2019-2020学年安徽省六安市第一高二上学期开学考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省六安市第一高二上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．若集合，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解出A，B集合，即可选出答案。【详解】A集合：或B集合：根据不等式关系知。选A【点睛】本题主要考查集合与集合之间的关系，属于基础题。2．已知方程有两个正根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据实根分布列方程组，解得实数的取值范围.【详解】因为方程有两个正根，所以，选D.【点睛】研究二次方程实根分布，一般需从以下四个方面研究（1）开口方向，（2）判别式，（3）对称轴，（4）区间端点函数值.3．已知，则为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用三角恒等变换化简可得.根据解出，再代入公式即可。【详解】即又故选A.【点睛】本题考查三角恒等变换、余弦的二倍角公式，属于基础题。4．已知点是所在平面内一点，且满足，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，根据向量的线性运算可得，进而得到，即可求得，得到答案.【详解】由题意，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，利用向量的三角形法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．3【答案】B【解析】先由三视图判断该几何体为底面是直角三角形的直三棱柱，由棱柱的体积公式即可求出结果.【详解】据三视图分析知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，且三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和，三棱柱的高为，所以该几何体的体积.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图求几何体的体积，属于基础题型.6．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值为()A． B．9C．18 D．27【答案】B【解析】利用对数换底公式化简即可得到结果.【详解】由题意得，∴＝2，即lgm＝2lg3＝lg9.∴m＝9，故选：B.【点睛】本题考查了对数换底公式，考查了计算能力，属于基础题.7．设等比数列的前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列性质得，成等比数列，即，解方程即得解.【详解】由等比数列性质得，成等比数列，即,故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即成等比数列.8．已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：①若，，，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假．【详解】①若，，，如图，则与不一定垂直，故①为假命题；②若，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则；故②为真命题；③若，则，故③为真命题；④若，如图，则与可能相交，故④为假命题．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．9．在中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【详解】对于A,，三角形只有一解；对于B，，三角形只有一解；对于C，，又a>b,∴角B为小于的锐角，即三角形只有一解；对于D，，又a<b,∴角B为锐角或钝角，即三角形有两解，故选D10．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos（2x）的图象上所有的点()A．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度C．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度【答案】B【解析】利用诱导公式、函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律，得出结论．【详解】将函数ycos（2x）的图象上所有的点横伸长到原来的2倍，可得ycos（x）的图象，再向右平移个单位，可得yos（x）sinx的图象，故选：B．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律，属于基础题．11．已知在平面直角坐标系中，圆：与圆：交于，两点，若，则实数的值为（）A.1 B.2 C.-1 D.-2【答案】D【解析】由可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.【详解】因为，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，，，三点共线，所以，得，故选D.【点睛】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.12．设函数，若恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】通过f（x）恰有2个不同的零点，转化判断①两个零点一个大于1一个小于1，②两个零点均大于1，结合图象，推出结果．【详解】，易知当时，函数无零点.当时，分两种情况：①两个零点一个大于1一个小于1，如图：则，解得；②两个零点均大于1，如图：则，解得.综上，实数的取值范围为.故选C.【点睛】本题考查函数的零点的应用，函数与方程的应用，考查数形结合思想及分类讨论思想的应用，属于较难题．二、填空题13．设等差数列，的前项和分别为，，若，则__________．【答案】【解析】分析：首先根据等差数列的性质得到，利用分数的性质，将项的比值转化为和的比值，从而求得结果.详解：根据题意有，所以答案是.点睛：该题考查的是有关等差数列的性质的问题，将两个等差数列的项的比值可以转化为其和的比值，结论为，从而求得结果.14．已知，满足，则_____。【答案】-5【解析】将5代入函数，得到，将-5代入函数即可求出答案。【详解】【点睛】本题考查奇函数的相关性质，属于基础题。15．给出下列四个命题：①函数的一条对称轴是；②函数的图象关于点中心对称③中，，则为等腰三角形；④若，则的最小值为。以上四个命题中正确命题的序号为_______。（填出所有正确命题的序号）【答案】①④【解析】①求出函数的对称轴是比较即可，②将函数化简为，再求对称中心。③由，知或.④，则再求最小值。【详解】①函数的对称轴是,当k=1时，。故正确②函数的图象关于点对称。故错误③或.即为等腰三角形或直角三角形。故错误④，将代入得所以。故正确故选①④【点睛】本题考查三角函数的对称轴、对称中心、根据三角函数值判断三角形的形状以及含三角函数的二次函数的最值，属于中档题。16．在三棱锥中，，，二面角的余弦值是，若都在同一球面上，则该球的表面积是____。【答案】【解析】根据所给信息判断出平面，再计算外接球半径，接着计算表面积。【详解】取AC中点为D，并连接SD、BD,因为，所以,即二面角的平面角为即,在中,在中,在中所以平面.设三棱锥的外接球半径为R,则所以外接球表面积为【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积，重点在于将三棱锥还原到长方体的顶点中，利用三棱锥的外接球等价于长方体的外接球长方体，求出三棱锥外接球。属于中档题。三、解答题17．已知平面内两点。（1）求的垂直平分线方程；（2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程。【答案】（1）；（2）和【解析】(1)求出中点坐标为，计算出MN两点的斜率，根据两直线垂直斜率乘积等于-1计算出中垂线的斜率，再利用点斜式写出中垂线即可。(2)点和点到直线的距离相等等价于直线与直线MN平行或直线过的中点。【详解】（1）易求得中点坐标为。又，所以的中垂线的斜率为，的中垂线的方程为即。（2）由（1）知，，所以直线的方程为，直线经过点得，综上：为和【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，属于基础题。18．设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：，函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.(2)由函数的解析式可得：.据此可得函数的值域为：.【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．如图，在单位正方体中，分别是的中点。（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使平面？若存在，求点到平面的距离；若不存在，请说明理由。【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点到平面的距离为。【解析】（1）取的中点，连接，证明平面平面，即可说明平面。（2）取的中点，连接，通过说明、证明平面。【详解】解：（1）证明：取的中点，连接，∵分别是的中点，∴，平面，平面，，平面，平面，，∴平面平面，而平面，∴平面。（2）取的中点，连接，易知，而为中点，∴，连接，则，∵正方体棱长为1，在中，，在中，，在中，，∴；即，故，又，平面，，∴平面。点到平面的距离为。【点睛】本题考查线面平行、线面垂直与利用几何关系求点到平面的距离，属于中档题。20．已知圆经过两点，且圆心在直线上，直线的方程为。（1）求圆的方程；（2）证明：直线与圆恒相交；（3）求直线被圆截得的弦长的取值范围。【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）设圆的一般方程，将PQ点代入方程，将圆心代入直线，解方程组，即可。（2）求出直线：过定点，说明点M在圆内，即可。（3）当直线过圆心时弦长有最大值10,当直线与过圆心与定点的直线垂直时有最小值。【详解】（1）设圆的方程为，由条件得，解得∴圆的方程为；（2）由，得，令，得，即直线过定点，由，知点在圆内，∴直线与圆恒相交。（3）圆心，半径为5，由题意知，当点满足垂直于直线时，弦长最短，直线被圆心截得的最短弦长为，直径最长10，弦长的取值范围为。【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题。21．已知奇函数的定义域为[-1,1]，当时，。（1）求函数在上的值域；（2）若时，函数的最小值为-2，求实数λ的值。【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f（x）在上的值域．（2）根据f（x）的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数λ的值．【详解】（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）2x．又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）＝﹣f（x），所以当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝2x，所以在上的值域为（1，2]，（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，所以f（x）∈（，1]．令tf（x），则t≤1，g（t）f2（x）f（x）+1＝t2﹣λt+11，①当，即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，②当1，即1＜λ≤2时，g（t）min＝g（）＝12，解得λ＝±2（舍去）．③当1，即λ＞2时，g（t）min＝g（1）＝﹣2，解得λ＝4，综上所述，λ＝4．【点睛】本题主要考查指数函数的单调性，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．22．甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在A,B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个能容纳1千克药水的药瓶,他们从A,B两个喷雾器中分别取1千克的药水,将A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A中,这样操作进行了n次后,A喷雾器中药水的浓度为an%,B喷雾器中药水的浓度为bn%.(1)证明an+bn是一个常数；(2)求an与an-1的关系式；(3)求an的表达式.【答案】(1)见解析；(2)an=an-1+；(3)an=3()n+9.【解析】(1)显然不论如何操作,两种农药中含有的溶质是不变的,这是问题的实际应用;(2)建立第n-1次操作后两种药水的浓度和第n次操作后A喷雾器中药水浓度的关系式;(3)利用(1)(2)的结果求解递推数列.【详解】(1)开始时,A中含有10×12%=1.2千克的农药,B中含有10×6%=0.6千克的农药,n次操作后,A中含有10×an%=0.1an千克的农药,B中含有10×bn%=0.1bn千克的农药,它们的和应与开始时农药的质量和相等,从而有0.1an