中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与相似问题（含答案）

中考数学二轮压轴培优专题二次函数与相似问题1.如图，抛物线y＝x2﹣bx＋c过点B(3，0)，C(0，﹣3)，D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；(2)连接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；(3)点C关于抛物线y＝x2﹣bx＋c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在(2)的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使△CDB和△BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋8与x轴交于A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设四边形PBOC和△AOC的面积分别为S四边形PBOC和S△AOC，记S＝S四边形PBOC﹣S△AOC，求S最大值点P的坐标及S的最大值；(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝eq\f(1,4)x2＋c经过点A(4，3)，顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点(0，﹣2)且垂直于y轴的直线，连接PO．(1)求抛物线的表达式，并求出顶点B的坐标；(2)试证明：经过点O的⊙P与直线l相切；(3)如图②，已知点C的坐标为(1，2)，是否存在点P，使得以点P，O及(2)中的切点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4.已知，二次函数y＝ax2＋bx﹣3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于C点，点A的坐标为(﹣1，0)，且OB＝OC．(1)求二次函数的解析式；(2)当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(﹣2，0)，B(﹣3，3)及原点O，顶点为C．(1)求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；(2)设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；③在图3中，若P是y轴左侧该抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．(1)直接写出C′的坐标，并求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；(2)点P在第四象限的抛物线上，求△C′OP的最大面积；(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x＋3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A和点C(0，﹣3)．(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第一象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，直接写出四边形ACED的形状，并求出此时点D的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线CD下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴，交CD于点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求出线段FP的长度；若不存在，请说明理由．8.如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的顶点D坐标为(1，4)，且与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．(1)求抛物线解析式；(2)设点F横坐标为m，①用含有m的代数式表示点E的横坐标为(直接填空)；②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．9.如图①，已知抛物线y＝﹣(x﹣1)2＋k交x轴于A，B两点，交y轴于点C，P是抛物线上的动点，且满足OB＝3OA．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在第一象限，直线y＝eq\f(1,2)x＋b经过点P且与直线BC交于点E，设点P的横坐标为t，当线段PE的长度随着t的增大而减小时，求t的取值范围；(3)如图②，过点A作BC的平行线m，与抛物线交于另一点D．点P在直线m上方，点Q在线段AD上，若△CPQ与△AOC相似，且点P与点O是对应点，求点P的坐标．10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2＋2kx＋2k2＋1与x轴的左交点为A，右交点为B，与y轴的交点为C，对称轴为直线l，对于抛物线上的两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜k＜x2)，当x1＋x2＝2时，y1﹣y2＝0恒成立．(1)求该抛物线的解析式；(2)点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作MN⊥AC于点N，求线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；(3)点P是直线l右侧抛物线上的一点，PQ⊥l于点Q，AP交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PQF与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴D(1，﹣4)；(2)如图．∵B(3，0)，C(0，﹣3)，D(1，﹣4)，∴BC2＝32＋32＝18，BC＝3eq\r(2)，CD2＝12＋(4﹣3)2＝2，CD＝eq\r(2)，BD2＝42＋(3﹣1)2＝20，BD＝2eq\r(5)，∴BD2＝BC2＋CD2，∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，∴tan∠CBD＝＝＝；(3)∵点C关于抛物线y＝x2﹣2x﹣3对称轴的对称点为E点，y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，∴E(2，﹣3)，∵B(3，0)，∴直线BE为y＝3x﹣9，∴M(1，﹣6)，由(2)知△CDB是直角三角形，∠BCD＝90°，若△CDB和△BMP相似，可分两种情况进行解析：①∠MPB＝∠BCD＝90°时，点P在x轴上，∵M(1，﹣6)，B(3，0)，∴PM＝6，BP＝2，∴，∴＝，∵∠MPB＝∠BCD＝90°，∴△CDB和△PBM，∴P(1，0)；②∠MBP＝∠BCD＝90°时，∵M(1，﹣6)，B(3，0)，∴MB＝2eq\r(10)，∵△CDB和△BPM，∴，∴，解得PM＝，∴点MP的纵坐标为eq\f(20,3)﹣6＝eq\f(2,3)，∴P(1，eq\f(2,3))．综上所述，存在，点P的坐标为(1，0)或(1，eq\f(2,3))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)将点A(﹣2，0)和点B(8，0)代入y＝ax2＋bx＋8，∴，解得，∴y＝﹣eq\f(1,2)x2＋3x＋8；(2)令x＝0，则y＝8，∴C(0，8)，∴S△AOC＝eq\f(1,2)×2×8＝8，S△BOC＝eq\f(1,2)×8×8＝32，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，∴，解得，∴yx＋8，过点P作PG∥y轴交BC于点G，设P(t，﹣eq\f(1,2)t2＋3t＋8)，则G(t，﹣t＋8)，∴PG＝﹣eq\f(1,2)t2＋4t，∴S△BCP＝eq\f(1,2)×8×(﹣eq\f(1,2)t2＋4t)＝﹣2t2＋16t，∴S四边形PBOC＝S△BOC＋S△BCP＝32﹣2t2＋16t，∴S＝S四边形PBOC﹣S△AOC＝﹣2t2＋16t＋24＝﹣2(t﹣4)2＋56，∵点P是第一象限，∴0＜t＜8，∴当t＝4时，S有最大值56，此时P(4，12)；(3)∵OB＝OC＝8，∴△BCD是等腰直角三角形，∵直线BC的解析式为y＝﹣x＋8，∴E(3，5)，设M(3，m)，N(n，﹣eq\f(1,2)n2＋3n＋8)，①当∠NME＝90°，ME＝MN时，△OBC∽△MNE，∴MN∥x轴，∴m＝﹣eq\f(1,2)n2＋3n＋8，∵ME＝m﹣5，MN＝n﹣3，∴m﹣5＝n﹣3，∴n＝6或n＝﹣2，∵n＞1，∴n＝6，∴m＝8，∴M(3，8)；②存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△BOC相似，理由如下：当∠MEN＝90°，EN＝ME时，△MNE∽△BOC，∴ME＝m﹣5，EN＝n＝3，∴MN∥x轴，∴5＝﹣eq\f(1,2)n2＋3n＋8，∴m﹣5＝n﹣3，∴n＝3＋eq\r(15)或n＝3﹣eq\r(15)，∵n＞1，∴n＝3＋eq\r(15)，∴m＝5＋eq\r(15)，∴M(3，5＋eq\r(15))；③当∠MNE＝90°，MN＝EN时，△MNE∽△BOC，过点N作NH⊥l交于H，由①可知H(3，8)，∵M与E点关于H点对称，∴M(3，11)；综上所述：点M的坐标为(3，8)或(3，5＋eq\r(15))或(3，11)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y＝eq\f(1,4)x2＋c经过点A(4，3)，∴3＝4＋c，∴c＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝eq\f(1,4)x2﹣1，顶点B(0，﹣1)；(2)证明：过P作PH⊥l，垂足为H，设点P坐标(m，eq\f(1,4)m2﹣1)，∵l是过点(0，﹣2)且垂直于y轴的直线，∴PH＝eq\f(1,4)m2﹣1＋2＝eq\f(1,4)m2＋1，PO＝eq\f(1,4)m2＋1，∴PO＝PH，即直线l到圆心P的距离等于⊙P的半径，∴经过点O的⊙P与直线l相切；(3)解：存在．理由如下：∵A(4，3)，B(0，﹣1)，C(1，2)，∴BC＝eq\r(10)，AC＝eq\r(10)，AB＝4eq\r(2)．∴BC＝AC，∵PO＝PH，以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，∴PH与BC，PO与AC是对应边，∴，设点P(m，eq\f(1,4)m2﹣1)，则H(m，﹣2)，∴PH＝eq\f(1,4)m2﹣1＋2＝eq\f(1,4)m2＋1，OH＝，∴，∴eq\r(10)×＝eq\r(2)m2＋4eq\r(2)，解得m＝±1．∴点P坐标(1，﹣eq\f(3,4))或(﹣1，﹣eq\f(3,4))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx﹣3的图象与y轴交于C点，∴C(0，﹣3)．∵OB＝OC，点A在点B的左边，∴B(3，0)．∵点A的坐标为(﹣1，0)，由题意可得，解得：，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)∵二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣2)2﹣4，∴二次函数顶点坐标为(1，﹣4)，∴当x＝1时，y最小值＝﹣4，∵当0≤x≤1时，y随着x的增大而减小，∴当x＝0时，y最大值＝﹣3，∵当1＜x≤4时，y随着x的增大而增大，∴当x＝4时，y最大值＝5．∴当0≤x≤4时，函数的最大值为5，最小值为﹣4；(3)存在点P，设P(0，m)，如图，∵点C'与点C关于该抛物线的对称轴直线x＝1对称，C(0，﹣3)．∴C′(2，﹣3)．∴CC'∥OB，∵△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边，∴，即：，解得：m＝﹣0或m＝﹣eq\f(9,5)，∴存在，P(0，﹣9)或P(0，﹣eq\f(9,5))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，将A(﹣2，0)，B(﹣3，3)代入，∴，解得，∴y＝x2＋2x，∴C(﹣1，﹣1)；(2)①∵P的横坐标为t，∴P(t，t2＋2t)，设直线BO的解析式为y＝kx，∴﹣3k＝3，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x，过点P作PG⊥x轴交BO于点G，∴E(t，﹣t)∴PG＝﹣t﹣t2﹣2t＝﹣t2﹣3t，∴S＝eq\f(1,2)×3×(﹣t2﹣3t)＝﹣eq\f(3,2)(t＋eq\f(3,2))2＋eq\f(27,8)，∵﹣3＜t＜0，∴t＝﹣eq\f(3,2)时，S有最大值eq\f(27,8)；②∵y＝x2＋2x，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设E(﹣1，m)，当AO为平行四边形的对角线时，，解得，∴P(﹣1，﹣1)；当AP为平行四边形的对角线时，，解得，∴P(1，3)；当AE为平行四边形的对角线时，，解得，∴P(﹣3，3)；综上所述：P点坐标为(﹣1，﹣1)或(1，3)或(﹣3，3)；(3)存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，理由如下：∵B(﹣3，3)，C(﹣1，﹣1)，∴BO＝3eq\r(2)，OC＝eq\r(2)，BC＝2eq\r(5)，∴BO2＋CO2＝BC2，∴△COB为直角三角形，∠BOC＝90°，∴tan∠CBO＝eq\f(1,3)，∵PM⊥AM，∴∠BOC＝∠PMA，设P(m，m2＋2m)(t＜0)，∴PM＝m2＋2m，AM＝﹣2﹣m，当∠MPA＝∠OBC时，＝，解得m＝﹣2(舍)或m＝﹣3，∴P(﹣3，3)；当∠PAM＝∠OBC时，＝，解得m＝﹣2(舍)或m＝﹣eq\f(1,3)，∴P(﹣eq\f(1,3)，﹣eq\f(5,9))；综上所述：P点坐标为(﹣3，3)或(﹣eq\f(1,3)，﹣eq\f(5,9))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)过点C'作C′M⊥x轴，垂足为M，如图：∵由题意可知△OAB和△C′DE是等边三角形，∴∠BAO＝∠BAC'＝60°，AO＝AC'＝2，∴∠C'AM＝180°﹣∠BAO﹣∠BAC'＝60°，∴C'M＝AC'•sin∠C'AM＝2sin60°＝eq\r(3)，AM＝AC'•cos∠C'AM＝2cos60°＝1，∴OM＝OA＋AM＝2＋1＝3，∴C'(3，eq\r(3))，∵A(2，0)，O(0，0)在抛物线上，故设抛物线的解析式y＝ax(x﹣2)，∴将C'(3，eq\r(3))代入得3a＝eq\r(3)，解得a＝eq\f(\r(3),3)，∴y＝eq\f(\r(3),3)x2﹣eq\f(2\r(3),3)x；(2)过P作PQ⊥x轴，交OC'于Q，连接PC'，OP，如图：设OC'的表达式为：y＝kx，由(1)知C'(3，eq\r(3))，∴eq\r(3)＝3k，解得k＝eq\f(\r(3),3)，∴OC'的表达式为y＝eq\f(\r(3),3)x，设P点的横坐标为m，则有：P(m，eq\f(\r(3),3)m2﹣eq\f(2\r(3),3)m)，Q(m，eq\f(\r(3),3)m)，∴PQ＝﹣eq\f(\r(3),3)m2＋eq\r(3)m，∴S△C'OP＝eq\f(1,2)×3×(﹣eq\f(\r(3),3)m2＋eq\r(3)m)＝﹣eq\f(\r(3),2)(m﹣eq\f(3,2))2＋eq\f(9,8)eq\r(3)，∴当m＝eq\f(3,2)时，△C'OP的最大面积为eq\f(9,8)eq\r(3)；(3)抛物线上存在一点M，使得△BOF与△AOM相似，理由如下：∵BF与⊙G相切，∴∠ABF＝90°，∵∠BAF＝60°，AB＝OA＝2，∴AF＝4，OF＝2，∵∠BOF＝180°﹣∠BOA＝120°，∴△BOF为顶角为120°的等腰三角形①AO＝AM＝2时，点M与点C'重合，如图：此时∠OAC’＝120°，∴∠BOF＝∠OAC'，＝，∴△BOF∽△MAO，此时M(3，eq\r(3))；②OA＝OM＝2时，点M与点C'关于抛物线对称轴直线x＝1对称，如图：由对称性可知，此时∠AOM＝120°，∴△BOF∽△AOM，∴M(﹣1,eq\r(3))；③MO＝MA时，点M为抛物线顶点(1，﹣eq\f(\r(3),3))，此时tan∠AOM＝eq\f(\r(3),3)，∴∠AOM＝30°，∴∠AOM＝∠OAM＝30°＝∠BFO＝∠FBO，∴△BOF∽AMO，∴M(1，﹣eq\f(\r(3),3))，综上所述，M的坐标为：(3，eq\r(3))，(﹣1，eq\r(3))，(1，﹣eq\f(\r(3),3))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由y＝﹣x＋3，令y＝0，则﹣x＋3＝0，解得x＝3，∴A(3，0)，将C(0，﹣3)代入y＝x2＋bx＋c，得c＝﹣3，将A(3，0)代入y＝x2＋bx﹣3，得b＝﹣2，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；(2)由平移性质可得DE＝AC，DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形，∴CE＝AD，CE∥AD，设点D(a，a2﹣2a﹣3)，∵点A(3，0)向下平移3个单位，再向左平移3个单位可以得到点C(0，﹣3)，∴点D向下平移3个单位，再向左平移3个单位可以得到点E，∴E(a﹣3，a2﹣2a﹣6)，将点E坐标代入y＝﹣x＋3，得：3﹣a＋3＝a2﹣2a﹣6，解得a1＝﹣3(不符合题意舍去)，a2＝4，把a＝4代入y＝x2﹣2x﹣3，y＝5，∴D(4，5)；(3)∵PF∥y轴，∴∠OCM＝∠CFP，∴∠CFP≠90°，①如图，过点D作DG⊥y轴于G，当∠CPF＝∠COM＝90°时，△COM∽△FPC，∵y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，PC∥x轴，C(0，﹣3)，∴P(2，﹣3)，∴PC＝2，∵D(4，5)，C(0，﹣3)，∴tan∠DCG＝，∴tan∠CFP＝eq\f(1,2)，∴PF＝2CP＝4；②如图，过点D作DG⊥y轴于G，过点C作CH⊥PF于H，当∠PCF＝∠COM＝90°时，△COM∽△FCP，∵∠CPF＋∠PCH＝90°，∠CPF＋∠CFH＝90°∴∠PCH＝∠CFH＝∠DCG，∴tan∠PCH＝tan∠CFH＝eq\f(1,2)，∴PH＝eq\f(1,2)CH，FH＝2CH，∴PF＝eq\f(5,2)CH，设直线CD的解析式为y＝kx＋m，∵C(0，﹣3)、D(4，5)，∴，∴，∴直线CD的解析式为lCD：y＝2x﹣3，设P(n，n2﹣2n＋3)，F(n，2n﹣3)，PF＝2n﹣3﹣(n2﹣2n＋3)＝﹣n2＋4n，∴﹣n2＋4n＝eq\f(5,2)n即2n2﹣3n＝0，解得：n＝eq\f(3,2)，n＝0(舍去)，∴PF＝eq\f(15,4)，综上所述，存在点P，使得以P，C，F为顶点的三角形与△COM相似，此时PF＝4或eq\f(15,4)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的顶点D坐标为(1，4)，∴y＝﹣(x﹣1)2＋4＝﹣x2＋2x﹣1＋4＝﹣x2＋2x＋3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；(2)①当y＝0时，﹣x2＋2x＋3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A(﹣1，0)，B(3，0)，∴1＜m＜3，设E点的横坐标为t，∵m﹣1＝1﹣t，∴t＝2﹣m，∴点E的横坐标为2﹣m；故答案为：2﹣m；②设F(m，﹣m2＋2m＋3)(1＜m＜3)，则E(2﹣m，﹣m2＋2m＋3)，∵矩形EFGH为正方形，∴FG＝FE，即﹣m2＋2m＋3＝m﹣(2﹣m)，整理得m2＝5，解得m1＝﹣eq\r(5)(舍去)，m2＝eq\r(5)，∴G点坐标为(eq\r(5)，0)；③过点D作DM⊥x轴于M，∵EG⊥AD，而DM⊥x轴，∴∠1＝∠4，∴Rt△GEH∽Rt△DAM，∴，即∴GH＝2EH，即2m﹣2＝2(﹣m2＋2m＋3)，整理得m2﹣m﹣4＝0，解得m1＝(舍去)，m2＝，∴G点坐标为(，0)；(3)设AD交EF于Q，如图，∵FP⊥AD，∴∠DPF＝90°，∵△DFP与△DAM相似∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，而FP⊥DQ，∴△FDQ为等腰三角形，∴FD＝FQ，设直线AD的解析式为y＝px＋q，把A(﹣1，0)，D(1，4)代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝2x＋2，当y＝﹣m2＋2m＋3时，2x＋2＝﹣m2＋2m＋3，解得x＝﹣eq\f(1,2)m2＋m＋eq\f(1,2)，则Q(﹣eq\f(1,2)m2＋m＋eq\f(1,2)，﹣m2＋2m＋3)，∴FQ＝m﹣(﹣eq\f(1,2)m2＋m＋eq\f(1,2))＝eq\f(1,2)m2﹣eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(m＋1)(m﹣1)，而DF2＝(m﹣1)2＋(﹣m2＋2m＋3﹣4)2＝(m﹣1)2＋(m﹣1)4，∴(m﹣1)2＋(m﹣1)4＝[eq\f(1,2)(m＋1)(m﹣1)]2，而m≠1，∴1＋(m﹣1)2＝eq\f(1,4)(m＋1)2整理得3m2﹣10m＋7＝0，解得m1＝1(舍去)，m2＝eq\f(7,3)，∴F点坐标为(eq\f(7,3)，eq\f(20,9))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y＝﹣(x﹣1)2＋k的对称轴为直线x＝1，OB＝3OA，∴OB＝3，OA＝1，∴B(3，0)，A(﹣1，0)，把B(3，0)代入y＝﹣(x﹣1)2＋k，得0＝﹣(3﹣1)2＋k，解得：k＝4，∴y＝﹣(x﹣1)2＋4＝﹣x2＋2x＋3，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；(2)设P(t，﹣t2＋2t＋3)，∴eq\f(1,2)t＋b＝﹣t2＋2t＋3，∴b＝﹣t2＋eq\f(3,2)t＋3，∴直线PE的解析式为y＝eq\f(1,2)x﹣t2＋eq\f(3,2)t＋3，设直线BC的解析式为y＝kx＋d，∵B(3，0)，C(0，3)，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3，过点P作PH∥y轴交BC于点H，过点E作EK⊥PH于点K，如图①，则H(t，﹣t＋3)，∴PH＝﹣t2＋2t＋3﹣(﹣t＋3)＝﹣t2＋3t，联立得：，解得：，∴E(eq\f(2,3)t2﹣t，﹣eq\f(2,3)t2＋t＋3)，∴K(t，﹣eq\f(2,3)t2＋t＋3)，∴EK＝KH＝﹣eq\f(2,3)t2＋2t，PK＝﹣t2＋2t＋3﹣(﹣eq\f(2,3)t2＋t＋3)＝﹣eq\f(1,3)t2＋t，∴EK＝2PK，∵EK⊥PH，∴PE＝eq\r(5)PK＝﹣eq\f(\r(5),3)(t﹣eq\f(3,2))2＋eq\f(3,4)eq\r(5)，∴当t≥eq\f(3,2)时，线段PE的长度随着t的增大而减小，又∵点P在第一象限，∴0＜t＜3，∴当线段PE的长度随着t的增大而减小时，eq\f(3,2)≤t＜3；(3)∵直线m∥BC，∴设直线m的解析式为y＝﹣x＋n，把A(﹣1，0)代入得：1＋n＝0，解得：n＝﹣1，∴直线m的解析式为y＝﹣x﹣1，当△CPQ∽△AOC时，则＝＝，∠CPQ＝∠AOC＝90°，过点P作PE⊥y轴于点E，过点Q作QF⊥PE于点F，∵P(t，﹣t2＋2t＋3)，C(0，3)，∴E(0，﹣t2＋2t＋3)，则PE＝|t|，CE＝|t2﹣2t|，∵∠PEC＝∠QFP＝90°，∴∠CPE＋∠PCE＝90°，∵∠CPE＋∠QPF＝90°，∴∠PCE＝∠QPF，∴△PCE∽△QPF，∴＝＝＝，∴PF＝3CE＝3(t2﹣2t)，QF＝3PE＝3t，∴EF＝t﹣3(t2﹣2t)＝﹣3t2＋7t，QF＝3t，∴Q(﹣3t2＋7t，﹣t2﹣t＋3)，把Q(﹣3t2＋7t，﹣t2﹣t＋3)代入y＝﹣x﹣1，得﹣t2﹣t＋3＝﹣(﹣3t2＋7t)﹣1，解得：t＝2或﹣eq\f(1,2)，∴P(2，3)或(﹣eq\f(1,2)，eq\f(7,4))；当△CPQ∽△COA时，＝＝，∠CPQ＝∠AOC＝90°，同理可得：＝＝＝，Q(﹣t2＋t，﹣t2＋t＋3)，代入y＝﹣x﹣1，得﹣t2＋t＋3＝﹣(﹣t2＋t)﹣1，解得：t＝，∵点P在直线m上方，∴﹣1＜t＜4，∴P(，)或(，)；综上所述，点P的坐标为(2，3)或(﹣，)或(，)或(，)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵(x1，y1)，(x2，