2020-2021人教版数学2-1配套课时作业22 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年人教A版数学选修2-1配套课时作业223.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示含解析课时作业22空间向量的正交分解及其坐标表示时间:45分钟-—基础巩固类-—一、选择题1．以下四个命题中正确的是（B)A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若｛a，b，c}为空间向量的一组基底，则a,b，c全不是零向量C．△ABC为直角三角形的充要条件是eq\o(AB,\s\up12（→）)·eq\o(AC，\s\up12(→))＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底解析：使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，所以A不正确；△ABC为直角三角形并不一定有eq\o（AB，\s\up12（→))·eq\o(AC,\s\up12(→)）＝0，可能是eq\o（BA，\s\up12（→））·eq\o（BC，\s\up12（→））＝0，也可能是eq\o(CA,\s\up12（→))·eq\o(CB,\s\up12(→)）＝0，故C不正确;空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确．2．已知i,j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且eq\o(AB，\s\up12（→）)＝－i＋j－k,则B点的坐标为(D)A．(－1,1，－1) B．(－i,j，－k）C．(1，－1，－1） D．不确定解析：eq\o（AB，\s\up12(→）)＝－i＋j－k，只能确定eq\o（AB,\s\up12（→)）的坐标为（－1，1，－1),而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定．故选D。3．正方体ABCD.A′B′C′D′，O1,O2,O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以｛eq\o（AO1,\s\up12（→）)，eq\o(AO2，\s\up12（→)），eq\o(AO3,\s\up12(→))}为基底，eq\o（AC′,\s\up12（→)）＝xeq\o（AO1，\s\up12（→）)＋yeq\o（AO2,\s\up12(→)）＋zeq\o（AO3,\s\up12（→))，则x，y，z的值是(A）A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝eq\f(1，2）C．x＝y＝z＝eq\f(\r(2)，2） D．x＝y＝z＝2解析:eq\o（AC′，\s\up12（→））＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC′，\s\up12（→）)＝eq\o（AB，\s\up12(→））＋eq\o（BB′，\s\up12（→))＋eq\o（BC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12（→）)＋eq\o（AA′,\s\up12(→))＋eq\o(AD，\s\up12（→））＝eq\f(1，2)（eq\o（AB，\s\up12（→））＋eq\o（AD,\s\up12（→)))＋eq\f（1,2）（eq\o(AB,\s\up12（→)）＋eq\o(AA′,\s\up12（→））)＋eq\f（1，2)(eq\o(AA′，\s\up12(→））＋eq\o（AD，\s\up12（→)））＝eq\f(1，2）eq\o(AC，\s\up12(→）)＋eq\f(1,2）eq\o（AB′,\s\up12（→)）＋eq\f（1，2）eq\o（AD′，\s\up12（→））＝eq\o（AO1,\s\up12(→）)＋eq\o(AO2,\s\up12（→)）＋eq\o(AO3,\s\up12（→））,对比eq\o（AC′，\s\up12（→)）＝xeq\o（AO1,\s\up12（→））＋yeq\o（AO2，\s\up12（→））＋zeq\o(AO3,\s\up12（→))得x＝y＝z＝1.4．若｛e1,e2，e3}是空间的一个基底,又a＝e1＋e2＋e3,b＝e1＋e2－e3,c＝e1－e2＋e3,d＝e1＋2e2＋3e3，d＝xa＋yb＋zc，则x，y,z分别为（A)A。eq\f(5,2)，－1，－eq\f(1,2) B。eq\f(5,2)，1，eq\f（1,2)C．－eq\f（5,2)，1，－eq\f（1，2) D.eq\f(5,2）,1，－eq\f（1,2)解析:xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3）＋z（e1－e2＋e3）＝（x＋y＋z）e1＋（x＋y－z)e2＋（x－y＋z）e3＝e1＋2e2＋3e3，由空间向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝1，，x＋y－z＝2,，x－y＋z＝3，）)∴x＝eq\f(5,2），y＝－1，z＝－eq\f(1，2)。5．点M（－1,3,－4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的射影的坐标分别是(A)A．(－1，3，0)、(－1，0,－4)、（0，3，－4）B．（0，3，－4）、（－1,0，－4)、(0，3，－4)C．（－1,3，0)、（－1,3，－4）、(0,3，－4)D．(0，0,0)、（－1，0,0）、(0，3,0)6．若向量eq\o（MA，\s\up12（→)）、eq\o（MB,\s\up12(→)）、eq\o（MC,\s\up12（→））的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量eq\o(MA,\s\up12(→）)、eq\o(MB，\s\up12(→))、eq\o(MC,\s\up12（→））成为空间一组基底的关系是(C)A.eq\o（OM，\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o（OA，\s\up12(→）)＋eq\f(1，3）eq\o(OB,\s\up12（→))＋eq\f(1，3）eq\o(OC，\s\up12（→））B。eq\o(MA，\s\up12(→))≠eq\o(MB，\s\up12(→)）＋eq\o（MC,\s\up12（→）)C.eq\o（OM，\s\up12（→)）＝eq\o（OA，\s\up12（→））＋eq\o（OB，\s\up12(→)）＋eq\o（OC,\s\up12(→))D。eq\o（MA,\s\up12(→))＝2eq\o(MB，\s\up12(→））－eq\o(MC，\s\up12（→))解析：A中M、A、B、C共面，因eq\f(1,3)＋eq\f(1,3）＋eq\f（1,3）＝1;B中可能共面，eq\o（MA，\s\up12（→）)≠eq\o(MB,\s\up12（→））＋eq\o(MC，\s\up12（→））,但可能eq\o（MA，\s\up12（→）)＝λeq\o（MB，\s\up12（→）)＋μeq\o(MC，\s\up12（→））；D不对，∵eq\o(MA,\s\up12（→）)＝2eq\o（MB,\s\up12(→）)－eq\o(MC,\s\up12(→）)，∴四点共面，故选C.7．已知点A在基底｛a，b，c｝下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k,c＝k＋i，则点A在基底{i,j，k}下的坐标是(A）A．（12，14，10）B．（10,12,14）C．(14,12,10）D．(4，3,2)解析：eq\o(OA,\s\up12（→））＝8a＋6b＋4c＝8（i＋j）＋6（j＋k）＋4（k＋i)＝12i＋14j＋10k.8．已知正方体OABC。O′A′B′C′的棱长为1，若以eq\o(OA,\s\up12（→）),eq\o(OC,\s\up12（→)），eq\o（OO′，\s\up12(→)）为基底，则向量eq\o(OB′,\s\up12(→））的坐标是(A)A．(1,1，1) B．（1，0，1）C．（－1，－1，－1） D．(－1,0,1）解析:由向量的线性运算知eq\o（OB′,\s\up12(→））＝eq\o(OA，\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→)）＋eq\o(OO′，\s\up12(→）），所以eq\o(OB1,\s\up12（→）)的坐标是（1,1，1)．二、填空题9．设a，b，c是三个不共面向量,现从①a－b,②a＋b－c中选出一个使其与a,b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为②（填写代号)．解析:①∵a－b与a，b共面,∴a－b与a，b不能构成空间的一个基底．②∵a＋b－c与a，b不共面，∴a＋b－c与a，b构成空间的一个基底．10．{a，b,c}为空间的一个基底,且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x＝0，y＝0，z＝0.解析：若x,y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－eq\f（y,x）b－eq\f（z,x）c，∴a，b，c共面．这与｛a,b，c｝是基底矛盾，故x＝y＝z＝0。11．已知四面体ABCD中，eq\o（AB,\s\up12(→)）＝a－2c,eq\o（CD，\s\up12（→))＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则eq\o（EF，\s\up12（→)）＝3a＋3b－5c。解析：如图所示，取BC的中点G,连接EG，FG，则eq\o(EF，\s\up12(→)）＝eq\o(GF,\s\up12（→）)－eq\o(GE，\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o（CD，\s\up12(→）)－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up12（→)）＝eq\f(1,2）eq\o(CD,\s\up12(→)）＋eq\f(1,2)eq\o（AB,\s\up12（→）)＝eq\f(1，2）(5a＋6b－8c)＋eq\f(1，2)(a－2c)＝3a＋3b－5c.三、解答题12．如下图所示，M,N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点,P,Q是MN的三等分点，用向量eq\o（OA,\s\up12(→)）,eq\o（OB,\s\up12（→）），eq\o（OC，\s\up12(→)）表示eq\o（OP，\s\up12(→）)和eq\o（OQ,\s\up12（→)）。解：eq\o(OP，\s\up12（→））＝eq\o(OM,\s\up12(→))＋eq\o(MP,\s\up12(→））＝eq\f(1,2）eq\o（OA,\s\up12（→）)＋eq\f（2，3）eq\o（MN，\s\up12(→））＝eq\f(1，2)eq\o(OA,\s\up12(→）)＋eq\f（2，3）(eq\o(ON，\s\up12（→））－eq\o（OM，\s\up12（→）))＝eq\f(1,2）eq\o（OA，\s\up12（→)）＋eq\f（2,3）(eq\o（ON，\s\up12(→)）－eq\f(1，2）eq\o(OA，\s\up12（→）)）＝eq\f（1,6）eq\o(OA,\s\up12（→)）＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2）(eq\o（OB,\s\up12（→）)＋eq\o(OC，\s\up12（→)))＝eq\f(1,6)eq\o（OA，\s\up12(→)）＋eq\f(1,3）eq\o(OB，\s\up12（→))＋eq\f(1,3）eq\o(OC，\s\up12（→))；eq\o(OQ,\s\up12（→）)＝eq\o(OM,\s\up12(→）)＋eq\o(MQ,\s\up12(→）)＝eq\f(1，2）eq\o(OA，\s\up12(→))＋eq\f(1，3)eq\o(MN,\s\up12(→））＝eq\f（1，2）eq\o(OA,\s\up12（→））＋eq\f（1,3）(eq\o(ON,\s\up12(→）)－eq\o（OM，\s\up12(→）))＝eq\f（1，2）eq\o(OA，\s\up12(→））＋eq\f（1,3）（eq\o(ON，\s\up12（→))－eq\f（1,2）eq\o（OA,\s\up12（→)))＝eq\f（1，3）eq\o(OA，\s\up12(→））＋eq\f（1,3)×eq\f（1,2）（eq\o（OB,\s\up12（→))＋eq\o(OC,\s\up12(→））)＝eq\f(1，3)eq\o（OA，\s\up12（→））＋eq\f(1,6）eq\o(OB，\s\up12（→))＋eq\f(1,6)eq\o（OC,\s\up12（→))。13．如下图所示，在正四棱柱ABCD。A1B1C1D1中,O，O1分别为底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4,M为B1B的中点，N在C1C上，且C1NNC＝13.(1）若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．（2)若以D为原点，分别以DA,DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．解:(1)正方形ABCD中，AB＝6,∴AC＝BD＝6eq\r（2)，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3eq\r（2)，∴各点坐标分别为A（3eq\r(2)，0,0)，B(0,3eq\r（2），0），C(－3eq\r（2），0,0）,D（0，－3eq\r（2），0)，O（0，0,0），O1(0，0，4），A1（3eq\r（2），0，4)，B1（0,3eq\r（2)，4)，C1(－3eq\r（2)，0,4），D1（0，－3eq\r（2）,4)，M(0,3eq\r(2)，2)，N(－3eq\r（2），0,3）．（2)同理，A(6,0,0)，B(6,6,0），C（0,6,0)，D（0，0，0)，A1(6，0,4)，B1（6,6,4)，C1（0,6,4),D1（0，0，4），O(3，3，0），O1(3,3,4），M（6,6，2），N（0,6,3）．——能力提升类——14．如图所示,在四棱锥O­ABCD中,点M是OA的中点，以{eq\o(OA，\s\up12（→))，eq\o(OC,\s\up12（→））,eq\o(OD，\s\up12(→）)}为基底的向量eq\o(DM，\s\up12（→)）＝xeq\o(OA,\s\up12(→)）＋yeq\o(OC,\s\up12（→）)＋zeq\o（OD，\s\up12(→))，则（x，y，z)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，0，－1)).解析：∵eq\o（DM,\s\up12（→)）＝eq\o（DO，\s\up12(→)）＋eq\o（OM，\s\up12（→））＝－eq\o(OD,\s\up12(→）)＋eq\f（1，2）eq\o(OA，\s\up12（→）），又eq\o(DM，\s\up12(→）)＝xeq\o（OA，\s\up12(→）)＋yeq\o(OC，\s\up12(→)）＋zeq\o(OD，\s\up12（→）），∴x＝eq\f（1，2）,y＝0，z＝－1。15．已知{e1，e2，e3｝为空间的一个基底，且eq\o(OP，\s\up12(→)）＝2e1－e2＋3e3，eq\o(OA，\s\up12（→))＝e1＋2e2－e3，eq\o（OB，\s\up12（→)）＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o（OC,\s\up12（→）)＝e1＋e2－e3.(1)判断P、A、B、C四点是否共面;(2)能否以｛eq\o（OA，\s\up12(→)）,eq\o(OB,\s\up12(→)），eq\o（OC，\s\up12（→)）｝作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量eq\o(OP，\s\up12（→)).解：(1)假设四点共面,则存在实数x、y、z使eq\o(OP，\s\up12(→）)＝xeq\o（OA,\s\up12(→）)＋yeq\o（OB,\s\up12（→））＋zeq\o（OC,\s\up12(→)），且x＋y＋z＝1，即2e1－e2＋3e3＝x（e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3）＋z(e1＋e