2018届安徽省芜湖市高三5月模拟考试理科数学试题（解析版）

2018届安徽省芜湖市高三5月模拟考试理科数学试题（解析版）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则A.[-2，-1]B.[-1，2)C.[-1，1]D.[1，2)【答案】A【解析】分析：化简集合，利用数轴法计算可得.详解：因为，所以：故选A.点睛：集合是每年高考的必考题，属于得分题，一般以小题的形式出现，解题时应注意区别符号，避免混淆出错..2.设复数，则下列命题中错误的是A.B.C.在复平面上对应的点在第一象限D.的虚部为【答案】D【解析】分析：将复数化简整理得，依次验证A、B、C、D四个选项，可知D错误.详解：，知复数的虚部为1，故选D.点睛：复数问题是高考数学中的常考题型，属于得分题，解题思路通常是通过解方程或者化简等方式将复数整理成的形式，再进行复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数等相关问题的求解.3.若满足约束条件则的最大值为A.2B.6C.7D.8【答案】C【解析】分析：作出可行域，研究目标函数的几何意义可知，当时目标函数取得最大值为.详解：作出可行域，如下图中的阴影部分，易知目标函数中的值随直线向上平移而增大，过点时取得最大值为，故选C.点睛：将目标函数转化为直线的斜截式方程，当截距取得最大值时，取得最大值；当截距取得最小值时，取得最小值.4.若圆锥曲线的离心率为，则A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：根据题目中离心率的取值范围，确定所给圆锥曲线为双曲线，化成标准式，利用，可求出.详解：离心率，所以该圆锥曲线为双曲线，又可化为，则，解得，故选A.点睛：解决圆锥曲线的小题时，一定要先化成标准式，确定基本量，再利用相应的公式规律求解问题，椭圆中离心率公式，双曲线中离心率公式为.5.芜湖高铁站芜湖至地上午发车时间分别为7:00，8:00，8:30，小明需在当天乘车到地参加一高校自主招生，他在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案.详解：设小明到达时间为，当在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过十分钟，故，故选B.点睛：处理几何概型问题的主要思路是问题长度化、面积化、角度化或体积化，再利用几何概型的计算公式求解.6.我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】分析：执行程序框图，得到输出值，令，可得.详解：阅读程序框图，初始化数值，循环结果执行如下：第一次：成立，；第二次：成立，；第三次：成立，；第四次：不成立，输出，解得.故选C.点睛：解决循环结构程序框图问题的核心在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.7.已知是定义在上偶函数，对任意都有且，则的值为A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】分析：根据题设求出函数的周期，则，再利用函数的奇偶性可得.详解：由，知函数为周期函数，且周期，则又函数为上的偶函数，所以，故选D.点睛：近年来，函数的奇偶性、周期性的应用是高考数学命题的热点，多以选择题和填空题形式出现，本题可直接利用周期性进行求值，只是其中运用了偶函数的性质.8.某几何体的三视图如右图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A.B.C.D.【答案】A【解析】由三视图还原可知，原图形为一个边长为1的正方体，挖去了一个高为的，正四棱锥，所以体积为。选A.9.已知函数．将的图象向左平移个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数，下列命题正确的是A.函数在区间上有最小值B.函数的一条对称轴为C.函数在区间上单调递增D.函数的一个对称点为【答案】C【解析】分析：根据题设以及的取值范围，求出的值，代入得，依次验证A、B、C、D四个选项，可得正确结论.详解：设将的图像向左平移后得到，则，因为为偶函数，且，则，即，所以.分别验证四个选项，只有C正确，故选C.点睛：三角函数图象的平移是研究和学习函数图象的一个要点，做题时往往容易弄错，解决这类问题要注意以下三个问题：一看题目中要求由哪个函数平移到哪个函数；二化函数形式，平移前后的两个函数化为同名函数；三要注意对平移规律“左加右减”的理解.10.设，，均为实数，且，，，则A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：将题目中方程的根转化为两个函数图像的交点的横坐标的值，作出函数图像，根据图像可得出的大小关系.详解：在同一平面直角坐标系中，分别作出函数的图像由图可知，故选B.点睛：解决本题，要注意①方程有实数根②函数图像与轴有交点③函数有零点三者之间的等价关系，解决此类问题时，有时候采用“数形结合”的策略往往能起到意想不到的效果.11.已知椭圆的右焦点为．圆上所有点都在椭圆的内部，过椭圆上任一点作圆的两条切线，为切点，若，则椭圆C的离心率为A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：分析可知，当且仅当点为椭圆的左、右顶点时，取得最小值和大值，根据条件列出的方程组，可解出的值，求解离心率.详解：如下图可知，当且仅当点为椭圆的左顶点时，最小，即，在中，，则，同理，当点为椭圆的右顶点时，最大，可得解得，离心率，故选B.点睛：本题的关键是能够分析出当取得最大值及最小值时，点的位置，再结合平面几何知识列出方程，联立而后求出的值.12.已知函数，其中为自然对数的底数．若函数在区间内有两个零点，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：对求导得，由题设可知，且先减后增，欲使函数在区间内有两个零点，则必有，求解不等式得的取值范围.详解：，易知当时，恒成立，不符合题意；则必有，此时函数先减后增，欲使函数在区间内有两个零点，则必有，解得.故选D.点睛：本题着重考查利用导数研究函数的单调性，进而判断函数零点的个数，在解决本题时，注意问题转化的等价性.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量的夹角为，，，则=_______．【答案】【解析】分析：欲求的值，可先求的值，展开代入可得.详解：由已知，，点睛：本题的核心是通过利用已知向量（向量的坐标、模、夹角）来线性表示求的值，再间接求，本题的易错点在于忘记将的值开平方.14.已知展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_______．【答案】61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式，求出，代入可求展开式中常数项为.详解：的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，，解得，又，则展开式中常数项为.点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式.15.在三棱锥中，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_______．【答案】详解：在三棱锥中，当且仅当时，三棱锥体积达到最大，此时，设外接球的半径为，则有，表面积为.点睛：本题的核心是能够根据题设分析出线面关系，再利用几何体本身的对称性确定球心位置，再结合平面几何知识求解球的半径大小.16.已知的内角的对边分别为，若，则最小值是_______．【答案】3【解析】分析：利用正弦定理及二倍角公式，将原问题转化为求三角函数的最值问题，再利用均值定理进行求解.详解：由，及正弦定理可得所以的最小值为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.已知等比数列的前项和为.若，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）根据题设构造等式，即，则，又，可求，得出通项公式；（2）将代入中，根据的形式选用裂项相消法求.详解：（1）由，可得．即公比，又，故．（2），．点睛：数列求和的常用方法有：①等差、等比数列直接运用求和公式；②设数列分别为等差、等比数列，则求的前项和，用“错位相减法”；③变换通项就是对通项公式进行有目的地处理，如裂项相消法；④相邻两次的代数和为常数时可用“并项法”，但要分为奇、偶讨论.18.如图，在三棱柱中，，，平面平面，为中点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）过点作交于，欲证，只需证明平面；（2）可利用向量法求解二面角的余弦值.详解：（1）过点做交于，因为面，，所以，故，又因为，所以，故，因为，所以，又因为，所以面，故．（2）以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标，，设面的法向量为，则令，得；设面的法向量为，则令得；面与面所成锐二面角的余弦值为．点睛：采用向量法求解二面角大小时需要注意以下两个问题：（1）建系方便简单，在书写点坐标，及求解平面的法向量时要准确；（2）确定所求的二面角为锐角还是钝角.19.某市疾控中心流感监测结果显示，自年月起，该市流感活动一度出现上升趋势，尤其是月以来，呈现快速增长态势，截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知位同学中有位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定感染同学为止；方案乙：先任取个同学，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这位中的位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外位同学中逐个检测；（1）求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；（2）表示依方案甲所需化验次数，表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑那种化验方案最佳．【答案】（1）；（2）方案乙更佳【解析】分析：（1）分别求出时的值，及时的值，进而可求出方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数的概率；（2）确定的可能取值及相应的数学期望，比较二者大小可知方案乙更佳.详解：（1）设分别表示依方案甲需化验为第次；表示依方案乙需化验为第次；表示方案甲所需化验次数等于依方案乙所需化验次数．，（2）的可能取值为．的可能取值为．（次），∴（次），∴故方案乙更佳．点睛：求解离散型随机变量数学期望的一般步骤：（1）确定各随机变量的可能取值；（2）求出随机变量各取值下的概率；（3）计算数学期望.20.设抛物线的焦点为，准线为．已知点在抛物线上，点在上，是边长为4的等边三角形．（1）求的值；（2）若直线是过定点的一条直线，且与抛物线交于两点，过作的垂线与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值．【答案】（1）2；（2）48【解析】分析：（1）根据抛物线定义结合平面几何知识分析可得，则；（2）设出的直线方程，并与抛物线方程联立，消整理成关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出的长，再利用函数知识求解最值.详解：（1）由题意知，则．设准线与轴交于点，则，又是边长为4的等边三角形，，所以，即．（2）设直线的方程为，设，联立得，则，，，，同理得，则四边形的面积，令，是关于的增函数，故，当且仅当时取得最小值．点睛：考查圆锥曲线中的最值问题是高考热点，可以利用两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用函数最值的方法求解，也可以通过一些几何性质和已知条件构造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判断方程寻求题目的答案.21.已知函数．曲线在处切线的斜率为，（为自然对数的底数）（1）求的值；（2）证明：．【答案】（1）8；（2）见解析【解析】试题分析：(Ⅰ)借助题设条件运用导数的几何意义求解；(Ⅱ)借助题设条件构造函数运用导数的有关知识求解。试题解析：（Ⅰ）因为，所以，则，得。（Ⅱ），，设函数，，当时，，为减函数，当时，，为增函数，则。设函数，，令，，则在为减函数，又因为，则当时，，即，为增函数，则当时，，即，为减函数，所以，综上所述，。考点：运用导数在研究函数的单调性和最值等方面的综合运用。【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具。本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力。本题的第一问求解时借助导数的几何意义建立方程求出，求解时直接对函数求导，再依据题设建立了方程求出了；第