相似三角形经典大题解析

11相似三角形经典大题解析11如图知一个三角形纸片BC边的长为边的高为6都为锐角M为AB一动点MAC于点N，△AMN中，设MN的长为xMN上高为不重合点M作MN∥交（1）请你用含x的代数式表h．

与点

（2

△

沿MN折叠AMN落四边形BCNM在平面点

落在平面的点为

Aeq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)MN

与四边形

重叠部分的面积为

y

，当x为何值时，大，最大值为多少？【答案】解）∥BCeq\o\ac(△,)∽△

h3x（eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)≌△AMNeq\o\ac(△,)的MN684上的高h①当

A落在四边形BCNM内或BC上时，

y

=

13x（0≤4②2248落在四边形

BC

时，如下图

(

8

设

△AE

边

EF

上的高为

h

，则

x

eq\o\ac(△,)EF∽△AMN1eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)A∽△ABC

eq\o\ac(△,)EF∽△ABC

S△S△ABC

1

2

△

24S

△AEF

x

1△AMNAEF

2

x224x

2

x所以

9x8

(4x8)

综上所述：当

0≤，y

38

，取x，当最大

时，98

，

取

163

，

y最大

当

163

时，

y

最

大，AM

NB

F

C最大

A

2如图，抛物线经过

A(4BC(0

三点求出抛物线的解析式）P是物线上一动点，过

PM

轴，垂足为M，是否存P点，使得APM为顶点的三角形相似？若存在，请求出符合条件的坐标；若不存在，请说明理由；

1228ABC【答案】解该抛物线过点1228ABC

C(0可设该抛物线的解析式为

将(4，(1

代入，得a，a22解ab.2

此抛物线的解析式为

x

）存在如图点横坐标为m点的纵坐标为

15m2m22

时AM

，1522

．

°，

①

AMAO时，△∽eq\o\ac(△,M)eq\o\ac(△,)ACPMm2mm，2

（舍去

．②当

AM15时△APM∽△CAO，即)mPMOA22

．解得

m

m

（均不合题意，舍去，P．似地可求出当时，(5

．当m，(

．综上所述，符合条件的点P或(5(

．3．如图，已知直线

l:1

28x与直线l:y交于点C，l、l33

分别交于AB两点．矩形DEFG的点、分别在直l、l

上，顶点、都在x上，且点B重．（1△的面积求矩形边DE

与

EF

的长；（3若矩从原点出发，沿轴的反方向以每秒单位长度的速度平移，设移动时间为△重叠部分的面积为S关t的函数关系式，并写出相应t的取值范围．

t(0t

秒，矩与

lE

D

lyAO

CF（G

x【答案1）解：由

x为坐标为．33∴

AB

28y，，3解得的坐标为．y

1Sy．2

DBGRGtRG(8)]tDBGRGtRG(8)]t

x

D

28D点坐标33又∵点l上且

y点坐标EDEE（3法一①当≤t

时图形△ABC叠部分为五边（t四边CHFGCMAB于M

，则

△∽RtCMBy

E

lC

D

l

E

lD

C

l

E

yD

l

C

lAOFMx（图）

AFGM（图）

B

FGOM（图）∴

tRt△AFH∽Rt△，BMCM6∴

S

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ABC

eq\o\ac(△,)

eq\o\ac(△,)AFH

1141644t88St2t233当

3

时图梯形面积8－GR=

t,∴2t333当

8

时，如图为三角形面积，

tt(8)(12)t34．如图，矩ABCD中AD

厘米米aMN同时从B

点出发，分别AC动，速度1米／秒．过作直线垂直于时间t秒

AB，别交AN于P，．点N

到达终点时点也随之停止运动．设运动（1）若

a米t秒则PM______厘米；（2）若

a

厘米，求时t，△PNBPAD

，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程，存在某时刻使梯形PMBN梯形的面积相等，求取值范围；（4）是否存在这样矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯，形梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．DA

QPM

CNB

DA

QPM

CNB【答案】解：（）

PM

，（）

t2

，使

△N

相似比为

3:

（）⊥AB，⊥AB，

ABCeq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)

PMAMAB

即

PMt(a)PMtaa

，QM

t(a

当

梯

形

M

与

梯

形

P

Q

的

面

积

相

等，

即t((a()tADDQ(BN)BM2

化简得

t

6a6

，

t3

，

66

≤则≤66

4）

36时梯PMBN梯形PQDA面积相等梯的面积与梯形的面积相等即可，则

t(at代入，解之得a6

a，所a

．所以，存在a，当a

时梯形

PMBN

与梯形

PQDA

的面积、梯形

的面积相等．5．如图，已知△ABC是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿AB匀速运动，其中点运动的速度是，点Q运的速度是2cm/s，当点到达点C时，PQ两点都停止运动，设运动时间为（s答下列问题：（1）当t＝2时，判断△形状，并说明理由；（2）设△面积为（cm与t的函数关系式；（3）作QR交AC于R，连结PR，何值时，△∽△PRQ？【答案】

解)△等边三角形t=2,AP=21=2,BQ=2×2=4,所以以因为B=60,所以△BPQ是等边三角形.(2)Q作⊥AB,足为由QB=2y,得QE=2tsin60=

3

t,由PB=6-t,所以BPQ=

1×BP×QE=(6-t)×2

t2+3

3

t为Q∥BA,所以∠QRC=∠A=60∠RQC=∠B=60又因为∠,所以△QRC是边三角形,以QR=RC=QC=6-2t.为BE=BQcos60=

12

×2t=t,所以所以EP∥QR,EP=QR,以四边EPRQ是平行边形所以

3

t,又因为PEQ=90,以∠APR=∠PRQ=90.因为△～△PRQ,所以∠QPR=∠A=60,以tan60=

QR

,

6t3

3

,以

65

,所以当

65

时,△△PRQ6．在直角梯OABC∥，∠A＝90º，＝3OA63分别以OA边所在直线为轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求点B坐标；（2）已知D、E分别为线段、OB上的点，OD5，OE＝B，直线DE交x轴于点F求直线DE的解析式；（3）点是2）直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点．使以、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N坐标；若不存在，请说明理由．MN

CD

y

E

BOx（第26题

图

BD．在图15-1至15-3，直线MN线段AB相交于点，∠=2=．BD（）如图，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；（）将图15-1中的MN绕点顺时针旋转得到图其中=OB．求证：=BD；（）将图15-2中的拉长为AO的k倍得到图求

BDAC

的值．【答案】解1）=BD，AO⊥；（2）明：如图4过点CA，∴∠∠BEO．D2

M

又∵AO=OB，∠，∴△≌△．∴=

1

O

图4

F

又∵∠1=，∴∠=∠=．∴∠DEB=45°．∵∠2=，∴=BD，∠=．∴=BD．延长交延长线于F如图．∵AC∴∠=．∴⊥BD．（3）如图，过点BE于，∴∠=∠ACO．又∠BOE=∠AOC，∴△△．MDBEBO∴．2又∵OB=kAO，O1由（2的方法易得BE=BD．AC图510．如图，已知过（，分别作x轴、的垂线，垂足分别M、若点P从O

k．

O

D2

M出发，OM作速运动，1分钟可到达M点，点Q从