第一章1.2.1空间中的点、直线与空间向量

§空间向量在立体几何中的应用空间中的点、直线与空间向量学习目标1.理解空间中直线的方向向量的意义及求法.2.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角的关系，会求空间两条直线所成的角.3.了解空间中两条异面直线的公垂线．知识点一用向量表示点的位置一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量eq\o(OP,\s\up6(→))唯一确定．此时，eq\o(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量．知识点二直线的方向向量定义：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l.(1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝eq\o(AB,\s\up6(→))就是直线l的一个方向向量．(2)若v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行．(3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定．(4)v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合．知识点三空间中两条直线所成的角v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ.如图，则①θ的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).②θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉．③sinθ＝sin〈v1，v2〉或cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.④l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝eq\f(π,2)⇔v1·v2＝0.知识点四异面直线与空间向量1．异面直线的判定如图(1)(2)所示，如果A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，可知v1，v2，eq\o(AB,\s\up6(→))是不共面的；反之，如果v1，v2，eq\o(AB,\s\up6(→))不共面，则l1与l2是异面的．也就是说，此时“v1，v2，eq\o(AB,\s\up6(→))不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．2．异面直线间的距离一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．1．直线l的方向向量是唯一的．(×)2．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√)3．不相交的直线就是异面直线．(×)4．任意两条异面直线的公垂线段都只有一个．(√)一、直线的方向向量例1(1)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是()\o(AA1,\s\up6(→)) \o(C1E,\s\up6(→))\o(AB,\s\up6(→)) \o(A1A,\s\up6(→))答案ABD解析由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量．(2)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)答案A解析由题意，可得直线l的一个方向向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4,6)，又eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2,3)，所以向量(1,2,3)是直线l的一个方向向量．反思感悟对直线方向向量的两点说明(1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量eq\o(PQ,\s\up6(→)).(2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．跟踪训练1已知直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)，则y＝________，z＝________.答案－eq\f(3,2)eq\f(3,2)解析∵直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－2－y，z－3)＝λ(2,1,3)，∴λ＝－eq\f(1,2)，－2－y＝λ，z－3＝3λ，解得y＝－eq\f(3,2)，z＝eq\f(3,2).二、用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题例2(1)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则()A．l1∥l2 B．l1⊥l2C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定答案B解析∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点．证明：①BF∥D1E；②BE不与D1M平行；③BE⊥C1M.证明如图，以A为原点，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系．则B(1,0,0)，D1(0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，C1(1,1,1)．①∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，eq\o(D1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，－\f(1,2)))，∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\o(D1E,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))∥eq\o(D1E,\s\up6(→))，∴BF∥D1E.②eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq\o(D1M,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1))，∵eq\f(－1,\f(1,2))≠eq\f(\f(1,2),－1)，∴eq\o(BE,\s\up6(→))不与eq\o(D1M,\s\up6(→))平行，∴直线BE不与直线D1M平行．③eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))，eq\o(C1M,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，－1)).∴eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(C1M,\s\up6(→))＝(－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋0×0＋eq\f(1,2)×(－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，∴eq\o(BE,\s\up6(→))⊥eq\o(C1M,\s\up6(→))，∴BE⊥C1M.反思感悟判定直线平行、垂直的向量法v1，v2分别为l1与l2的一个方向向量．(1)v1∥v2⇔l1∥l2.(2)v1与v2不平行⇔l1与l2不平行．(3)v1·v2＝0⇔v1⊥v2⇔l1⊥l2.(4)v1·v2≠0⇔v1与v2不垂直⇔l1与l2不垂直．跟踪训练2(1)已知直线l1的方向向量a＝(－1,2，m)，直线l2的方向向量b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是()A．－6B．6C．14D．－14答案A解析∵l1∥l2，∴a∥b，则eq\f(－1,2)＝eq\f(2,n)＝eq\f(m,－12)，解得n＝－4，m＝6，∴m＋3n＝6－12＝－6.(2)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有()A．B1E＝EB B．B1E＝2EBC．B1E＝eq\f(1,2)EB D．E与B重合答案A解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，设E(2,2，t)．则eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(0,1，－2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2,2，t)．由D1F⊥DE，得(0,1，－2)·(2,2，t)＝0，即2－2t＝0.所以t＝1，即E为BB1的中点．三、空间中两条直线所成的角例3已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．解设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，直线MN与AC所成的角为θ，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)(b＋c－a)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c－a，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(b＋c－a)2＝eq\f(1,4)(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2b·c－2a·b－2a·c)＝eq\f(1,4)(42＋52＋32＋15－20－0)＝eq\f(45,4)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝(c－a)2＝|a|2＋|c|2－2a·c＝42＋32－02＝25，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c－a)·(c－a)＝eq\f(1,2)(b·c＋|c|2－a·b－2a·c＋|a|2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)＋9－10－0＋16))＝eq\f(45,4).cosθ＝|cos〈eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(MN,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(MN,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(45,4),\r(\f(45,4))×5)＝eq\f(3\r(5),10).所以直线MN与AC所成角的余弦值为eq\f(3\r(5),10).反思感悟(1)向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0.(2)求空间直线所成角的三种方法①几何法：把空间中的两条直线平移到一个公共点，再通过解三角形求角．②基底法：确定一个基底，用基底表示两直线的方向向量．③坐标法：建立空间直角坐标系，用坐标表示两直线的方向向量．跟踪训练3长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是侧面A1B1C1D1与侧面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．解如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，∴E(1,2,2)，F(1,4,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－1,4,1)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－1，－2,2)，∴|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\r(18)＝3eq\r(2)，|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝eq\r(9)＝3，eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1－8＋2＝－5，∴cos〈eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))〉＝eq\f(－5,3\r(2)×3)＝－eq\f(5\r(2),18).∵异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，设AF与BE所成角为θ，则cosθ＝|cos〈eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))〉|＝eq\f(5\r(2),18).即异面直线AF与BE所成角的余弦值为eq\f(5\r(2),18).两异面直线的公垂线典例在正三棱柱ABC－A1B1C1中，棱长都为2，试找出异面直线BA1与CB1的公垂线，并求两条异面直线的距离．解如图，以AC中点O为原点，以OA，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系Oxyz.A(1,0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，C(－1,0,0)A1(1,0,2)，B1(0，eq\r(3)，2)，C1(－1,0,2)．假设MN为BA1与CB1的公垂线，即∃M∈BA1，N∈CB1，使MN⊥BA1，MN⊥CB1，令eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝veq\o(CB1,\s\up6(→))，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(1，－eq\r(3)，2)，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，2)．设M(x1，y1，z1)，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝(x1，y1－eq\r(3)，z1)，∴(x1，y1－eq\r(3)，z1)＝λ(1，－eq\r(3)，2)，∴x1＝λ，y1＝－eq\r(3)λ＋eq\r(3)，z1＝2λ，即点M(λ，－eq\r(3)λ＋eq\r(3)，2λ)，同理可求得点N(v－1，eq\r(3)v,2v)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(v－λ－1，eq\r(3)v＋eq\r(3)λ－eq\r(3)，2v－2λ)．又MN⊥BA1，MN⊥CB1，∴eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(CB1,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v－λ－1－\r(3)\r(3)v＋\r(3)λ－\r(3)＋22v－2λ＝0，,v－λ－1＋\r(3)\r(3)v＋\r(3)λ－\r(3)＋22v－2λ＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v＝\f(3,5)，,λ＝\f(2,5).))∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，0，\f(2,5)))，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2)＝eq\f(2\r(5),5).故在BA1与CB1上存在点M，N，当BM＝eq\f(2,5)BA1，CN＝eq\f(3,5)CB1时，MN为BA1与CB1的公垂线且两条异面直线BA1与CB1之间的距离为eq\f(2\r(5),5).[素养提升]两条异面直线的公垂线有且仅有一条．即一条直线与两异面直线都相交且垂直，利用几何知识很难找到．利用空间直角坐标系，转化成方向向量之间的关系较为简单．求解时要注意先要建系，再设出M，N的坐标，利用MN与异面直线都垂直，即能找到M，N，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养．1．下面各组向量为直线l1与l2的方向向量，则l1与l2一定不平行的是()A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)C．a＝(2,3,0)，b＝(4,6,0)D．a＝(－2,3,5)，b＝(－4,6,8)答案D解析l1与l2不平行，则其方向向量一定不共线，A中b＝－2a，B中b＝－3a，C中b＝2a.2．已知a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)分别为直线l1，l2，l3的方向向量，则()A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直D．l1，l2，l3两两互相垂直答案A解析因为a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c，即l1⊥l2，l2⊥l3，但l1与l3不垂直．3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是()\f(π,6) \f(π,4)\f(π,3) \f(π,2)答案D解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，则eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，－1))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，cos〈eq\o(A1M,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(A1M,\s\up6(→))·\o(DN,\s\up6(→)),|\o(A1M,\s\up6(→))||\o(DN,\s\up6(→))|)＝0.∴〈eq\o(A1M,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,2).4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面垂直 D．异面不垂直答案C解析建立坐标系，如图所示，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，eq\o(NO,\s\up6(→))＝(－1,0，－2)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，eq\o(NO,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．5．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1))解析设M(x，y，z)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x－1，y－2，z＋3)，由点M在直线AB上得eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AM,\s\up6(→))共线，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即x＝－λ，y＝λ，z－1＝0，又CM⊥AB，向量eq\o(CM,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))的数量积为0，即eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，得－(x－1)＋(y－2)＝0，联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＋y－2＝0，,x＝－y，,z－1＝0，))所以x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1，所以点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1)).1．知识清单：(1)直线的方向向量．(2)会利用直线的方向向量解决线线平行、垂直问题．(3)求空间中两条直线所成的角．(4)两异面直线的公垂线．2．方法归纳：数形结合、转化与化归．3．常见误区：两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角之间的关系易混淆．1．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝eq\f(15,2)C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝eq\f(15,2)答案D解析由l1∥l2得，eq\f(2,3)＝eq\f(4,x)＝eq\f(5,y)(x≠0，y≠0)，解得x＝6，y＝eq\f(15,2).2．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于()A．－eq\f(2,5)\f(2,5)C．－eq\f(2\r(5),5)\f(2\r(5),5)答案B解析设l1与l2的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)＝eq\f(|－4|,\r(5)×\r(20))＝eq\f(2,5).3．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是()A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．以上都不对答案C解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2，－5)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2,6,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,4，－1)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3×(－1)＋(－2)×4＋(－5)×(－1)＝0，∴AB⊥AC.且|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴△ABC是直角三角形．故选C.4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为()\f(1,10)\f(2,5)\f(\r(30),10)\f(\r(2),2)答案C解析如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0,1,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，A(1,0,0)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1)).故eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，1))，所以cos〈eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BM,\s\up6(→))·\o(AN,\s\up6(→)),|\o(BM,\s\up6(→))||\o(AN,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(3,4),\f(\r(6),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(30),10).5．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AB1垂直的直线有()A．A1CB．BD1C．AD1D．CD1答案ABD解析如图所示，以A为原点，以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，令正方体棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，∵eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BD1,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(AD1,\s\up6(→))＝1≠0，eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(CD1,\s\up6(→))＝0，∴AB1⊥A1C，AB1⊥BD1，AB1⊥CD1.6．(多选)已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为()A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,3)，－\f(1,3)))答案AD解析设D(x，y，z)，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝(x，y－1，z)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x，y，z－1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－1，y，z)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，－1,1)．又DB⊥AC，∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴－x＋z＝0.①DC⊥AB，∴eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴－x＋y＝0.②AD＝BC，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴(x－1)2＋y2＋z2＝2.③由①②③，解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－eq\f(1,3).7．若直线l1的方向向量为v1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0,1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．答案垂直解析因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，又v1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,3,2)·(1，－1,1)＝0，故两直线的位置关系为垂直．8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．答案60°解析以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，∵M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴M(1,2,0)，N(0,2,1)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)．设异面直线AC和MN所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(|\o(MN,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(MN,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(2)×2\r(2))＝eq\f(1,2)，∴θ＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.9．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点．(1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于点D，求O1D的长．解(1)如图，以O为原点，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OO1,\s\up6(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．由题设，知A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，所以eq\o(AO1,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(－1,0，－2)，因此cos〈eq\o(AO1,\s\up6(→))，eq\o(B1E,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AO1,\s\up6(→))·\o(B1E,\s\up6(→)),|\o(AO1,\s\up6(→))||\o(B1E,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2,2\r(2)×\r(5))＝－eq\f(\r(10),10).故异面直线AO1与B1E所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).(2)由题意得eq\o(O1D,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→)).因为C(0,3,0)，设D(x，y,0)，所以eq\o(O1D,\s\up6(→))＝(x，y，－2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,3,0)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝0，,\f(x－2,－2)＝\f(y,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(18,13)，,y＝\f(12,13)，))所以eq\o(O1D,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)，\f(12,13)，－2)).故|eq\o(O1D,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2＋－22)＝eq\f(2\r(286),13).10．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→)).(1)解E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．(2)证明因为A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，所以eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(－x，a，－a)，eq\o(C1E,\s\up6(→))＝(a，x－a，－a)，所以eq\o(A1F,\s\up6(→))·eq\o(C1E,\s\up6(→))＝－ax＋a(x－a)＋(－a)2＝0，所以eq\o(A1F,\s\up6(→))⊥eq\o(C1E,\s\up6(→))，所以A1F⊥C1E.(3)证明因为A1，E，F，C1四点共面，所以eq\o(A1E,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))共面．选eq\o(A1E,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使eq\o(A1F,\s\up6(→))＝λ1eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋λ2eq\o(A1E,\s\up6(→))，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＝－aλ1，,a＝aλ1＋xλ2，,－a＝－aλ2，))解得λ1＝eq\f(1,2)，λ2＝1.于是eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→)).11.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(10),5) B．－eq\f(\r(10),5)C．－eq\f(\r(10),10) D．eq\f(\r(10),10)答案A解析不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，eq\o(SA,\s\up6(→))，eq\o(SB,\s\up6(→))，eq\o(SC,\s\up6(→))所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2))).因为eq\o(SM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，\f(1,2)))，所以|eq\o(SM,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(1,2))，|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(5,4))，eq\o(SM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)，cos〈eq\o(SM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(SM,\s\up6(→))·\o(BN,\s\up6(→)),|\o(SM,\s\up6(→))||\o(BN,\s\up6(→))|)＝－eq\f(\r(10),5)，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为eq\f(\r(10),5).12．已知四面体O－ABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为()\f(\r(3),3)\f(1,4)\f(\r(3),6)\f(\r(2),8)答案C解析eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，且eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))－\o(OB,\s\up6(→))))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,4)，∴cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－\f(1,4),\f(\r(3),2)×1)＝－eq\f(\r(3),6)，故异面直线BD与AC所成角的余弦值为eq\f(\r(3),6).13.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝eq\f(2,3)A1D，AF＝eq\f(1,3)AC，则()A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面答案B解析如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，则E(1,0,1)，F(2,1,0)，A1(3,0,3)，A(3,0,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3,3,0)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－3,0，－3)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝0，∴EF⊥AC，EF⊥A1D.eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－3，－3,3)，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))＝－3eq\o(EF,\s\up6(→))，∴BD1∥EF.14．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角为________．答案60°解析由题意，知eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))分别为直线a，b的方向向量，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))，即2×1×cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝1，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)，即〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°，得a与b所成的角是60°.15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A