第3章均值方差分析与资本资产定价模型

3.1两种证券投资组合的均值-方差3.1.1投资组合设有两种风险资产证券，

记为A和B，

3/14/20231当前1页，总共67页。3.1两种证券投资组合的均值-方差注：权重为正数，意味着投资者买入该资产。如果是卖空，投资于资产的权重是负数。

例如：假设你借100股某公司的股票，市场价格为10元，那么将股票卖出，可获得1000元现金。一段时间之后，该股票的价格5元，你在市场上购买100股，支付现金500，两者之间的差额为500元，你可以获利。3/14/20232当前2页，总共67页。举例说明

1.如果你有资金1000元，投资于证券的金额为400元，投资于证券的金额为600元，则有3/14/20233当前3页，总共67页。举例说明2.假设你有资金1000元，卖空证券获现金600元，共有1600元，投资于证券，于是对于资产

则有3/14/20234当前4页，总共67页。投资组合的期望收益与方差设证券A的收益率为RA，证券B的收益率RB是随机变量，假设我们已知RA和RB的概率分布，

称3/14/20235当前5页，总共67页。投资组合的期望收益与方差则期望收益3/14/20236当前6页，总共67页。投资组合的期望收益与方差3/14/20237当前7页，总共67页。3.1.2联合线假设由式（3.1.1）（1）如果我们假设

和的相关系数为零，

由式（3.1.2）3/14/20238当前8页，总共67页。3.1.2联合线设自有资金1000元，

卖空证券收入为500元，

将这两种资金(共1500元)投资于证券，

计算得代入式（3.1.3）和式（3.1.4）得3/14/20239当前9页，总共67页。3.1.2联合线表3.1不同投资组合的期望收益和收益方差1.500.1300.0900.750.0850.0450.500.0700.0560.250.0550.076-0.50.0100.152利用上述表格中的数据在

的坐标系之下画出一条曲线称为证券A和证券B的联合线。3/14/202310当前10页，总共67页。3.1.2联合线图3.1证券A和B的联合线卖空B投资于A同时投资于A和B卖空A投资于B3/14/202311当前11页，总共67页。3.1.2联合线假设相关系数不为零，（2）假设RA和RB完全正相关,在（RB，RA）坐标系内，是一条斜率为正的一条直线，即如果3/14/202312当前12页，总共67页。3.1.2联合线图3.2证券A和证券B收益率完全正相关时的示意图3/14/202313当前13页，总共67页。3.1.2联合线当RA和RB完全正相关时，相关系数由式(3.1.2)，

3/14/202314当前14页，总共67页。3.1.2联合线表3.2不同wA值的期望收益率和收益率方差3.000.2200.05002.000.1600.00001.500.1300.02500.750.0850.06250.500.0700.07500.250.0550.0875-0.50.0100.12503/14/202315当前15页，总共67页。正相关时的联合线3/14/202316当前16页，总共67页。3.1.2联合线（3）假设RA和RB完全负相关,在（RB，RA）坐标系内，是一条斜率为负的一条直线，即得解得3/14/202317当前17页，总共67页。3.1.2联合线于是得此直线的方程为

图3.3证券A和证券B收益率完全负相关情况下的示意图3/14/202318当前18页，总共67页。3.1.2联合线当RA和RB完全负相关时，

相关系数为-1，此时

3.000.2200.35002.000.1600.20001.500.1300.12500.6670.0800.00000.2500.0550.0850-0.500.0100.1750表3.3不同wA值的收益率期望和方差3/14/202319当前19页，总共67页。6248101214160246810121418完全负相关的情况3/14/202320当前20页，总共67页。6248101214160246810121418图3.43种不同情况下的联合线3/14/202321当前21页，总共67页。3.1.1两种投资组合均值-方差分析设有两种证券A和B，

证券A的期望收益记为

证券B的期望收益记为

设设投资于证券A的资金权重为

投资于证券B的权重记为

满足投资组合

的期望收益记为

则有投资组合的收益率

的方差

3/14/202322当前22页，总共67页。3.1.1两种投资组合均值-方差分析由式(3.1.9)和式(3.1.10)解得代入式(3.1.10)，得整理后，可得3/14/202323当前23页，总共67页。3.1.1两种投资组合均值-方差分析若RA和RB不完全相关，

则于是式(3.1.12)的右端作为

的二次函数恒大于零，

可以写成

的形式。

代入式（3.1.12），得易见方程(3.1.13)在

平面上的图形是双曲线，

由于

它只有开口向右的一支。

3/14/202324当前24页，总共67页。3.1.1两种投资组合均值-方差分析（1）若RA和RB完全正相关，

可见方程(3.1.14)的图形是从

出发的两条射线，

其中的一条是

3/14/202325当前25页，总共67页。3.1.1两种投资组合均值-方差分析另一条是（2）如果RA和RB完全负相关，

此时

也是两条射线，

这两条射线从出发指向右方，

3/14/202326当前26页，总共67页。3.1.1两种投资组合均值-方差分析其中一条通过点

其方程为

另一条通过点

其方程为

3/14/202327当前27页，总共67页。3.1.1两种投资组合均值-方差分析（3）如果RA和RB无关，

此时方程(3.1.12)变为

方程(3.1.20)是一条经过

和的双曲线，其顶点为

对应于此顶点的投资组合，方差最小，

其方差

而其期望收益介于μA和μB之间。

3/14/202328当前28页，总共67页。图3.5不同情况下投资组合均值与方差的关系3/14/202329当前29页，总共67页。3.2均值—方差分析及两基金分离定理3/14/202330当前30页，总共67页。3.2.1投资组合的期望收益和方差设市场只有n种风险资产，

仅有两个时刻，

时刻0代表今天，时刻1代表明天，

其单期收益为

记为收益率向量。设称w为投资组合，

其中wi是第i种资产Xi上的投资比例，满足

这里没有

的限制，

说明市场有做空机制。

3/14/202331当前31页，总共67页。3.2.1投资组合的期望收益和方差以表示第i种资产收益的期望值，

为期望收益向量。

若w为投资组合，

满足

投资组合的收益率

也是随机变量，

其期望值

称为投资组合的期望收益。3/14/202332当前32页，总共67页。3.2.1投资组合的期望收益和方差设是n维向量，

记称n阶矩阵

为方差－协方差阵。

如果

为可逆矩阵，

为正定矩阵，

投资组合

的收益率

的方差为

用矩阵表示

3/14/202333当前33页，总共67页。3.2.1投资组合的期望收益和方差有效投资组合的假设条件(1)仅存在无风险利率Rf,可以无限制借贷，

(2)假设市场上的投资者的效用函数都是均值方差效用函数，

(3)假定市场无摩擦，即无任何交易成本，无税收，资产数量单位无限可分,

(4)假定市场的参与者都有相同的预期。

3/14/202334当前34页，总共67页。3.2.2有效投资组合定义3.1

如果一个投资组合对确定的方差具有最大的期望收益，或者对于确定的期望收益，有最小的方差，这样的投资组合称为“均值——方差”有效的投资组合。定义3.2如果一个投资组合对确定的期望收益有最小的方差，那么称该投资组合为最小方差投资组合。3/14/202335当前35页，总共67页。可行资产组合均方有效前沿最小方差资产组合注：阴影部分代表资产组合的可行区域，AB弧表示的边界为有效资产组合集，它也称为资产组合的‘有效前沿“，而可行区域的整个边界（AB弧和AC弧）即为最小方差资产组合集。结论：均方有效的资产组合也是最小方差资产组合，但其逆不对。3/14/202336当前36页，总共67页。3.2.3求最小方差投资组合的

数学模型及其求解求最小方差投资组合可归结为如下最优模型的求解问题。

3/14/202337当前37页，总共67页。3.2.3求最小方差投资组合的

数学模型及其求解模型（3.2.4）是具有等式约束的二次规划问题，可以用Lagrange乘数法求解，令

最优解的一阶条件为

3/14/202338当前38页，总共67页。3.2.3求最小方差投资组合的

数学模型及其求解假设

可逆，

由方程（3.2.5a）得到最优解:

将式（3.2.6）代入式（3.2.5c），得将式（3.2.6）代入式（3.2.5c）得3/14/202339当前39页，总共67页。其中

(3.2.8a)因为

可逆，

又所以

由（）及（）得

（3.2.8b)代入（）式，得

(3.2.9a)3/14/202340当前40页，总共67页。3.2.4均值－方差分析对一般n种资产的情形

收益水平

的最小方差投资组合的方差为

再将

和代入得3/14/202341当前41页，总共67页。3.2.4均值－方差分析0在最小方差组合的方差—均值空间是抛物线，

其顶点是

图3.6最小方差组合的收益均值与方差的关系3/14/202342当前42页，总共67页。3.2.4均值－方差分析讨论最小方差投资组合的期望收益和其标准差之间的关系

将方程（3.2.9b）改写为

由（3.2.10）可见，在标准差－均值空间种的图形是双曲线，

3/14/202343当前43页，总共67页。3.2.4均值－方差分析0图3.7最小方差组合的期望收益与标准差的关系全局最小方差资产组合3/14/202344当前44页，总共67页。3.2.5两基金分离定理讨论全体最小方差组合构成的集合的性质：

任何一个最小方差投资组合都可以用两个特殊的最小方差投资组合的凸组合表示。这条性质称为两基金分离定理。

由式（3.2.6）得3/14/202345当前45页，总共67页。3.2.5两基金分离定理其中，假设

显然，

而且由式（3.2.8b）得3/14/202346当前46页，总共67页。3.2.5两基金分离定理令则所以具有如下性质：

因为

所以对于权系数

相应的资产组合的收益率

3/14/202347当前47页，总共67页。3.2.5两基金分离定理由（3.2.9a）知，

是全局最小方差投资组合,

称wd为分散化资产组合，

对应的期望收益率为将代入式（3.2.9a）得

由图3.6可见，

相应于期望收益率

的最小方差投资组合是所有有效投资组合中方差最小的一个，称它为全局最小方差投资组合。

3/14/202348当前48页，总共67页。3.2.5两基金分离定理同样，

将

代入式（3.2.9a）可得

因此

是相应于期望收益率

的最小方差投资组合。

定理3.1（两基金分离定理）：

任意最小方差投资组合都可以唯一的表示为全局最小方差投资组合和可分散化资产组合

的组合，即3/14/202349当前49页，总共67页。3.2.5两基金分离定理这里

从定理3.1可见，对于任意的

相应的最小方差资产组合可以表示成相应于和的最小方差投资组合和的组合。称

和为共同基金。

3/14/202350当前50页，总共67页。3.2.5两基金分离定理两资产组合

和期望收益之差因为

所以与之差的符号取决于A的符号。

（1）如果全局最小方差的资产组合的收益率为正，则

在相应的双曲线的上半叶上。

（2）如果则相反，在允许卖空的情况下，这种情况也可能出现。3/14/202351当前51页，总共67页。3.2.5两基金分离定理注1

对于任意两个不同期望收益水平的最小方差资产组合和他们与

和有相同的分离作用，

即可表示为

和的组合。

3/14/202352当前52页，总共67页。注1证明：由两基金分离定理，

和可由和表示如下由式（3.2.18a）和式（3.2.18b），将和解出，得

3/14/202353当前53页，总共67页。注1证明：由将（）和（）代入，得显然

这说明

可用

和的组合来表示。

3/14/202354当前54页，总共67页。3.2.5两基金分离定理注2

对任意的投资组合w,有

设和是两个最小方差组合，

则3/14/202355当前55页，总共67页。注2证明：这证明了第一个结论。

将式（）代入式（），得

由前段证明可知

3/14/202356当前56页，总共67页。注2证明：3/14/202357当前57页，总共67页。3.2.5两基金分离定理若是一个最小方差资产组合，

其方差不是全局最小值，

则存在最小方差资产组合

使称和为零

相关（即协方差为零）的有效投资组合。3/14/202358当前58页，总共67页。3.3具有无风险资产的均值-方差分析3/14/202359当前59页，总共67页。3.3.1具有无风险资产的有效投资组合假定市场存在n种风险资产

及无风险资产

无风险资产的收益率是一常数，设为

以w表示风险资产组合的权系数，

是投资于无风险资产的权系数，

表示投资于n+1种资产的投资组合的期望收益，

则即3/14/202360当前60页，总共67页。3.3.1具有无风险资产的有效投资组合当投资者在市场上可以获得无风险资产时，资产组合问题在两方面发生了变化。（1）与只有风险资产的预算约束不同的是，若投资者在无风险资产