变换的定义与收敛域

变换的定义与收敛域第一页，共九十八页，2022年，8月28日§2-1Z变换的定义及收敛域返回§2一.Z变换定义二.收敛域三.常用序列的收敛域四：求收敛域举例第二页，共九十八页，2022年，8月28日一.Z变换定义：序列的Z变换定义如下：*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。引言：离散时间信号与系统变换域分析法：

A）Z变换，DFT(FFT)。

Z变换可将差分方程转化为代数方程B)Z变换的应用范围更广返回§2.11PK1棋牌公社官网

编辑整理第三页，共九十八页，2022年，8月28日二.收敛域1.定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。返回§2.1第四页，共九十八页，2022年，8月28日三.常用序列的收敛域(1).预备知识阿贝尔定理:

如果级数，在收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收敛。|z+|为最大收敛半径。返回§2.1第五页，共九十八页，2022年，8月28日同样,对于级数，满足的z，

级数必绝对收敛。|z_|为最小收敛半径。返回§2.1第六页，共九十八页，2022年，8月28日0n2n1n(n)...(2).有限长序列返回§2.1第七页，共九十八页，2022年，8月28日返回§2.1第八页，共九十八页，2022年，8月28日x(n)n0n1..1...3.右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,返回§2.1第九页，共九十八页，2022年，8月28日收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为

Rx-<|z|≤∞;两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞;

Rx-为最小收敛半径。返回§2.1第十页，共九十八页，2022年，8月28日(4)因果序列它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为：返回§2.1第十一页，共九十八页，2022年，8月28日(5)左边序列x(n)0n

n2返回§2.1第十二页，共九十八页，2022年，8月28日

第二项为有限长序列,其收敛域;

第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为;为最大收敛半径.返回§2.1第十三页，共九十八页，2022年，8月28日

双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。

(6)双边序列0nx返回§2.1第十四页，共九十八页，2022年，8月28日第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：当Rx-<Rx+时，其收敛域为返回§2.1第十五页，共九十八页，2022年，8月28日其收敛域应包括即 充满整个Z平面。[例2-1]求序列

的Z变换及收敛域。解：这相当 时的有限长序列，返回§2.1四：求收敛域举例第十六页，共九十八页，2022年，8月28日当 时，这是无穷递缩等比级数。[例2-2]求序列

的Z变换及收敛域。

解：返回§2.1第十七页，共九十八页，2022年，8月28日*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。收敛域：返回§2.1第十八页，共九十八页，2022年，8月28日[例2-3]求序列 变换及收敛域。同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。收敛域：*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。返回§2.1本节结束第十九页，共九十八页，2022年，8月28日 §2-2Z反变换一.定义二.求Z反变换的方法1.留数法2.部分分式法3.幂级数展开法(长除法)返回§2第二十页，共九十八页，2022年，8月28日

一.定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。返回§2.2第二十一页，共九十八页，2022年，8月28日C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c返回§2.2二.求Z反变换的方法---1.留数法教材P50页有对Z反变换的推导第二十二页，共九十八页，2022年，8月28日<1

>.留数定理： 为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点，Res[]表示极点处的留数。返回§2.2第二十三页，共九十八页，2022年，8月28日2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：<2>留数的求法：1、当Zr为一阶极点时的留数：返回§2.2第二十四页，共九十八页，2022年，8月28日[例2-4]已知解:1）当n≥-1时, 不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点 因此，求z反变换。返回§2.2第二十五页，共九十八页，2022年，8月28日2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。因此C内有极点：z=1/4(一阶),z=0为(n+1)

阶极点；而在C外仅有z=4(一阶)这个极点，且分母比分子的Z的阶数至少高2:返回§2.2第二十六页，共九十八页，2022年，8月28日2.部分分式法

有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有或

的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。返回§2.2第二十七页，共九十八页，2022年，8月28日

通常，X(z)可

表成有理分式形式：

因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：

返回§2.2第二十八页，共九十八页，2022年，8月28日的z反变换。[例2-5]利用部分分式法，求解：分别求出各部分分式的z反变换（可查P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反变换。返回§2.2第二十九页，共九十八页，2022年，8月28日返回§2.2第三十页，共九十八页，2022年，8月28日3.幂级数展开法(长除法)

因为x(n)的Z变换为Z-1

的幂级数，即

所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|>Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若收敛域|Z|<Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成

Z的正幂级数。返回§2.2第三十一页，共九十八页，2022年，8月28日[例2-6]试用长除法求

的z反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应左边序列(双边序列)*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。返回§2.2第三十二页，共九十八页，2022年，8月28日返回§2.2第三十三页，共九十八页，2022年，8月28日返回§2.2第三十四页，共九十八页，2022年，8月28日

4-Z)

4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z

2233314141444411655116...返回§2.2第三十五页，共九十八页，2022年，8月28日

Z-—)Z141+—Z+—Z+—Z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—Z116-1—Z116-1—Z116-1-—Z164-2—Z164-2—Z164-2-——Z1256-3——Z1256-3...返回§2.2第三十六页，共九十八页，2022年，8月28日返回§2.2本节结束第三十七页，共九十八页，2022年，8月28日§2-3Z变换的基本性质和定理共有线性、移位、Z域尺度、Z域求导等12条性质返回§2第三十八页，共九十八页，2022年，8月28日如果 则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性返回§2.3第三十九页，共九十八页，2022年，8月28日[例2-7]已知,求其z变换。解：返回§2.3第四十页，共九十八页，2022年，8月28日2.序列的移位如果 则有：[例2-8]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。返回§2.3第四十一页，共九十八页，2022年，8月28日3.Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：返回§2.3第四十二页，共九十八页，2022年，8月28日4.序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证明：返回§2.3第四十三页，共九十八页，2022年，8月28日5.共轭序列如果，则证明：返回§2.3第四十四页，共九十八页，2022年，8月28日6.翻褶序列如果，则证明：返回§2.3第四十五页，共九十八页，2022年，8月28日7.初值定理证明：返回§2.3第四十六页，共九十八页，2022年，8月28日8.终值定理证明：返回§2.3第四十七页，共九十八页，2022年，8月28日又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。返回§2.3第四十八页，共九十八页，2022年，8月28日9.有限项累加特性证明：返回§2.3第四十九页，共九十八页，2022年，8月28日返回§2.3第五十页，共九十八页，2022年，8月28日10.序列的卷积和(时域卷积定理)

返回§2.3第五十一页，共九十八页，2022年，8月28日证明：返回§2.3第五十二页，共九十八页，2022年，8月28日[例2-9]解：返回§2.3第五十三页，共九十八页，2022年，8月28日11.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）返回§2.3第五十四页，共九十八页，2022年，8月28日[例2-10]解：返回§2.3第五十五页，共九十八页，2022年，8月28日返回§2.3第五十六页，共九十八页，2022年，8月28日

12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）如果则有:返回§2.3第五十七页，共九十八页，2022年，8月28日*几点说明：本节结束返回§2.3第五十八页，共九十八页，2022年，8月28日§2-4序列的Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系

一.Z变换与拉氏变换的关系二.Z变换和傅氏变换的关系三.序列的傅氏变换返回§2第五十九页，共九十八页，2022年，8月28日1.理想抽样信号的拉氏变换设为连续信号，为其理想抽样信号，则一.Z变换与拉氏变换的关系返回§2.4！！复习回顾：连续信号的FT与LT关系Go！第六十页，共九十八页，2022年，8月28日序列的z变换为，考虑到,显然，当时，序列的z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。返回§2.4又因与原连续信号的拉氏有如下关系则与的关系为：解释第六十一页，共九十八页，2022年，8月28日2.Z变换与拉氏变换的关系(S、Z平面映射关系）

S平面用直角坐标表示为：

Z平面用极坐标表示为：又由于所以有：因此， ;这就是说，Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部Ω相对应。返回§2.4第六十二页，共九十八页，2022年，8月28日

=0,即S平面的虚轴

r=1,即Z平面单位圆；

σ→σσ<0,即S的左半平面r<1,即Z的单位圆内；→>0,即S的右半平面r>1,即Z的单位圆外。→j→00(1).r与σ的关系返回§2.4第六十三页，共九十八页，2022年，8月28日Ω=0，S平面的实轴， ω=0，Z平面正实轴；

Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线，ω=Ω0T,Z:始于

原点的射线；

Ω S:宽 的水平条带，ω整个z平面.(2).ω与Ω的关系（ω=ΩT）返回§2.40jIm[Z]Re[Z]ω第六十四页，共九十八页，2022年，8月28日二.Z变换和傅氏变换的关系

连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即

我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ

的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,

这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等于理想抽样信号傅氏变换。

用数字频率ω作为Z平面的单位圆的参数，

ω表示Z平面的辐角，且。返回§2.4第六十五页，共九十八页，2022年，8月28日所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。返回§2.4第六十六页，共九十八页，2022年，8月28日三.序列的傅氏变换1.正变换:2.反变换:返回§2.4本节结束第六十七页，共九十八页，2022年，8月28日§2-5傅氏变换的一些对称性质一、共轭对称序列与共轭反对称序列1.共轭对称序列设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。设序列其中分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则再将-n代入，则根据定义，则这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。返回§2第六十八页，共九十八页，2022年，8月28日2.共轭反对称序列设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n)则称序列为共轭反对称序列。同样有：根据定义，则这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。*特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。返回§2.5第六十九页，共九十八页，2022年，8月28日二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和返回§2.5第七十页，共九十八页，2022年，8月28日返回§2.5第七十一页，共九十八页，2022年，8月28日三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和其中，返回§2.5第七十二页，共九十八页，2022年，8月28日四、两个基本性质证明：返回§2.5第七十三页，共九十八页，2022年，8月28日证明：返回§2.5第七十四页，共九十八页，2022年，8月28日五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部证明：返回§2.5第七十五页，共九十八页，2022年，8月28日2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部证明：返回§2.5第七十六页，共九十八页，2022年，8月28日六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、虚部的关系1.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部证明：返回§2.5第七十七页，共九十八页，2022年，8月28日2.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以j。证明：返回§2.5第七十八页，共九十八页，2022年，8月28日七、序列为实序列的情况返回§2.5第七十九页，共九十八页，2022年，8月28日返回§2.5第八十页，共九十八页，2022年，8月28日返回§2.5第八十一页，共九十八页，2022年，8月28日8.实序列也有如下性质：返回§2.5本节结束第八十二页，共九十八页，2022年，8月28日§2-6离散系统的系统函数

及频率响应一.系统函数二.因果稳定系统三.系统函数和差分方程的关系四.系统的频率响应的意义

五.频率响应的几何确定六.IIR系统和FIR系统返回§2第八十三页，共九十八页，2022年，8月28日线性移不变系统h(n)为单位抽样响应h(n)x(n)(n)

H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且

在单位圆 上的系统函数就是系统的频率

响应。一.系统函数:返回§2.6第八十四页，共九十八页，2022年，8月28日 我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：∑|h(n)|<∞。

z变换H(z)的收敛域由满足∑|h(n)z-n|<∞的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有∑|h(n)|<∞，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。 因果系统的单位抽样响应为因果序列，

其收敛域为R+<|z|≤∞；而因果稳定系统的系统函数收敛域为1≤|z|≤∞，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。与充要条件∑|h(n)|<∞是等价的二.因果稳定系统返回§2.6第八十五页，共九十八页，2022年，8月28日三.系统函数和差分方程的关系

线性移不变系统常用差分方程表示：取z变换得：对上式因式分解,令得：返回§2.6第八十六页，共九十八页，2022年，8月28日四.系统的频率响应的意义

考察系统对不同频谱成分的传输能力：均匀传送或衰减

系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位上的变换称作系统频率响应。也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。对于线性移不变系统：返回§2.6第八十七页，共九十八页，2022年，8月28日

五.频率响应的几何确定1.频率响应的零极点表达式返回§2.6第八十八页，共九十八页，2022年，8月28日模：相角：返回§2.6第八十九页，共九十八页，2022年，8月28日2.几点说明(1).

表示原点处零极点，它到单位圆的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只是给出线性相移分量ω(N-