《三角函数的应用》示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】

1/9《三角函数的应用》教学设计一、教学目标1.进一步巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角的概念.2.能运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.3.经历应用三角函数解决实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.4.发展数学应用意识和解决问题的能力.二、教学重难点重点：能运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.难点：体会三角函数在解决问题过程中的作用.三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一知识回顾【知识回顾】教师活动：提出问题，学生思考并独立解决，回答问题.问题1：如图，在Rt△ABC中，有三条边a，b，c和三个角∠A，∠B，∠C.除∠C=90°外，其余五个元素之间有哪些等量关系？预设：(1)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；(2)三边之间的关系:a2+b2=c2；(3)边与角之间的关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=，tanB=.除直角外，已知两个元素(至少一边)，即可求出其他元素.问题2：货轮在海上航行时，会常用到方位角，那大家记得什么是方位角吗？预设：指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90°的角，叫做方位角.注意：方位角是以南北为起始线，一般表述为南(北)偏东(西)多少度.如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°(西南方向).思考并回答回顾旧知，既是巩固以前学习的知识，也是为新课学习做铺垫.环节二典例探究教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.【思考】如图，海中有一小岛A，它的周围有10海里暗礁.今货船由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东航行20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货船继续向东航行.你认为该货船在继续向东航行的途中有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴交流.分析：要判断货船是否会触礁，只需考虑小岛A到BC的最短距离是否比10大，即当AD＞10时，则没有触礁危险；当AD≤10时，则有触礁危险.解：依题意知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC=20nmile，如图，过点A作AD⊥BC，设AD=xnmile在Rt△ABD中，BD=AD∙tan∠BAD=x∙tan55°在Rt△ACD中，CD=AD∙tan∠CAD=x∙tan25°∴x∙tan55°−x∙tan25°=20解得x≈20.79nmile＞10nmile，所以不会有触礁危险.【想一想】如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，若小明的身高为1.5m，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到0.1m).提问：仰角是什么角呢？预设：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.如何计算塔高？分析：要计算的是CD的长度，又有CD=DE+EC，CE=1.5m，只要再求出DE的长度即可.由三角形的外角性质得:∠ADB=∠A=30°；因此BD=AB=50m，再由∠DBE的正弦即可求出DE.解：依题意知，∠A=30°，∠DBE=60°，AB=50，则∠ADB=30°(三角形的外角性质)，∴∠A=∠ADB，∴BD=AB=50m在Rt△DBE中，∠DBE=60°，，∴DE=50sin60°=.∴CD=DE+CE=+1.5≈44.8(m).答：该塔大约有44.8m高.【做一做】某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把楼梯的倾斜角由40°减少至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01m)教师引导学生将实际问题转化为数学问题.分析：求调整后的楼梯会加长多少实际上求AD-AC，楼梯多占多长实际上求CD的长.解：由已知可知，原来楼梯的高度AB=4sin40°m，占地长BC=4cos40°m.调整后，楼梯的长度变为，占地长即调整后的楼梯会加长约0.48米，楼梯多占约0.61米的地面.理解题意，试着画出平面图，并完成解答.学习仰角和俯角的概念.尝试独立解答，再交流讨论，展示自己的成功.独立解答，并反馈结果.此题是有关方位角的实际问题，体会将实际问题转化为数学问题的过程，让学生更好的了解和认识解直角三角形在实际生活中的应用的重要性.让学生经历从实际问题到数学问题的思考过程，培养数学建模思想和分析问题、解决问题的能力.结合实际场景，观察并总结归纳仰角和俯角的概念，培养学生的观察能力和总结概括的能力.进一步体会如何把实际问题转化为数学问题，并学会正确画出示意图，培养学生的应用意识.环节三方法归纳【议一议】教师提出问题，学生先独立思考；再在小组内交流探讨，总结归纳出利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤.预设：(1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.独立思考，并交流讨论，反馈结果.通过议一议,归纳得出利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤，培养学生合作意识.环节四巩固新知【随堂练习】教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.求图中避雷针CD的长度(结果精确到0.01m).2.如图，一根灯柱AB被一条钢缆CD固定，CD与地面的夹角是40°，且DB=5m.现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？(结果精确到0.01m)3.如图，在宿舍楼的C，D两点处观测与地面垂直的建筑物AB，从点D观测点A的俯角是27°，从点C观测点B的仰角是50°，已知宿舍楼CD的高度是20m.求建筑物AB的高度(结果精确到1m).4.如图，一艘船以每小时32nmile的速度向正北航行.在A处观测到灯塔C在船的北偏东20°方向上；半小时候船航行到B处，在B处观测到灯塔C在船的北偏东65°方向上.求灯塔C与B处之间的距离(结果精确到0.1nmile).答案：解:依题意知，AB=20m，∠BAD=56°，∠BAC=50°，在Rt△ABD中，在Rt△ABC中，2.解：依题意有，∠BDC=40°，DB=5m，CE=2m.在Rt△BCD中，在Rt△BDE中，答：钢缆ED的长度约为7.96m.3.解：依题意有，∠ACB=50°，∠CAD=27°，CD=20m.在Rt△ACD中，在Rt△ABC中，.答：建筑物AB的高度约为47m.4.解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线与点D.依题意有，∠A=20°，∠DBC=65°，AB=32×0.5=16nmile.在Rt△ACD中，在Rt△CDB中，所以灯塔C与B处之间的距离约为7.7m.自主完成练习，然后集体交流评价.通过课堂练习及时巩固本节课所学内