在这方面，我们将偶尔使用这类几何语言§6.线性组合我们说只要x则{}一个线性组合我们将没有任何进一步ii的解释能使这个术语的所用语句更加简单.此我们说,假如x{}的线性组i合,那么线性无关的；我们留给读者证明，如的，ii它的充分必要条件是x{}的一个线性组.需要注意的是，按照空的和的定i义，原点是空集的线性组合，而且这是此向量的唯一属性下面的定理是关于线性相关的基本结果.定理：非零向量组x,(2)是线性相关的，充分必要条件是向量1组中至少有一个向量，可由其余个向量线性表示证明.假设x(2kn是线性相关的，则存在一组不为零111kk成立，我们不妨我们就可得x之间是线性相关.即kk-17

，使

外文翻译

a

ka

因此x可由其余向量线性表示.k这证明了必要性条件充分性是显而易见的为正如我们之前所说的,每组包含一个线性相关的子集其本身就是线性相关.§7.基定义：在向量空间中，存在一组线性无关的集x使得中的每个元素都可以用x性表示，则称集合x向量空V中的一个.果向量空V含有一个有限的基,则V是有限维的.除了偶尔考虑这些例子以外,在这本书,我们主要将注意力集中于有限维向量空间.例如基，我们再次转向向量空间和

.向量空间P，集{}其中x

n

t)

n

,n

0,1,2，是它的一个基;通过定义，每一个多项式的一个有限维的线性组合.此外无限维的基，对给定的任意有限多项式，我们可以发现有比他们的维数高的多项式;后者多项式显然不是前者的线性组合关于基础一个例子，在

中向量xi,,x的第j坐标定义成ii

ij(在这里我们第一次使用克罗内克积;是由当ij和ij=0ijij定义因,我们认为,向量(1,0,0),x(0,1,0),x(0,0,1)是3中的一组123基.不难看出,它们是线性无关的,公式x1

,

2

,

3

)11

2

x2

3

x

3证明了在

中每一个x是它们的一个线性组合.一般在有限维向量空V中，,{,}中的每可以写成如下形式：n

i

i

i我们断言，x唯一确.这一说法的依据是线性相关理论中所使用到的论8

iii外文翻译iii证.如果我们有xx，那么可以通过减法，可得ii

i

xi由于x是线性无关的这意味-ii的.

其i,换言之是一样i[1]Algebre;Ⅱ（）,Ⅲ(Algebre[2]B.L.VanWaerden,Modernalgebra,NewYork,[3]S.Banch,des[4]F.RieszSz.-Nagy,FunctionalYork,[5]IntroductiontoHilbertspace,York,[6]M.H.Stone,LineartransformationsinHilbertspace,York,[7]R.CourantandofmathematicalYork,1953.[8]foundationsofSpacesVectorWenowtoofbook.Forthedefinitionfollowsassumethatareaparticularfield;tousedtoofF.9

外文翻译Definition.Aasetofsatisfyingfollo-（AToeverypair,yofinʋthereavectorx,sumofxy,insuchthat(1)additioniscommutativex+y=y+x(2)additionis+(yz(+)+(3)thereexistsinvector0(calledorigin)suchthatx+0=xforevery,(4)toinVa-suchx+(-x)=0（BTopair,andx，αisascalarandxisavectorin,therecorrespondsavectorαxinV,calledtheproductofαandinsuchawaythat(1)multiplicationbyscalarsisassociative,α(β)=(αβ)(2)x=xforvector.（CMultiplicationbyscalarsiswithrespectvectorα(+αx+α,(2)multiplicationiswithtoscalaraddition,(α+)x=αx+βxThesenottologically;merelyaco-nvenientofobjectswewishto.betweenatheunderlyingfieldFusuallybythata.ifFfieldofrealnumbersiscalledarealvectorspace;similarlyifFisQorifFis,speakofspacesorcom-plexvectorBeforetheimplicationsoftheaxioms，wesomeWeshallrefertheseover，shalluseestablishedthroughouttheofourwork.(1)LetE

（E）ofallcomplexifinterpret+

asordinarycomplexmultiplication.

aspace.(2)beofallwithcomplexcoefficients,atmakeintoavector,Weinterpretvectoradditionscalmultiplicationasordinaryoftwopolynomialsthemultiplication10

外文翻译faanumber;origininisidenticallyExample(1)istoosimpleandexample(2)toocomplicatedtobetypicalofofthisbook.wegiveanotherexampleofwhichweshall)isgeneralforallpurposes.(3)LetE

，=1,2,…,bethesetofalln-tuplesofnumbers.ifx=(

y=(1n

)areof1n

,wewritedefinition,+

(

,…,+),1

(

,…,1

n

0=(0,…,0),-

(-

-

).Itiseasytoveritythatallofouraxioms(A),(b).and(c),sothat

avectorspace;itwillbecalledxcoordinate(4)Forintegernletpbetheofall(withxcoefficients,asinexample(2))ofdegree≤nwithidenticallyzero.(intheusualdiscussionof,theofthisisnotthatWethatithas≤)Withsametionoflinear(additionandmultiplication)in(2,pisa(5)Arelativeof

setR

ofalln-tuplesofrealnumbers.Withthesamedefinitionsadditionandmultiplicationasfor

,exceptthatrealscalarα,thespaceRitwillberealcoordinate

isArealspa-ce;(6)AllprecedingexamplescanbeThus,foransof(1)canbysayingthatfieldberegardedasspaceitself.Acommongeneralizationof()()atartswithanarbitraryofofelementsof;theformalefinitionsofLinearoperationsasfor=E.(7)A,bydefinitionhasatleasttwoelements;Ahowever,haveonlySinceeveryvectororigin,(i.e,exceptfornotationspacehavingonlyonevectorvectorwillbeby.11

外文翻译(8)Ifintheofallrealnumbers,asusualcationofrealnumberbyarationaldifinedusual,thenbecomesarvector(9)If,inthesetEofallnumbers,additionusualltiplicationaausual,Ebecomesa(Comparethiswith(1);arequitedifferent.)CommentsAareinonourritiesequallystrikingdifferences)he(A)describeadditiveofsystem,axioms(B)describemultiplicativetheaxioms)describetheconnectionbetweenthetwoThosefamiliarwithalgebraicterminologywillrecognizedaxioms(A)(in)asthedefiningconditionsofanabelian(commutative)group;axioms(B)and()(in§2expressfactthattheadmitsscalarsasninpassingthatifscalarsof(insteadofAfield),izedconceptAmodule.Specialrealvectorspaces(as

R

)arefamiliarinatstagetobeforuninterestinginsistencefieldsRin,thefieldeEof.Wehopethatreaderwullingtoitonfaiththathavetomakeuseofdeeppropertiesofcomplexlaterconjugation),inthapplicationsofspacesto)physicsemathematicalgeneralizationourtospacenumbersanrole.Theirdisadvantageisdifficultyofdrawingpictures;ordinary(Argand)of

fromthatofR

,arepresentationof

tooftheocchavetopictoralwethereforeuseyofRninof2forexampleaFinallycommentonnotationthatthesymbol0hasbeenin:asaonceasalater,whenIntroduceLineartransformations,giveitstillmeanings.theamongnssuchthisofwaningnoconfusionarisefromExercises1.Provethatif

ifscalarthenfollowi12

外文翻译nghold.(x(b(),

0(),0thatsymbolisusedof；ontheleftitonitdenotes）(e)if

x=0，then

orx=0（or）(f)x(g)+(-yx

(Herex-=+（-y）)2.ifPisthenvectorspaceover(cf.howPmanyinspace?3.letbesetofallorrealnumbers.Ify,)of,write2x+（12

x（

0=0,0）-x=-2Isspacewithrespectdefinitionsofthelinearwhy?4.Sometimesaofvectorapaceaspace(withcttothelinearalreadyConsider,forexample,spaceEVof3consistingofvectors(which（（b

,for12（c）

=0or

（d+（+2InwhichofisVaspace?5.thesubsetsofpconsistingofvectorsxfor（）has3,（b）2x0）x（1）,13

iiiiii外文翻译iiiiii（c）x）≥0whenever0≤t≤1,（d）=（1-t）forallt.InwhichofisVvectorspace?LinearNowthathavedescribedspacesworkspecifyamongelementofthosespacesthatwillbeinteresttous.Webeginwithwordstheiftoeachofofigavenax,ifitisnotnecessaryorniotspecifyofexactly,speakofset

i

of.(wethatthesametotwodistinctinallitshouldstatedisimportantnotwhichvectorsappear

i

,buthow)Ifisfinite,weshalldenoteofby

i

x

i

(or,,byaexplicitsymbolas

i

i

).InavoidntfussycaseitaIdeatoadmitIntotheorysumssuch

i

xeventherenoitosummed,moreprecisiely,evenwhen–consideration.(inofcourse,therearenovectors,or,morethe

i

also)Theofsuchan""isenough,tobethe0.Definition.Afinitevectorsislinearlyifexistsaorrespondingsetscalars,allzero,suchthataiIf,impliesthataforeachiliiiinearlyindependent.Thewordingdefinitiontotheoftheresultincase,passiblyparadoxical,dovetailsverywiththeoftheTheresultisthatoflinearlyindependentindeed,ifarenoindicesiitnotpickofthemandtotoselectedonesasotocertainnotinavoidingof;itisinfindinganindextowhichcanbeNotethatthisthatthenotlinearlydependent;readernotwitharguig14

i2外文翻译i2“vacuousimplication,”theequivalenceoftheoflinearindependencewithstraightforwardnegationofdefinitionoflinearneedsintuitiveeasiesttofeelaboutassertion“

i

axa=0fori”incasetherearenoindiiicesi,istorephraseitthisWay:”if

i

ai

i

,thenthereisnoindexiforwhicha≠0.”ThisversionisobviouslyifnoindexiatalliLineardependenceIndependencepropertiesofsetsofvectors;ithowever,toapplythetothusweshallsometimessay"asetoflinearlyvectorsinsteadof“aindependentsetofvectors.”itwillbealsotospeakthelinearandindependenceofanotfiniteset,,ofsayxlinearlyiffinitesubsetofxisotherwiseislinearlydependent.gaininsightintooflineardependenceletofvectorspacesthatalready(1)Ifxyanytwovectorsin1xyformlinearlyIfx==0,ifnot,weforexample,therelation+(-xySinceitisclearthateverysetcontainingaisitselflinearlythisthatinontainingthanonedependentset.

c(2)interestingisinthePvectors,yby(t)t)(1z(t)are,for+y-zHowever,infinitefvectors,,definedby01x()x()(),012linearlyset,forifhadanyofformx001nweshouldhave

ttn000n(3)mentioned,E

prototypeofwewantto;letusexamine,forexample,case=3.withhighergeometrythenotionlineardependenceinthisspace(,more15

iiii外文iiiierlyspeakinginrealR3hasconcretegeometricmeaning,weshallonlymention,Invectorsififoncollinearwiththe.(Ifthinksofavectorasainaspacepointingfromtheoriginpoint,precedingshouldbemodifiedbycrossingout“Withorigin"bothtimesthatit)WeshallIntroducenotionof(orvectorinvectorand,inthatconnection,wehalloccasionallyuselanguagesuggestedbygeometricalWeshallsay,wheneverxxthatisofiiwithoutanyallthesimplegrammaticalimplicofthisterminology.incasexlinearcombinationofxlinearlyonleavetoiirtheproofthatifxislinearlyindependent,sufficientlinearofthattheenlargedset,inedbyxNotethat,inaccordanceiwiththedefinitionofanoriginlinearofemptysetofitis,mareover,thewiththisThefollowingtheoremisfundamentallineare.setofnon-zeroxxislinearlydependentifandonlyifxn,linearoftheprecedingkussupposethatthex,linearlyan1ndletkbefirstintegerbetween2nforwhich,,rly(Ifworsecomestoworst,ourusthatknwilldo.)11kkforasuitablesetofa’s(notallzero);moreover,whateverthea’s,wecannothavea0,forwehavealinear