近代物理课后习题答案

1.用波动方程推出薛定谓方程。

解：设有一个粒子，其质量为加，能量为E，动量为「，根据德布

罗意关系可知与粒子运动联系的波的角频率3及波矢[有如下关

系：

3=E7h

—►

k=p/h

（i）

则与该粒子相联系的平面波的波函数为：

\|/（r,r）=Woexp[i（E*r-（Of）/h]=弘exp[z（p*r-E?）/Fi]（2）

（2）式对f求偏导数得：=

dth

ihgv（』）=E\|/（0）（3）

dt

（2）式对x求两次偏导数得：/嗔7"）=-*尸：¥（尸"）

即：-Fl2V2晒入£）=22必色。

同理有：-h2V2甲（乙。=尸加（71）

-h2V2v（r,O=^2V（^O

所以,-h2V2甲（元。=尸取了,/）可进一步写成：

h2p2

--V2V（^O=­（4）

2tn2m

又由于后=尸/2加

aMp2

（3）,（4）式相减得：（zh-+—V2）v（r,?）=（£-—）W^）=0

ot2m2m

an

化简得：zn—v(^0=­—V2v(^^)(5)

ot2m

进一步考虑粒子在势场V(7)中的运动，E=P2/2m+V

Ah2

(5)式可写为：V2+V)y(r,r)

ot2m

上式即为薛定丹方程。

2.推出电荷守恒公式

9

dW=¥(尸")一次二w(r,/)Jr

,7

中(产")广=卬(元/)™几率密度

本段讨论w(r,t)随时间变化的情况:

(D一维时的情况:

w(x,t)=忸(x,/)2=T*(x,(x,t)

如二¥*(“)空3+空3%(』)

dtbtdt

113，z%红¥(%)=[—匚邑+O(x/)]¥(x,t)

0t2mdx1

8平(况力=lh。呢(工力+177(x/)¥(x/)

St2mdx~ih

把该式取复数共视可得：

红乎*0/)=-访-°¥一工。0/)¥*(*/)

it2mdx~法

把这两式代入前式可得：

dyv(x,t)—¥*(x/)01+0/)—匕.C,)¥(x/)

dt2mdxdx

*

2LC¥*(%/)0平(X/)

¥(印)

2mdxdxdx

.ziti中*/6*(xj)刑*(xj)w/八

JA-工…)F------豆—*(*)

中*(乙，)x(l)+(2)x¥G,z)可得

6w(r,/)_ih[¥*g/)▽2*J)-(V2乎*(V).口胡

dt2m

这里使用了有关的矢量运算公式:

2b=V•(,▽》)-Va-Vb

--几率流密度

上式可写为:

即产)+▽.](曰)=0

续性方程

(3)连续性方程的物理意义

dw(r,t)d

eJw(r,t)dr=—jV-j(r,t)dr

Jdtdtv

由数学中的散度定理：

fV-7(F,0^=H7(r,0•ds

—r但"Jb

可得：

d

dt

讨论该式的物理意义。

①质量守恒方程

.0(尸/)=7T1U(人力--质量密度

d

\p{r,t)dr=一盘力(0)市

JI♦

dt-----■质量帘旦

②电荷守恒方程

/=应(7(v^g

"=-版

:・•••-一电荷守恒方程.

3.为什么履=〃入中的,,不可以为零？

答：若"=0,波函恒为0数无意义

4.设粒子处于二维无限深势阱v（%,y）={l0谑,0<y<b中，求粒子能量本征值和本征

函数。如果a=b,能量简并度如何？

解：（1）粒子处于二维无限深势阱°j<«>0<y<b中，则其定态薛定谬方

程为：

「2己2己2

—r-（-r-y+W（羽>）=EW（%，y）,。<x<«»o<y<b（1）

2mdy"

n2（ty+M^）W（x,y）+V（x,y）W（x,y）=EW（x,y）,（x,y）e其它（2）

2m

对于（2）式，因为V（x,y）78,贝y）三0

令卜2=等

-\2-\2

则（1）式可可表示为：（k可+3+%2）甲（乂/）=0

dx»

解为

A,b为待定常数（3）

由在阱壁上的连续性可得：\|/（0,0）=甲（。,0）=\|/（08）=甲①/）=0（4）

将（3）式代入（4）式得：5,=82=0

kxa=n}7T,n,=1,2,3,...

kyh=n27r,»2=1,2,3,...

代入1?=2吧中得粒子能量的允许值为：

E=E=1^1（爪+注）

v

"'叱2mab7,勺，“2=1,2,3,...

对应予能级E%的波函数记为：\|/„n（X,y）=Asin（4工x）sin（X工y）

一''2ab

ab2

利用归一化条件JflV”四（％，y）ldxdy=1得:

00

所以，相应的波函数为

sm

▼的，敢（X，y）=A—（—x）sin（二一y）

Vabab

（2）当a=b时，能量是二度简并。

i.i.计算氢原子中第一波尔轨道上电子绕核的旋转频率、线速度和

加速度。

解：由经典力学，电子绕氢原子核做圆轨道运动的条件是:

Ze2_mv2

（4定o）/r①

波尔假设电子的轨道角动量/满足量子化条件：

/=mr=?Tln=1,2,3…②

把②式代入①式中得：

_（4一0%2日

nZ7e2m③

Z"

v=---------

（4g））h〃④

对氢原子第一波尔轨道有z=i,〃=1

代入。，h,e,m的值解得：

乙=0.534

6

v}=2A9xlOm/s

。=上=9.05x1022机/$2

/=-^«6.58X10I5/7Z

旋转频率：2町

1.2计算氢原子的束缚能（即电子被质子束缚的能量），并求

什么波长的光才能将氢原子电离。若氢原子被预先激发至〃=3。的

态上，再求电离氢原子需要什么波长的光。

解：电子“量子化”总能量：

纥=一.（当斗

2rr4g）n'①

氢原子（Z=l）,束缚能：E=E」4=0-（-13.6）=13.6"

口］,C

E=hyc=h—

恰好使氢原子电离的光的波长为儿，则：仙

普朗克常数。=6.626x10-34”s=4.136x1（）-%”s

X=—=91.16nm

cE

所以，只有波长小于或者等于9S6的的光才能使氢原子电

离。

13.6

E=乜-七—_____ey

当氢原子被激发到〃=3。的态上时，--W-900

he

1=—=8.204x10-5旭

同理：E

所以，电离氢原子需要的光波长不大于8204x10-5加

1.3试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德

布罗意波波长。

证明：轨道址子化条件是：飞pdq=〃h

对敏原子圆轨道来说，Pr=0-4="°=mvr

所以有：

，pd(^>-2兀-invj--nh

S-litr-n—=〃A,〃=1,2,3....

tnv

所以，氢原子稳定轨道kiE好能容纳卜整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的域子化条件

是：

其中

••

pr==m户0

§（人/・+4曲）=〃反其中〃=%+nr

ifljf6•+—§（〃，/加,+7〃-0<7^）

C,•出）

—©（/〃z*—dr+7〃/、,一；（b神---八df）

Jdrd,

=4///v2^7/=?”vds

—§—ds—7/j>

闪此.椭圆轨道也正好包含整数个德布罗意波波K。

1.4用能量为12.5口的电子激发基态的氢原子，当受激发的氢原子向

低能态跃迁时，会出现哪些波长的光谱线。

假设能量为12.5口的电子最高可以把氢原子激发到〃能态，则：

纥一4W12.5ev即：En<-\Aevn<3.52

所以，氢原子最高可被激发到〃=3能态。

如下图所示，当氢原子从高能级向低能级跃迁时，有三种情况。

当从〃=3向〃=2跃迁:

hrhe

九及二—=---------=656.39/7771

32A£E「E?

当从〃=3向〃=1跃迁:

2捺二告6m

当从〃=2向〃=1跃迁:

%=亲=言"121・55收

1.9已知斯特恩-盖拉赫实验中，磁场梯度包=1.5x1027/机。如氢原子

dz

处于基态，在磁场中运动的速度为y=l（）4〃z/s,运动距离d=10cw,磁

场外的距离d'=0,求裂距Al。（（Ag原子相对原子量为：108；〃B=0.927X10-23JT1）

如果把氢原子换成基态银原子，且已知尊=10'Gs/cm,d=4cm,

dz

d'=10cm,A/=2.0mm,v=5xl（）4cm/s,求束中银原子的角动量。

解：（1）解：

氢原子处在基态时的朗德因子g=2,氢原子在不均匀磁场中受力

为

rdBdBJrdB,dB

="BJ”即

由f=ma得a=

mdZ

故原子束离开磁场时两束分量间的间隔为

s=2x%=组雪今

2mdZyvJ

(2)

j=L+s

1/=0时，J=S,j=s=1/2；

s=±—

2

J=\j(j+1)九

1.10已知钠原子的/=3,求/和〃2。若。知其j=9/2,7=7/2,求。

解：(1)/=3,5=±—,则/=S+/=N或3

222

%.7,1,357

3/=—FT]?m=±—,±—,±—,±—

22222

当/=,时,m=±^±l,±(

(2)当/=9/2,j=7/2时，

由于厂s+/,钠原子中$=土;，

计算得：/=4

1.11某原子自旋角动量为零，轨道角动量为L,试证在外磁场8中,

该原子的角动量绕8方向的进动角速度3=£"。若另一原子，其轨道

2me

角动量为零，自旋角动量为5，再求该原子角动量的进动角速度。

答：该原子角动量的进动角速度：（0=迫

2”

1.16已知L>S,求>/可取几种状态？若L<S,•/又可取几种状态？

/。0时，/=/+s=/+l/2,或j=I-s=1-1/2

3.1Ge核半径约为7&核半径的两倍，求Ge核的核子数。

解：原子核的半径R与其质量数A之间的关系为：

2

3

R=r0A,r0为常数（1）

由上式得：

七（2）

2

凡&二04/（3）

由题意可知：RBe=2R】Be（4）

由(2),(3),(4)得:2=(4)3

ABe

又4%=7

解得：%>=56

3.3计算a粒子0He)和“结合成明时的结合能。

解：4He+12C-^16O

M,出=4.002603“，M..=12.000000〃，M,,。=15.994915〃

则反应前后的质量差AM=M%+M,2,-M,6〃=0.007688"(1)

rieCO

又：\u=931.5MeV/c2

(2)

2

ER=AMc

(3)

将(1),(2)式代入(3)式得结合能g?=7.16MeV

3.5笊核由一个质子与一个中子组成，其自旋/=1,试确定笊核中质

子和中子相对运动的轨道角动量的可能值。

解：

•利用笊核的基态性质，由一个质子和一个中子组成

的最简单核子束缚态，其自旋和宇称为〃=广，其

自旋为两个核子的总自旋和相对轨道角动量之和。

SL状态

01'P.

03sl

113Pl

23»

•由于气核基态宇称为正，只能是3s产3口1态的混

合，即有S=1的自旋三重态组成，不存在自旋单

态的笊核，核力将使质子和中子倾向于处在自旋

平行的态。

3.10一个60co放射源，1985年1月出厂时,放射性活度为10〃?。，到

1995年8月，放射性活度是多少？这时这个放射源每秒放出多少B粒

子？多少丫光子？(6。Co的半衰期为T=5.3a。)

解：(1)半衰期与衰变常数的关系为：7="=竿(1)

x,

又A=A0^-

(2)

0.693,

将(1)式代入(2)式得：A=Ao/%—(3)

将A。=10〃心，f=10.58”，T=5.3a代入(3)式得：A=2.5〃?。

(2)一个60co原子核衰变时放出一个B粒子及两个丫光子。

因为10=3.7x1010「

则1995年8月放射源每秒发生的衰变次数为

N=2.5X10-*3X3.7X10'°=9.25X107

所以放射源每秒放出多少B粒子为=N=9.25X107

Y光子N?=2N=1.85xl()7

3.11现有226血(T=1600a),210Po(T=138d),32P(7=14.54),它

们的放射性活度均为l〃zC7,经过一年之后他们的放射性活度各为多

少？并分析这些结果说明什么问题。

解⑴T号普(1)

A=A°e-版(2)

0.693/

由上两式得：A=A°e(3)

将各个原子的半衰期代入上式，则一年后其放射性活度各为：

…6。。〃=o.9996"i

同理：

-竺曳365d

A>op()=\mCi»e138d=0.1599mCz

_2^22.365d

l45rf

A32p=\mCi*e-=°.2654xl(T'mC7

(2)放射性元素的半衰期越长，其衰减越慢，放射性活度减小

的也越慢。

3.14设E。为a衰变的衰变能，试证在非相对论情形下，a粒子的动能

为纥二线上，其中A为母核质量数。

A

证明：a衰变可一般的表示为：zX-^^Y+^He

222

由能量守恒得：Mxc=MYc+Moc+EY+Ea

222

则衰变能E0=EY+Ea=MXC-(MYC+Mac)(1)

由