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第三章解线性代数方程组的直接法工程计算和科学研究中的许多问题,最终归结为对线性代数方程组的求解.给定一n元线性代数方程组写成矩阵形式：Ax=

b

(3.2)

（3.1)其中当系数矩阵行列式A|0

时，方程组（1）有惟一解：x=A-1b求解线性代数方程组的数值方法分为两类：直接法和迭代法。

直接法：从系数矩阵A和右端项b出发，在不考虑舍入误差的情况下，经过有限次的代数计算即可获得方程组得精确解。直接法通常也称为精确法。

迭代法：先将方程组改写成一种迭代格式，然后再给定一个初始的近似解向量，经过迭代产生逼近方程组精确解得近似解序列。收敛性是成其为迭代法的前提。本章介绍解线性代数方程组的直接法主要内容1

.

高斯消去法

2

.矩阵的直接三角分解法3.线性方程组的性态三角方程组及其解法称形如的方程组为上三角方程组。若系数行列式不为零，即，则方程组的解上述求解过程成为回代过程。类似方法可用于求解如下下三角方程组3.1

高斯(Gauss)消元法思想通过对增广矩阵进行初等行变换逐步消去未知元，将方程组化为同解的三角方程组。一、顺序高斯消去法给定线性代数方程组顺序高斯消去法分为消元过程和回代过程两步。消元过程：将方程组Ax=b化为上三角形方程组回代过程：求解上三角形方程组设求解方程组，其中(1)第一步消元。若，记1、消元过程将第一行乘以，加到第行上去，得其中于是得到如下与原方程组等价的方程组(2)第二步消元。若，对增广矩阵进行类似行初等变换得下述方程组其中于是得到如下与原方程组等价的方程组(3)第k步消元。设第k-1次消元已经完成，若增广矩阵若，对做类似的初等变换的等价方程组,其中其中(4)当时，经过n-1次消元得到与原方程等价的上三角方程组：

2、回代过程回代求解等价方程组forforfor高斯消去法的消元过程回代过程forforfor高斯消去法的消元过程回代过程例5：用顺序高斯消元法求解下列方程组解：对增广矩阵进行行初等变换高斯消元法的工作量消元过程：回代过程：加减法的次数乘除法的次数高斯消元法的实现条件全不为零的顺序主子式都不等于零，即证明：归纳法证明(略)小主元可能导致计算失败例6：在8位制计算机上解方程组要求用高斯消去法计算。8个解：二、选主元素的高斯消元法思想每次消元之前，在剩余元素中选择绝对值最大的非零元素作为主元，然后经过换行换到主元位置列主元消去法Stepk：第k步首先选择主元寻求满足然后交换矩阵的第行和行，再进行消元过程

算法:

Gauss列主元消去算法求方程组Ax=b

的解.输入:增广矩阵An(n+1)=（A|b）.输出:

近似解xk=ak,n+1(k=1,2,…,n)

或失败信息.消元过程fork=1,2,…,n-1doStep1-Step4

Step1

寻找行号ik

,使得Step2

如果，则交换第k行和ik行；

否则转Step7

算法:

Gauss列主元消去算法（续）Step3fori=k+1,…,n

计算

Step4forj=k+1,…,n+1

计算

回代过程Step5Step6fori=n-1,…,1

计算

Step7Outpu

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