数形结合的谬误与纠偏

数形结合的谬误与纠偏中文摘要：数形结合思想作为四大数学思想方法之一，在解题过程中发挥着巨大的作用

.但图形毕竟只是直观认知的工具，它不能替代逻辑证明 .本文结合笔者的实际教学经历，分选不同章节，从不同角度谈谈以形助数的缺陷，错因分析，以及如何克服易错点的一些思考

.关键字：数形结合 谬误 逻辑数形结合是重要的数学思想之一，借助于形的直观，我们能在数的迷雾中看得更真切，时有“拨开云雾见青天”之感 .本文不谈用图形解决问题的精妙，这一点大家写的多，也体会的深，反之，本文将从以形助数的缺陷出发，明示错误，反思错因，从而纠正思维、操作上的谬误，提高数形结合思想方法的理性认识 .案例1：图象特征的认识偏差【2015年浙江高考文20】设函数f(x)x2axb,(a,bR).(1)当b=a2+1时，求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式；（解答略）4(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点，0b2a1，求b的取值范围.错解：由题意知，f(2)42ab，且0b2a1，从而有4f(2)5.又因为f(0)b，所以问题转化为“函数f(x)x2axb在x[1,1]上存在零点，且4f(2)5，求f(0)的取值范围”.如图1AB、CD均产生交，考虑抛物线与两条线段点.由图可知，当抛物线经过点A、D时，f(0)有最小值，此时542abb301ab542abb1.；当抛物线经过点B、D时，f(0)有最大值，此时1ab03综上所述，3b1.3图1

图

2但是，结果跟我们的构图一致吗？如图

2所示，当抛物线经过点

B、D时，

f(0)的最大值为某一正数 .当数形结合出现矛盾时，孰对孰错？若代数结果不能体现几何特征，它所对应的函数图象又是如何的？当我们随手画下抛物线时，这样的抛物线又是否存在？正如我们熟悉的，二次函数y x2 ax b的图象为开口向上的抛物线， 其图象开口大小与抛物线 y x2相一致（如图 3）.因此，当抛物线经过点 B、D两点时，其图象应如图14所示，此时与代数结果即 b3

相一致.图3图4那么图象该如何放置才能得到bf(0)的最大值？不妨考虑抛物线经过点D且与x轴相切的情况，如图542ab5所示，此时有，解得b945.a24b0图5 图6综上所述， 3 b 9 45.上述案例提醒我们，作图时除了考虑图形的一般特征（如零点、定点）外，还需要充分结合图形的其他特征 （如凹凸性、拐点） .由于对图形特征（这里指的是抛物线的开口大小）的感知不准确，就可能误作草图，从而走入歧途 .另解：对方程进行变形，x2axb0axbx2，根据题意，动直线yaxb与线段AB及抛物线yx2（1x1）有交点，其中A(2,0)，B(2,1)，如图6所示.当直线yaxb经过点(2,1)与(1,1)时，截距b有最小值3；当直线yaxb经过点(2,1)且与抛物线相切时， b有最大值9 45.综上所述， 3 b 9 45.案例

2：毫厘之处的认知困难【2015

浙江学考模拟】已知二次函数

f(x)

x2

bx

c，方程

f(x)

x

0的两个根

x1，x2满足

0

x1

x2

1.（1）当

x

(0,x1)时，证明：

x

f(x)

x1；（2）设函数

f(x)

的图象关于直线

x

x0对称，证明：

x0

x12

.错解：方程

f(x)

x

0的根可视作函数

y

f(x)与

y

x的图象交点的横坐标，

根据题意作出图形（如图

9），从图中我们可以观察到这样的信息：图9 图10①当x

(0,x1)时，

x

x1

f(x)；②设函数

f(x)的图象关于直线

x

x0对称，则

x1

x0

x2这与条件要我们证明的命题不相符！在考试过程中，笔者班级的学生有八成作出了类似的草图，

由于与论题相悖， 因此在尝试构建满足题意的图形上花费了大量时间，

当终于摸索着得出图

10时，心中依然充满困惑：图象在(0,1)上的单调性如何？图 9为什么不可能存在？学生产生困惑的原因在于， 上述问题研究的区域过于狭小， 交点与顶点的位置关系有 “失之毫厘谬以千里”之险 .此时若借助于图形解决问题，犹如螺蛳壳里作道场，难度很大 .正如华罗庚先生所言：形缺数时难入微，高见甚是 .问题正解：根据题意，f(x)x(xx1)(xx2)，0x1x21.（1）当x(0,x1)时，有(xx1)(xx2)0，因此f(x)x；由于f(x)(xx1)(xx2)x，因此f(x)x1(xx1)(xx21)0，即f(x)x1.（2）由于f(x)x2(x1x21)xx1x2，因此x0x1x21x1x21，得证.22案例3：分类讨论的知一漏二【全国卷理数】[1]设线段AB两端点在抛物线y2x上移动，M为线段AB的中点，|AB|a（a为大于零的常数），求M到y轴的最短距离.错解：如图9，直线l:x1为抛物线的准线，点F(1,0)为抛物线的焦点.414设M到y轴的距离为d，则d|MN|.4在直角梯形ABCD中，由梯形中位线定理及抛物线的定义得，|MN||AC||BD||AF||BF||AB|a，因此d|MN|1a1.2222424所以M到y轴的最短距离为a1，此时A、B、F三点共线.24图9上述解法的不足之处在于作图时先入为主， 忽略了动弦 AB的活动区域受参数 a的限制.事实上，上述解法成立的条件是动弦AB必过焦点，经过抛物线焦点的弦中，以通径最短，而抛物线y2x的通径为1，因此上述解法只有当a|AB|1时才能成立.而当0a1时，动弦AB与焦点“绝缘”，结合图形已无法判断，需用方程知识来解决.问题正解：设直线AB方程为xmyt，A(x1,y1)，B(x2,y2)，xmytmyt0，m24t0.联立x，消去x，得y2y2由韦达定理得，y1y2m，x1x2m22t，故弦AB中点为M(m2t,m)，原问题即求f(m,t)m2t⋯⋯（*）的最小值.222又因为|AB|a，即1m2|y1y2|aa1m2m24t，化简得ta22)m2，代入（*）式，则f(m)1(m2a22)，4(1m441m令pm211，原问题即求g(p)1(pa21)，p1的最小值.4p当0a1时，g(p)ming(1)a2；当a1时，g(p)ming(a)2a14.4从以上的分析可以看出，当问题需要分类讨论时，仅从图形出发解决问题就可能分类不清，列举不全.案例4：直观感知的逻辑缺失【2013年天津高考理7】函数()2x|log|1的零点个数为（）fx0.5xA.1B.2C.3D.4错解函数f(x)的零点可以看成是函数y|log0.5x|和函数y0.5x的图象的公共点的横坐标，如图7.根据图象，可得所求函数的零点个数为2，选B.图7 图8当x 1时，我们可以确定两个函数产生唯一交点（可通过作差构造单调函数，进而利用零点判定定理得证）；当0 x 1时，由于两个函数在 (0,1)上的单调性一致， 我们并没有充足的证据说明两个函数图象只有一个交点，只能说明两者至少有一个交点 .如果我们取底数为0.1（如图 8），此时两个函数在 (0,1)上的图象几乎贴在一起，你还能够判断出其交点个数吗？事实上，我们有这样的结论成立：40aeeax与y2eea1函数y|logax|的交点个数为31aee.（证明略）2aee1aee问题正解：设x(0,1)，研究函数g(x)0.5xlog0.5x，其导函数为g'(x)0.5xln0.51,g''(x)0.5xln20.51,而ln1xln0.5x2ln0.51ln0.50，因此g''(x)在(0,1)上恒小于0，即g'(x)在(0,1)上单调递减；e考虑到g'(1)0.5ln0.510，因此g(x)在(0,1)上单调递增.ln0.5而当x0时，g(x)，g(1)0.50，因此函数g(x)在区间(0,1)上有唯一零点.《课标》中有这样一段话：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的