《确定二次函数的表达式》第1课时示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】

《确定二次函数的表达式》教学设计第1课时一、教学目标1.经历对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握待定系数法求解析式的方法；2.能灵活地根据条件恰当选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化；3.经历探究过程，培养学生数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯；4.在学习过程中，感受学习数学知识的价值，提高对数学学习的兴趣.二、教学重难点重点：掌握待定系数法求解析式的方法难点：能灵活地根据条件恰当选取解析式．三、教学用具多媒体课件.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【知识回顾】问题：一次函数的解析式是怎样求解的？预设：由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式(待定系数法).待定系数法的步骤：设、代、解、还原.一次函数的解析式是(k≠0)，要求出解析式，就是要求出k，b的值，需要列出二元一次方程组求出k，b，那么需要知道图象上两个点的坐标.追问：二次函数的解析式如何确定呢？学生观察思考，并在小组内讨论.回顾旧知，类比一次函数解析式的求法引出二次函数解析式的求解，也是为后边的探究过程做铺垫.环节二探究新知【合作探究】一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中(4，3)为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系吗？分析：解：∵(4，3)为图象的顶点，∴把点(4，3)带入到顶点式y=a(x–h)2+k中，得y=a(x–4)2+3.把点(10，0)带入y=a(x–4)2+3中，计算得到a=–112∴所求关系式为a=–112(x–4)2【想一想】如何求二次函数的解析式？问题指引：①二次函数的解析式中有几个待定系数？②转化成什么样的方程组？③需要图象上的几个点才能求出来？预设：二次函数的解析式是，要求出a，b，c的值，3个未知数，因此需要转化成三元一次方程组，需要图象上三个点的坐标，列出三元一次方程组.(接下来我们举例探究一下吧！)【做一做】已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(2，5)和(–2，13)，求这个二次函数的表达式.分析：解：∵二次函数图象与y轴交点的纵坐标为1，∴c=1.∴设二次函数的表达式为纵坐标为y=ax2+bx+1.将点(2，5)和(–2，13)带入y=ax2+bx+1中，得解得所以所求二次的表达式为y=2x2–2x+1.【归纳】如何求二次函数表达式？求二次函数表达式的一般方法：待定系数法.教师提问：你能尝试总结解决此类问题的一般步骤吗？师生共同归纳：①先建立适当的直角坐标系；②设出抛物线的表达式；③写出相关点的坐标；④列方程（组）；⑤解方程（组），求出待定系数；⑥写出二次函数的表达式.【想一想】在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式？预设1：二次函数y=ax2+bx+c可化成：y=a(x–h)2+k，顶点是(h，k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.解题步骤：①设表达式为y=a(x–h)2+k；②把顶点坐标带入y=a(x–h)2+k中；③把另外一点的坐标带入计算a的值；④写出二次函数的表达式.预设2：已知二次函数y=ax2+bx+c中一项系数，再知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式.解题步骤：①把两点的坐标带入y=ax2+bx+c中，其中a，b，c有一个系数已知；②列方程组；③解方程组，求出待定系数；④写出二次函数的表达式.学生独立思考，然后师生共同完成.在教师的引导下思考并回答.学生认真完成，进一步感知待定系数法确定二次函数关系，利用已知信息逐步求出三个待定系数.思考、总结回答.思考回答问题.以提出实际生活中问题的形式激发学生思考，让学生感悟生活中处处蕴含数学知识.学生通过对类比一次函数解析式的解法以及实际问题的求解过程，探究出求二次函数的解析式的方法，并培养其自主学习的能力.通过题目条件的逐步转化，使学生感悟知识间的关联性.学生经历逐步探究的过程初步掌握待定系数法确定二次函数表达式的思路.让学生结合实例进行思考，进一步掌握如何用待定系数法确定二次函数表达式的思路.环节三应用新知【典型例题】例1已知一个二次函数的对称轴为x=-2，与y轴交点的纵坐标为2，且经过点（-3，-1），试确定这个二次函数的解析式.分析：（1）本题可设函数的表达式为什么形式？预设答案：设所求二次函数的表达式为：y=ax2+bx+c（2）题目中哪些条件可以转化为所需信息？教师活动：教师出示问题，引导学生思考，然后通过具体的例子，引导学生发现可以通过题目的条件转化为所需信息，逐步求出a，b的值，并代回二次函数的一般式：y=ax2+bx+c，从而求出二次函数表达式.PPT展示规范的解答过程.追问1：还有别的解法吗？教师活动：教师引导学生分析题目，并带领学生理清接下来的思路：由已知，函数图象的对称轴为x=-2，可设所求二次函数为y=a(x+2)2+k，将两个已知点的坐标代入，求出a，k的值，代回二次函数的解析式y=a(x+2)2+k中，就可以求出这个二次函数解析式.预设答案：解：∵二次函数的图象的对称轴为x=-2，∴设二次函数表达式为y=a(x+2)2+k.由题意可得4a+k=2a+k=−1解得a=1k=−2∴

二次函数表达式为y=x2+4x+2

.例2已知二次函数y=a(x−1)2+4的图象经过点(−1，0)，求这个二次函数的解析式.教师活动：教师出示问题，引导学生思考，本题已知函数解析式的形式，并思考如何求出二次函数解析式.引导学生发现：已知顶点坐标，只需知一个点的坐标便能求出该二次函数的解析式解：把(−1，0)代入二次函数解析式得4a+4=0，即a=−1.则函数解析式为y=−(x−1)2+4，即y=−x2+2x+3.例3如果知道二次函数的顶点坐标为A(-1,-6)，且过B(2,3)点，请求出解析式.解：因为二次函数图象的顶点坐标是（-1，-6），所以可设这个二次函数的表达式为.又因为该图象经过点（2，3），将坐标代入上式，得解得所以，这个二次函数的表达式是教师活动：教师出示问题，引导学生思考，然后通过具体的例子，引导学生结合已经探究的内容进行思考、逐步解决问题.【归纳总结】这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法.根据顶点所在的位置不同，可以设不同形式的表达式，达到简化计算的目的，如：顶点在坐标原点处，可设二次函数的表达式为y=ax2.顶点在y轴上，可设二次函数的表达式为y=ax2+k.顶点在x轴上，可设二次函数的表达式为y=a(x-h)2.顶点不在坐标轴上，可设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k.教师活动：引导学生归纳总结，教师汇总并补充，形成最终结论.学生认真思考，进一步感知运用顶点式确定二次函数的方法.思考并尝试用自己的语言归纳总结.通过例题进一步使学生熟悉用顶点式求二次函数解析式的步骤，在此基础上，引导学生发现：已知顶点坐标，只需再知道一个点的坐标便能求出该二次函数的解析式，培养了学生结合已学内容感悟新知的能力.进一步思考问题的本质和其规律性，并寻求顶点式确定二次函数表达式的适用性.环节四巩固新知【随堂练习】1.一个二次函数的图象经点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的解析式.2.已知一个二次函数有最大值4，当x＞5时，y随x的增大而减小；当x＜5时，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点(2，1)，求该函数的解析式．3.如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是.4.二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（）A.y=2x²-4xB.y=-x(x-2)C.y=-(x-1)²+2D.y=-2x²+4x答案：1.解：∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，∴可设其解析式为y=a(x-8)2+9.由其图象经过点(0，1)，可得1=a(0-8)2+9.解得，∴所求的二次函数的解析式是，即.2.解：由题意得该二次函数图象的顶点坐标为(5，4)，设解析式为y=a(x−5)2+4，把(2，1)代入，得1=9a+4，解得.∴二次函数的解析式为.3.解：4.解：D自主完成练习，教师适时点拨，然后集体交流评价.通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识