苏教版数学必修一 集合全章节教案(知识讲解经典例题)巩固练习

集及合表【习标1.了解集合的含义，会使用符号“

”表示元素与集合之间的关系．2.能选择自然语言、集合语言（举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义作用．3.理解集合的特征性质，会用集的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图的集合等．【点理集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领中得到应用要一集的关念1．集合理论创始人康托尔称集为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总.2．一般地，研究对象统称为元(element)，一些元素组成的总体叫集(，简称集要诠：（）于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它一个整体，也就是一个班集体．（要注意组成集合“对象的泛性一面任何一个确定的对象都可以组成一个集合人、动物数方不式等都可以作为组成集合的对象另一方面就集合本身也可以作为集合对象，如上面所提到的集合A，以作为以“我们高一年级各班”组成的集合B的素．3．关于集合的元素的特征(1)确定性设A是个给定的集合x某一个具体对象则x或者A的素或不是A的元，两种情况必有一种且只有一种成.(2)互异性：一个给定集合中的素，指属于这个集合的互不相同的个对)，因此，同一集合不应重复出现同一元素(3)无序性：集合中的元素的次无先后之如：由，2，组的集合，也可以写成由1，3，组成一个集合，它们都表示同一个集.要诠：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性4．元素与集合的关系：(1)如果是集A的素，就于belongto)A记作

A(2)如果不是合A的素，就说a属于notbelong，作5．集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集称为空(，记作：.(2)有限集：含有有限个元素的合叫做有限(3)无限集：含有无限个元素的合叫做无限6．常用数集及其表示非负整数集或然数集，记作N

aA正整数集，记作N整数集，记作Z

或N

有理数集，记作Q实数集，记作R要二集的示法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和述法来表示集合1.自语言法用文字叙述的式描述集合的方.大于等于2且于等于8的数构成的集.

2.列法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号如{1，，3，，5}，{x，，5y-xx+y}，„3.描述法：把集合中的元素的公属性描述出来，写在大括}内具方法：在大括号内先上表示这个集合元素的一般符号及取(或变化范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元所具有的共同特征.要诠：（）描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么数，还是有实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．（）描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．4.图示法：图示法主要包括Venn图数轴上的区间为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图.如下图，就表示合23【型题类一集的念元的质例1.下列各组对象哪些能构成个集合？(1)著名的数学家；比小的正整数的全体(3)某校2011年校的所有高个子同学(4)不过20的非负数；(5)方程

x

在实数范围内的解）2的似值的全体【答案】）【解析】从集合元素的“确定三特性判.“著名的数学家小的正整数子同学”对象不确定，所以1)、(2)）是集合，同理(6)也不是集合.(4)）构成集合，故答案(4)）.【总结升华】(1)判断指定的对象能不能构成合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序.(2)“有限集”和“无限集”是过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，不一定是无限集举反：【变式】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限(1)你所在的班，体重超过75kg的学生的全体(2)办年奥运会的城市(3)高一数学课本的所有难题；(4)在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体(5)大于且于1的有实.【答案】集合：1）、（）（）、（）；有限集：）、（）、（4）．【解析】紧扣“集合”的定义解决问.(1)你所在的班，体重超过75kg的学生是确定的，不同的，能组成一个集合，且为有限集；(2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；(3)不能构成集.“难题”的概是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.(4)在年3月11日日本地海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，是有限.(5)大且小1的有的实也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限例2．集合

由形如

m3(,)

的数构成的，判断是是集合3

中的元素？【答案】是

11122211221112221122【解析】由分母有理化得，

123

3

.由中集合

可知

mn1,

均有

m,n

，1，即.2【总结升华解本题首先要理

与

的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，能否化成此形式，进而去判断是是集合32

中的元.（）断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同征此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形.举反：【变式】设

Z}(1)若

Z，则是否有a

S？(2)对中意两个元素x，，则xx·是否属于集合S？【答案】是【解析】若a

，则

S，即n=0时，x

，a

S；x，，x=m++(m,n,nm))(Z,)1112122x=(m+2n)2nn)111222∵，，m，，mm+2nn，n∴·类二元与合关例3.（北西城区学探诊）给出下列六个关系：（1

*

（2）

{11}（3）

{0}（4

（5{0}{01}

（）{0}{0}其中正确的关系是．【答案）【思路点拨】首先要熟悉集合的用符号，空集，记作

，表示自然数集，

N

或

*

表示正整数集，Z表正整数集Q表有理数集，R表实数集；然后要明确元素与集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的性质．给定一个对象a它与一个给定的集合之的关系

a

，或者

a

，二者必居其一．解答这类问题的关键是：弄清a的构，弄清A的征，然后才能下结论．【解析）0不正整数，故错误；（2是集{11}的元素，故正确；（3空集是一个集合，使用的符号错误，故错误；（4空集是任何一个集合的真子集，故正确；（5是集合与集合的关系，应该使用符号

或

，故错误；（6一个集合是它本身的子集，故正确．【总结升华本题主要是区别0{0}

和非空数集以及常用的集合之间的关系类问题在解答时，既要熟悉集合的常用符号，又要明确元素与集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的质，特别是{与最容易混淆，必须在学习中引起足够的重视．举反：【变式】用符“

”或“

”填空

（）A=Z,则

12

A

；

A

.（）

B2

则

12

；

.【答案】（）

，

（）

，

类三集中素质应合

ABxy(),x,例4.定义集合运算：A的所有元素之和为

，则集A.0B.6C.12D.18【答案】D【解析Bxy(),x,

当

B于是的有元素之和为0+6+12=18.【总结升华】这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证是集合命题的一个新方向常的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类.举反：【变式1定义集合运算：

AA,y

的所有元素之和为（）A.0B.2C.3D.【答案】【解析xyxyBz的取值有：，，A故

，

集A的有元素之和为：例5.设合={xR|

x

}，当集合A单元素集时，求实数的.【答案】，【解析】由集合

中只含有一个元素可得，方程ax+2x+1=0有解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当a=0时，可得是一次方程，故足题.当a≠时则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为时的的值，可求得为a=1.故a的取为01.例6.已知集合

2

A

，求实数

a

的值及集合

.【答案】

0

，

【解析）若

a则

.所以

素的互异性矛盾，则

应舍去（）

(2

，a或

，当

0

时，

xxBxxB当

时，

元的互异性矛盾，则

应舍去（）

a，a

，由上分析知

均应舍去综上，0集合A【总结升华本题中由于1和合中素的对应关系不明确故要分类讨此类问题在解答时既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易视，必须在学习中引起足够的重视.举反：【变式】已知集合

A

3

，求实数

的值【答案】

a【解析】当

，即

时，

念矛，故舍去当

即

时，

不满足题意舍去，故

.类四集的示法例7．试分别用列举法和描述法示下列集合：(1)方程

x

的所有实数根组成的集合；(2)由大于15小于25的所整组成的集.【答案）

{3}

）

【解析】设方程

x2的实数根为x，并且满足条件2因此，用描述法表示为

x|x，xR}

；方程

x

有两个实数根

3因此，用列举法表示为

A{3}

.(2)设大于15小于25的整为，它满足条件

xZ

，且15<x<25，因此，用描述法表示为

B{x|15x，}

；大于15小25的整数有16，1718，1920，212223，，因此，用列举法表示为【总结升华列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用（）举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且目了然（）描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性.举反：【变式2014湖北宜昌期中）下列四个选项表示的集合，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A

a

．

D．

【答案C【解析】本题是描述法与列举法互化，一定要理解描述法的定义．选项AB都描述法，用列举法表示{0}选项D是举法，其中的元素是，而选项C，是列举法，其中的元素是，故选C【总结升华通此例题，应该明确用描述表示集合应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表素是什么数还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了他字母

222,来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．【变式】用适当的方法表示下列集合：（1比5大的数；（2方程

x

2

y

2

x

的解集；（3二次函数y的象上的所有点组的集合．【答案）x2【解析）5大数显然是，故可表示为

（2方程

x

2

y

2

x可化为(x2)

2

2

，方程的解集为y（3用描述法表示为y)y【总结升华】用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．【固习】1．下列条件所指对象能构成集的是()A．与非接近的数B．班喜欢跳舞的同学C．我校学生中的团员D．班的高个子学生2．下列四个集合中，是空集的(A．

{x

B．

{(x,)y

2

,x,R}C．

{|x20}．{|x20,xR}3．集合

|(3xx（）A．

B．

C．4

D．,4．下面有四个命题：(1)集合

中最小的数是1；若

不属于

，则

a

属于

；(3)若

b

则

的最小值为2；(4)

x2x

的解可表示为

其中正确命题的个数()A．0个B．1个C．个．5．若以集合

c元为边长可构成一三角形，则这个三角形一定不()A．锐角三角形B．直角三角．钝角三角形D．等腰三角形6．设

，则不等式

的解集为（）

A．

x|x

1a

B．

CxD．

xx

1a

2014广东湛江期中）设集A2

，则有A

A

B

．{}

D．{}8.方组

xy集用列法表示为.x2014北京西城期中）设a，b∈，合

,b

ba

,b

，则－a=

．10．由

|||(a,)a

所确定的实数集合是.11．用描述法表示的集合

xR.12．已知集合N|

86

，试用列举法表示集合.北西城学探诊集满条件R0且1

11

A

．（1若A，则中少有多少个元素；（2证明：

中不可能只有一个元．14．知集合

={x

R

|

x

，

R

}，

中元素至多只有一个，求实数

的取值范围【案解析1.【答案】C【解析】元素的确定.2.【案D【解析】选项A所表的集合是B所表的集合是，选项C代表的集合是

D中方程

无实数.3.【案】B【解析】解方程得

x1

13

,2

，因为

xZ

，故选B.4.【案A【解析(1)最的数应该是

；(2)反：

，但

0.5

；(3)当

ba

；元素的互异性.5.【案D【解析】元素的互异性

.

6.【案A【解析】不等式两边同除以一负数，不等号的方向改.7案A【解析】集合A的元素是所有的奇数组成的，而a=5，是奇数所以a是集合A中元素，根据元素与集合的关系，故选A8.【案】

【解析】加减消元法，解二元次方程组，解集是点.9案b－=2【解析】∵

,

ba

,b

b，∴a+b=0（去，否则无义a∴a+或

ba

，∴－1∈

,b1∵a+，，∴－a=210.【案】

【解析】分别对a,b进行讨论，去掉绝对值，得到集合中的三个元素-2,0,2.11.【案】

【解析】

y2

，

x

，y

.12.【案】

【解析】由题意可知6是8的正约数，当

；当x

；当

；68,x而，x2,4,5，A案）

1,2

三个元素（）略【解析）

A

，则

11

，∴

1112

，∴

11

12

A

．∴

中至少有

12

,2

三个元素．（2假设

中只有一个元素，设这个元素为，由已知

11

A

，即

a2

，此方程无实数解，这与中只有一个元素矛盾，所以A中可能只有一个元素．0或14.【案【解析）0时，原方程为

2，x

12

,

符合题意；（）时方程

x

为一元二次方程，依题意

，得.

综上，实数的值范围是或0.子、集补【习标1.理解集合之间包含与相等的含，能识别一些给定集合的子集；了解空集和全集的含义；2.理解在给定集合中一个子集的集的含义，会求给定子集的补集．【点理要一集间“含关子集集合A是合B的分元素构成集合，我们说集合含集合A；子集：如果集合A的任一个元都是集合B的素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是合B的集subset).记：

AB(BA)

，当集合A不含于集合B时作B，用Venn表示两个集合间的“包含”关系：

AB(或BA)要诠：（1

是

的子集含是：A

的任何一个元素都是

的元素由意的

xA

能推出

x

．（2当

不是

的子集时，我们记作“

AB

(或

)作

不包含于

“

不包含

真子若合

AB

存在元素

B且

xA

则集合A是合的真集propersubset).记作：B(或BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子.集合集之的相等关AB且A

，则A与B中的元素是一样的，此A=B要诠：任何一个集合是它本身的子集，记作．要二全、集

全集：般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集对于全集的个子集，由全集中有不属于集合A的有元素组成集合称为集合相对于全集U的集set)为合的补A；即A={x|xU且A}；UU补集的图示：要诠：（1）解补集概念时，应注意补集ðA对给定的集合A和U(AUU

相对而言的一个概念，一个确定的集合

，对于不同的集合U，补集不同（）集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，

为全集；而当问题扩展到实数集时，则

R

为全集，这时

Z

就不是全集．（）ðA表U为全集时A的集，如果全集换成其他集合（如），则记号中U”也必换成U相应的集合（即A【型题类一集间“含关例1.请断0{0}

R

⑧

？【案②③④⑧【析①错误，因为0是合

素与集合的关，正确；④⑧正确，因为是何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的错误，

是没有任何元素的集合．【结华集合的符号语言十分简洁，因被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含.

举反：【式】适当的符号填空：(1)≤≤1}(2){y|y=2x}{y|y=3x-1}(3){x||x|>1}{x|x>1}；(4){(x，≤≤2}，≤．【案(1)=(2)(3)(4)【结华区分元素与集合间的关系，合与集合间的关.例2.写集{，，的有不同的子.【析不含任何元素子集为

，只含1个元的子集{，{b}{c}，含有2个元素的子集{，b}，{ac}，{b，c}，含有3个素的子集为a，，即含有3个素的集合共有2=8个同子.如果集合增加第4个素d，则上8子集仍是新集合的子集，再将第4个元d放这8个集中，会得到新的8个集，即含有4元素的集合共有=16个不同子集，由此可推测，含有n个素的集合共有2

个不同的子.【结华要写出一个集合的所有子集们可以按子集的元素个数的多少来分别写当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子如本例中要写出2个素的子集时，先a起a与每个元素搭配{，，{a，c}然后不看，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：

和它本.举反：【变式2014广西桂林开学测）满足{1}M{1，2，，5}集合M的数为（）A4B．68D．16【答案D【解析】∵{1}M{1，，4，，∴，，4，4个元素可以选择，即满足{1}M{1，2，4，5}的集合M的数可化为{2，，的集个数；故其有16个集，故选D．【总结升华本考查了集合间的包含关系及集合的子集个数一集合中有个元素则有2个子集，有

n

个真子集．【式】时满足：①

M

M

，则

的非空集合

M

有（）A.16个B.15个C.7个D.个

【案C【析

时6

；

时6

；a2

时

；

时2

；时，

；空集合可是：

共7个故C.【式】知集合A={1，3，a}，}，且B是A的真集，求实数a的值【案，a=或a=0【析∵则有：

，∴，（）=1

a=±1当a=1时与元素的互异不符，a=-1；（）=3a=

3（）=aa=0a=1，舍去a=1，a=0综上：a=-1，a=

3

或a=0.注意：根据集合元素的互异性，需分类讨【清堂集的念表及系377430】例3.设M={x|x=a+1，a，N={x|x=b-4b+5b，则M与N满足)A.M=NB.MNC.NMD.∩N=【案B

【析当a

时元素x=a+1，表正整数的平方加1对的整数，而当b

时，素x=b+1其b-2可以是所以集合中元素是自然数的平方加1对应整数即M中元都在N中，中至有一个元素不在中，即MN，故选B.例4．已知

M{x,y},N{0,y},

若=，则(y)

2

y

2

)

100

y

100

)

=

．A－200B．C－100D0【路拨解答本题应从集合元素的大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．【案D【析由，M，N所元素相.0{0|x|y}知

0x-y}若x=0，xy=0，即x与xy是同元素，破坏了中元素互异性，所以x≠0.

若x·y=0，或y=0，中以上讨论不成立，所以，N中元素0，y是相同元素，坏了N中素的互异性，故xy≠若

0

，则x=y，，可为M={x，，，N={0，，由M=N可知必有x=|x|，即|x|=|x|∴|x|=0或x|=1若即，以上讨论知不立若即x=±当x=1时，中素x|与x相，破坏了元素互异性，故≠当x=-1时，M={-1，，0}，N={0，，-1}合题意，综上可知，x)

2

y

2

)

100

y

100

)

„【结华解答本题易忽视合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．举反：【式】a，b

，集合

{1,a+b,a}={0,

ba

,b}

，则b-a=()【案2【析由元素的三要素及两集合相等的特征：b1,b},0，aab∴当b=1时，a=-1，{0，a当

ba

=1

时，∴b=a且a+b=0，∴舍∴综上：a=-1，b=1，b-a=2.类二全、集【清堂集的算377474例6】例5.设集U={x|x≤8}，∩(CB)={18}(C∩B={2，6}，A)∩(CB)={4，7}，求集合A，B.【案A={1，，，，B={2，，5，【析全集U={1，，，，，，，8}由∩B)={1，知在A中不在中的素有1，；由CA)∩B={2，，不在A中且在B中

22的元素有2，6；由(C∩B)={4，，知不在A且不在B中元素有4，7，则元素3，必在∩B中由集合的图示可得A={1，，，，B={2，，，例已知集合S＝，3，

＋2a－，A＝＋1|，2}，

AS

＝{a3}，求a的．【路拨a的值充挖掘补集的含义，

S,CAS

.个集合是集合A集合

A的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨思想方法的应用．【析由集概念及集合中元素互异性知a应足(1)

＝＝a2－2＋2a－32

①②③

2

＋2a－3≠

④3＝

2

＋

①或(2)

1|＝322a≠2

②③

2

＋≠3

④在(1)中，由①得＝依次代入②③④检验，不合②，故去．在(2)中，由①得＝－3a＝，分别代入②③④检验，＝－3不合②，故去＝能足②③④．故a符合题意．【结华含数问题要分类讨论，类时要做到不重不漏．类三子、集补综应例7福建南安期中）已知集合（Ⅰ）求；；R

A

．（Ⅱ）若

A

，求的取值范围．【思路点拨）画数轴）意否包含端点．【答案）【解析】

x（Ⅰ）∵

AB

,

∴如，

A

；CxxR

或

∴

Ax或R（Ⅱ）画数轴同理可得：

【总结升华】此问题从表面上看集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．举反：【式集合＝{｜≤x≤5}，＝{x｜m≤x≤2m－1}，(1)若B

A，求实数的值范围当x∈Z时求A的空真子集个数.(3)当x∈时没有元素使x∈A与∈同成立，求实的值解：当m＞2m－1即m2时B＝满足B.当m≤2mm2，要使B≤成立，1－需－≤5

，可得2m≤3综上有B(2)当x∈Z时A＝{，－，，，2，3，4，5}所以，A的空真子集个数为－＝254(3)∵x∈，＝{x｜－≤x≤5}，＝{｜＋1≤x≤m－1}，又没有元素使∈与∈同时成立.则①若B＝

即m11，得＜时满足条件12－②若B＝，要满足条件有1综上有＜或m【固习】

1≤－1或－＜2

解＞1．设UR，{|0}，{|x，则A．{x1}B．{0

U

（）

，，C．{0}

D．{x2．知全集，正确表集合{1,0,1}（）

和2（Venn）图是3．若集合

A

，

Bx|，ABA，m的为)A．1B．-1C．或1D．或-或04．已知集合

AB

满足

AB

,那么下列各式中一定成立的是）A．ABB．BAC．

ABB

D．

AA福南安期中）全集

AU

（）A

B

C．

D．

6．设集合

1M{xxk}x,kZ}244

，则()A．

MN

B．

M

C．

M

D．

N2014山西大同期中已集合xRxN

，则满足条件

AB

的集合C的数（）A1B．．3D．8.若集合

xBx|是非质}，C，则C的空集的个为.9．已知集合A＝{x|－≤3}B＝{x|x<a}若AB，则实数a的围．10．设集合

{x2}，B{2且AB，实数k的值范围是.11．已知A

xx

AB

_________.12．已知集合

B

，请写出满足上述条件得集合

M

.

2014山东日期末）已知集合A{x3Bx9}（1求

B,(BAR

；（2已知|，，实数的取值的集.14．已知集合

A

Bp,

的值．15．

设

全

集

U

，

Mmx

，N

2

x0有实数根MU

.【案解析1案B【解析】对于CBU

U

{x0x}

．2案B【解析】由N2

，则

NM

,选B．3.【答案】D【解析】当时

满足

AB，；m时B

,而

，∴

1m

；∴m

.4.【答案】C【解析】

ABABAB案B【解析】∵集合

全集∴

UCAU

∴

U

．故选6.【答案】B【解析】

M:

k奇整；N:44

，整数的范围大于奇数的范围.案C

【解析】由题意，∵Ax)xRxxA3,4∴A又∵∴C3,4,C8.【答案】

，【解析】

集有

4

.9.【答案】a≥3【解析】借助数轴10.【答案】

k|

12

【解析】

k2k

，则

kk

得

12

.11.【答案】

y【解析】

y

2x2

，A{y|y0}，B，BA

.12.【答案】满足条件的集合

M

是

案）Bx

xx2,

或

x

或

）

【解析）显然x

又xðB或R

R

或

x

或

（）

C,

如图,应有

a

C

Ba

x解之得

14.【答案】

q

UU【解析】显然

又

B

，即0-0+

=0，

.由

x0,

解得

x0

或1B，可解得p于q.

，得x1

.15.【答案】

xx

14

【解析】当

m

时，

x

，即

M

；当m时m即

14

，且

∴

m

14

，∴

CM

m|

14

而对于N，n即n

14

，∴N∴

M)U

N并、集【习标理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单的集合并集与交集；【点理要一并一般地，由所有属于集合或属于集合B的素组成的合，称为集合A与B的集，记作∪B读：A并B，：∪={

A，或x

B}Venn表示：要诠：（1x，x”含三种情况：

x但xB”；x但xA；且x

”．

（2两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与的有元素组成的集合（重复元素只出现一次要二交一般地，由属于集合A且于集合的元素所组成的集合，叫做集合与的集；记作∩B，读作：交B，∩={|

A，且

B}交的Venn图示：要诠：（1并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没公共元素时，不能说与没交集，而是

AB

．（2概念中的所”两字的含义是，不仅A中任意元素都是A与B的共元素，同时A与B的公共元素都属于．（3两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合AB所有公共元素组成的集合．要三集基运的些论AA，ABBAA=A，A=AAAABA，AA=A，AAB=BA(A)A)A=UU若AA，则AB，之也成立若AB=B，则AB，之成立若x

（∩B

A且

B若x

（∪

A，或

B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键且”与“或，处理有关交集与并集问题时，常常从这两个字眼出发去揭示题条件，结合V图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．【型题类一并例．集合

B的值为

（）

22p=解出222222222222p=解出2222222222A．BC．2D．【案D【析∵

B∴a故选D．a例．已知={+px+，B={xx

-，若A={1}则∪=（）A．

14{1}33

B．{1}C{1，，-4}D．

14{1，，}33【路拨充分利用集合B是个一元次方程的解集这一条件，再根据B={1}两个方程的根进行求解．【析由题意知集合B是个一元二次方程的解集，若∩={1}，则x是上两个一元二次方程的公共解，即x=1同满两个一元二次方程．2由此可得2p-q+1=0q=3∴

A={x|x

2

211-x-=0}={1,-}333144B={x|x2+x-}3331414AB={1}}={1}3333正确选项为．举反：【式设集合={2，a6}，={2，a，3a-6}，若A，3}求∪B．【析由∩={23}知元素2B两集合中所有的公共元素，所以a则必有

-2a=3，方程

-2a-3=0a=3当a=3时A，，，B={2，，∴∪，，∪｛2，3=2，6，｝当a=-1时，={2，，6}，，，这既不满足条件∩={2，3}也不满足中元素具有互异性，故=-1不题意，应舍去．例）知={xx，={x-x-2=0}，求MP和∩；（2已知A={y=3x}={yx，求：∩B，∪；（3已知集合={-3a，1+}B={a，，2-1}其中，若∩={-3}，求A∪B．

22222222【案（1）{x≥2，{2}）{|0≤4}R）{-4，，，，2}【析（1）P={2，，MP={x≥2=-1}，∩P={2}．（2={y，={y，（3∩={-3}，-3，有：

A∩B={y|0，AR①a-3=-3

，，0，1}，，1，-1}∩B={-3，，与已知不符，≠0；②2=-1，∴，0}，2-3}，符题设条件，B={-412}．【结华此例题既练习集合的算，又考察了集合元素的互异性．其中1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-；而）中结合了二次函数的值域问题中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的个值时，又要检验是否符合题设条件．举反：【清堂集的算377474例5【式设集合={2，a6}，={2，a，3a-6}，若A，3}求∪B．【案｛2，3，18【析由∩={23}知元素2B两集合中所有的公共元素，所以

2a

2

-2a6则必有-2，方程a-2得a=3或a=-1当a=3时A，，，B={2，，∴∪，，∪｛2，3=2，6，｝当a=-1时，={2，，6}，，，这既不满足条件∩={2，3}也不满足中元素具有互异性，故=-1不题意，应舍去．综上A∪B｛2，3，，18｝类二交例．已知，B均集合={1,3,5,7,9}的集，且∩B={3},ðuB∩A={9},则=（{1,3}

（

（C

（D{3,9}【案D【路拨本考查了集合之间的关系、合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问的能力．【析因为={3}所以3∈A，又因为ðu

B={9}，以9∈A，以选D．本题也可以用Venn图的方法帮助理解．

2222例年黑龙江大庆月考）已知集合={x（x－2－3－1＜0}，

{|

xx

，若AB=，求实数取值范围．【思路点拨求出B中等式的解集确定出B，据与B的交集为A得到为的子集，分类讨论a的范围确定出中不等式的解集，即可确定出满足题意的围．【答案】

[

2,]3【解析由B中等式解得：1x＜，即B－15∵∩B=，∴

B，由中不等式x－－－10，当

a

13

，即+1，解得：3a+1＜，此时有1，3

233

；当

a

13

时，=

，满足题意；当

a

13

，即+1，解得：2＜＜+1，此时有，即3

13

，综上，a取值范围为

[

2,]3

．【总结升华此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．举反：【式已知集合={y=+3，x}={yyx-2+8x}则M等（）A．

B．．{-1，9}．[-19]【案D【析集合、N均示构成相关数的因变量取值范围，故可知={y-1}N={≤9}，以MN={|-≤≤9}，．例6．设A＝{x，y）x＋2＝1}B＝{）－＝2}，＝{）x－2＝3}D＝{，y）｜6＋y＝2}，求、∩、AD【路拨A、、C、D的集合都是由直线上点构成其元素∩、BC、∩即为对应直线交点也即方程组的求解．【析因A{，）｜3＋y＝1}B＝{，）｜x－y＝2}

则

yxy

解得

xy∴∩B＝{1－）}又C＝{x，y）｜2－y＝3}，则∴∩C＝

yxy

方程无解y又D＝{，）｜＋4＝2}则y化成x＋2＝∴D＝{，）｜3＋2＝1}【结华A、对直线有一个交点B、C对直线平行，无交点A、对应直线是一条，有无数个交点．类三并、集综应例．已知集合={1,2,3，}，B，，4}，AB，【路拨集合的关系键是研究好集合元素的从属关系，分为二种情形：一是部分属；二是全从属．集合的运算包括交、并和补．【案3【析∵AB，中定有元素3则m=3．【结华集合的关系和运算在考中常常考一个小题，常结合方程的解，不等式的解集，函数的定义域和值域的考查．解题方法是理清元素结合图象图数轴和坐标系）解决．例．已知全集={x≤≤4}，={>a}（1若∩B，实数a的取值范围；（2若∩BA，求实数的值范围；（3若∩B

且A，实数取值范围．【路拨）画数轴）注意是否包含端点．【案）a<4（）a（3）-a<4【析（1={|-≤≤4}={x}又AB（2画数轴同理可得：a；（3画数轴同理可得：如图-≤．

，如图，a<4；

【结华此问题从表面上看是合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．举反：【变式2014广西桂林开学测）已知集合A={x｜1ax2}

x|x

．（1当a－2时求A；（2若∩BA，求的取值范围．【思路点拨）求出中等式的解集确定出，将a=－2代求解集确定出A，找出两集合的交集即可；（2据A与B的交集为得到A为的子集a=0a＞与a＜三情况求出的范围即可．【答案）

1{}2

）[2＋）∪（－∞，－2]∪{0}【解析）B中等式解得：＜x＜，即={－＜x＜1}，把a=2代入中等式解得：1Bx}则；2

11，即{}22

，（2∩=A，∴B，若a=0时A=，足题意；若＞0，

1x}aa

，此时有

，即a；若＜0，

2x}aa

，此时有

，即a－，综上，a范围[，）∪（，－2]{0}．【总结升华此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．【式】知集合

A2

ABB

求实数

的取值范围．【答案】

4,

或

a【解析AB,A

．①当B时此时方程x

无，，得a4,或

．②当B时此时方程x

2

有且仅有一个实数解，

，且

(a

，解得

．

22222222222222综上，实数

的取值范围是

4,

或

a

．【固习】．集合M＝{，}N＝{＋，，为数，若MN{2}则MN＝)ABC．D．{1,2,3}2014年黑龙江大庆月考）设集合={x｜x＞－2}，T={｜－≤x≤，则A，1B∞－C∞1D．[1，∞）．集合A{＝1}，＝{＝1}若B⊆A，则实数a的为)A1B－1C．±1D．

(ðS)R

（）年河南郑州月考图示是集是U的子集阴部分所表示集合）AAB．∪．

)U

D．

(ðB)U．已知MN为集合I的空真子集，且MN不等，若(∁)＝，则MN＝)IAMC．I

B．D．．已知A{1,2,3}，B＝{∈－ax＋＝0∈}则A∩B＝B时值是)A2B．或3C．或3

D．2．若全集U，集合A＝{≥1}{≤0}则∁＝________．U．已知集合M{

xx

，{y＝x＋，∈R}，则MN于________．．已知集合A{∈R||－＜2}为数集，则集合∩中有元素的和等．．已知A={xx

－4－＞0}，B={x－a＜4}，且∪=，实a取的集合．11河南郑州月考）已知集合={x｜－a≤x≤}B={x｜x≤或x≥4}．（1当a=1时，求A∪B；（2若a，且

AB

，求实数取值范围．．已知={2，+2}={07mm2－}满∩={37}求实数的和集合P．．已知A={x＜－＜2}，B={

－（a+1）x+＜0}且∩≠

，试确定取值范围．

222222222222．已知集合A={x|x=m-n，求证：(1)3A

Z，n

Z}．(2)偶数4kZ)属于A．．

，，

，a值？≤x≤5}，≤x≤2m-1}，B【案解析案D【解析】∵∩，∴2∈M,2．∴a1＝，即a＝．又∵M{，b}＝2∴∪＝{1,2,3}．．分析：先求出S的补集，再与T求补集．【答案C

A求m【解析】因为集合={｜＞－2}，T={｜－≤x≤1}则

{xR

，所以

CS){xR

；故选．案D【解析＝{1,1}，∵⊆，∴当＝时＝；当B≠∅时，＝．．分析：由图可知【答案C

)U

即为所求．【解析】由图可知，阴影部分所表示的集合为

(ð)BU

，故选．案A【解析】本小题利用韦恩图解决，根据题意N是M真子集，所以∪N＝．案D【解析】由题意得，当a时方－＋＝0无，集合B＝∅，满足题意；＝时，方程x

－ax＋1＝有个相等的实根，集合B＝{1}，满足题意；当a＝时方程

－ax＋1有个不相等的实根或2

355355，，合B＝{，}不满足题意．所以满足A∩B＝B的a值为2222案】{|0<【解析】∵＝{≥1}{x≤0}，∴＝{x|0<x．U

案】[1,2)【解析】M＝{|0<x，＝{≥1}∴∩N[1,2)．案【解析＝{－＜x＜，∩＝{0,1,2}，∩中有元素之和等于3．析A={xx＞5＜－1}={－＜x＜．为使A∪BR，∴1＜＜．11．分析）当a=1时={x｜1≤3}B={x｜x≤≥4}由此能求出∪．（2由

AB

，得

，由此能求出0＜a1．【答案）{x｜x≤－x}）＜＜1【解析）当a=1时={｜1≤3}，={｜≤1或x≥4}，∴∪={｜≤或4}（2∵

AB

，又A={x｜－a≤x≤a}＞B={x｜x≤1或≥4}，∴

，解得0＜1点评：本题考查并集的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意集合性质的合理运用析】∩P＝{37}∴∈M即m．m－5或m．当m－，，37}P={0，73，，中素不满足互异性，=5舍去．当m=1时，={2，3，7}，，3，，满足条件，∴=1此时P＝，73，．析A={x＜＜或3＜4}（1当a，={|1＜x＜a}由AB≠，＞334

（2当a，={a＜x＜1}，由AB≠，知＜1．a综上，a取值范围{|a＞3}．

0134

x

2222证明(1)3=2-1，∴A(2)设4k-2

A得存在，n

，-n成．(m-n)(m+n)=4k-2当，奇或同偶时，m-nm+n均为偶数∴为4的数，与不4倍矛盾．当、别为奇、偶数时，m-nm+n均为奇数为数，与是数矛盾．4k-2析(1)a=0，成；a，P={3，-1}

A得，a=-

23

或-a+2=0a=2∴值或-

23

或．(2)B=

，即，m<2，

A成．B

m，由题意得

，得25m∴m<2或2≤3，即≤3为值范围．注：特殊集合用常易漏掉；(2)运用分类讨论思想，等价转化想，数形结合思想常使集合问题简捷化．《合全复与固【习标了集合的含义，体会元素与集合的属于关系，并初步掌握集合的表示方理集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含理补集的含义，会求补集；理两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；【识络

集合表示法

集合集合的关系

集合的运算列举

描述

图示

包含

相等

交集

并集

补集法

法

法子集、真子集【点理要一集的义表：、集的义集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元，若a是合的素，记作

A

；若是集合A的素，记作（2集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设是一个给定的集合x是一个具体对象，则或者是的素，或者不是A元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象因此，同一集合不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；要诠：举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。、一常集的法自然数集记为N；正整数集记为*N；整数集记为Z；有理数集记为Q实数集记作R；复数集记作C；

不含任何元素的集合叫做空集，记作。、常的合示常用的集合表示法有：列举法、描述法Venn．列法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。描法把集合中元素的公共性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，其具体形式如下素的一般形式元所具有的公共属}Venn图用平上封闭曲线的内部代表集合。要二集与合关子：如果集合中任一个元素都是集合中元素，则称集合A为集合的子，记作：

AB

．相：若A且B，集合A与合B的素是一样的，则称集合A与集相等记作．真集：如果集合

B，存在元素x∈，

A，称集合A为合B的子，记作AB空：空集是任何集合A的集，即

；空是任何非空集合B的子集，即

B。任集合它身子：对于任一集合A，有A

A．集的传性对于集合A，B，，果A，，A．含n个素集合子个含n个素的集合有

2

n个集，有2n个子，有

个非空真子集．(同们可结合组合的有关知识予以证)．要三集的算交：对于两个给定的集合A、B，由于A属于B的有元素组成的集合，叫做A与B的交，记作∩B.即A∩B={x|x∈且x∈B}。图示影分代表集合与集合B的交

性：

AAABABBA并：对于两个给定的集合A、B，由于A属于B的有元素组成的集合，叫做A与B的并，记作∪B.即：∪B={x|x∈或x∈B}；图示影分表示A与B的集）性：

AAABABBABB要诠：集中的元素可分为三类：第一类是

x

但

x

；第二类是

x

；第三类是

x

但

x

.全与补全：研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所究问题中涉及的所有元素，那么这个集合就称为全集，通常用U来表.补：于一个集合A由集U中有属于U但属于的元组成的集合称为集合A相于全集U的补集，记作

U

.即

x|且A}U

.图示影分表示A在I中补集ðA）U性：

)，)AUU

.要诠：（）集是相对所研究问题而言的一个相对概念，因研究问题不同全集也不同例在研究数集，常把实数集R看全集；在平面几何中，整个平面可以看作全.

AA?（2）下图所示韦恩图中，①表示

(CB)U

，②表示

(C)BU

，③示

A

，④示CA)CB)UU

.（）集作为一种思想方法为研究问题开辟了新的思.如果直接求A困难则使用“正难则反”的策略，利用

(ð)，(ð)AUU

，痧A.U集运算常的个要质（）AB（）AB（）A且BC，AC（）

(AB)

（交之补=补之并）（）

UUU(A)UU

（并之补=补之交）（）(AB)=cardA+－B要诠：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或处有交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设件，结合图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法【型题类一集的念例1.下列各组对象中，能构成集合的是（）(1)接近于0的的全体比小的正整数的全体平上到坐标点O的离等于1的的体；(4)正三角形的全体(5)2的似值的全体【路拨从集合元素的“确定三种特性判.【析接近于0的数的正整数”对象不确定，所(1)、(2)是集合，同理5)也不是集合.、可构成集合，故案(3)、(4).举反：

【式】断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限(1)申办2016年奥运会的所有城市(2)办2016年奥运会的城市(3)高一数学课本中的所有题；(4)大于0且于1的有的实.【路拨紧扣“集合”的定义解决问.【析(1)申办2016年运会的是几个确定的不同的城市，能组成一个集合，且为有限集；(2)举办2016年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；(3)不能构成集.“难题”的概是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.(4)大于且小1的有的实也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限【结华(1)判断一个语句能否确定一个合，除考虑定义外，还应从集合中元素的“确定性”和“互异性”上来判断；“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，不一定是无限集例2.比较下列两个集合的差异：（），y)|y=x，xR}，，x；（）A={x|x-6x-7=0}B={(xy)|

11

}.【析(1)集合A是一点集，是函数y=x平方构成的集合两个集合的元素不.

图象上的点的集合集B是集是由所有实数的完全，，B={(-1，集合A，都是程（组）解的集合，但中有两个元素，，而中有一个元素-1，7).例3设集合

Px22

P

，求

的值及集合

、

．【析∵

P

且

，∴

0P

．（）若

x或，

2

y

2

，从而Q,0,0元素的互异性矛盾，∴

x0

且

x

；（2）若

xy

，则

x

或

y

．当y时，P

,0

中素的互异性矛盾∴；

2得2得当0时{,y,0}，{y

2

,

2

,0}

，由

P

①或

y2

2

②由①得

y由②得y∴

PQ

．例4下列集合中表示同一集合的是（）AM{(3，2)}，{(23)}B．{(，)|=1}，={+=1}C．M={4，，N={54}

D．M={12}N={(1，2)}【案【析由合中素的特征（确定、无序性、唯一性）即得。类二元与合关例5.用符号“或填．(1)0_____N；(2)-1______N；(3)______Q；(4)

11_____Z；(5)0______；_____Q.3【路拨确定元素是否在集合中，根据元素是否满足集合的性质来确.【析(1)(2)(3)(4)(5)(6)举反：【式】符号“

”或“

”填空．(1)(2)

2_____{x，2x；3___{|x，x|xN}；

(3)

(x2，)|y2}.【路拨给定一个对象a，与一个给定的集合间的关系为

，或者

，二者必居其一解这类问题的关键是：弄清的构，弄清A的特，然后才能下结.对于第1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令，x=5，方程；于(3)，要明确各个集合的本质属.【析(1)

33{；18{xx；

(2)令

，2Nxx

2

nN；令

5

，则

n2|xn2nN}；(3)∵，是个有序实数，且符合关系∴

(yx

2

}y)

2

}.【结华第1)题充分体现“化异为同”的数学思另外号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把.第(2)关键是明确集合

{|}

这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x具有性.第(3)题要分清两个集合的区集合

{y

2

}

这口袋由y构成，并且是由所有的大于或等于0的数组成的而集合

{，y)x

2

}

是由抛物线

yx

2

上的所有点构成的，是一个点集例6集合

Ba的为

()A.0B.1C.2D.4【案D【析∵举反：

B∴a,故选D.a【式

，则

a

的取值范围是；【案

{a；【析∵

，则，a又a，a14故a的值范围是

{a.例7．已知

{}{,b,}

，则满足条件的集合A的数是。【析解法一：列举法因为集合中必元素a、，又是集{ab，，，e}真子集．从而满足条件的集合A是{a，b}，{a，，c}，，，d)，，be}，，，，d}{a，，，e}，{a，，，e}，共7个解法二：令

ab}B

，其中集合B可是集合cde}的任意真子集，由于集{cde}的真子集共有

222

=7个所以满足条件的集合A共个．【结华1.这类问题主要考查子集与真子的概念答类问题应弄清楚符合条件r的合A的大集(元素个数最多与小集合元个最少是什么，注意不要多写或遗漏．2.

元集合的子集的个数为

2

n

.举反：【式已集合

,y)x}

，集合

{(xy|0}

，那么MN的集的个数为；【案4；解析：直线yx

与圆

x

y

交于两点

(0,0)

和

(1,1)，故N{

(0,0),(1,1)}

的子集的个数为4.类三集中素质应例8.定义

，且B}

，若M={1，，，，，N={2，，6}，则N-M=()A.MB.C.4，5}D.{6}【路拨由

A，且xB}

的定义可得，在集合N中含M中的23两个元素，而不含有6，故N-M={6}，选D。例9.已知合M={x|ax+2x+1=0}只含有一个元素，则a=________.【路拨由集合M中只有一个元素可得，方程+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：【案0，1.【析当a=0时，可得是一方程，故满足题意，当a0时，为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为时的的，可求得为a=1.故a的取值为0，例10.已知：∈{a-3，2a-3，-4}求a.【析若3=a-3即a=0.当a=0时，即不符合元素的互异性，a=0(舍；若3=2a-3a=0同理舍掉；若a-4=-3即a=1即a=当a=1时，集合为-2，-1，-3}，当a=-1时，集合为-4，，-3}，a=

类四集的示法例11．试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程

x

的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所整组成的集.【析(1)设方程

x2

的实数根为x，并且满足条件

2因此，用描述法表示为

x

，}

；方程

x

有两个实数根

2因此，用列举法表示为

A2}

.(2)设大于10小于20的整为，它满足条件

xZ

，且10<x<20，因此，用描述法表示为

Bx，Z}

；大于10小20的整数有11，1213，1415，161718，，因此，用列举法表示为

B举反：【式】列举法表示下列集合.(1)A={x|x=(-1)，nN}；(2)B={(x，y)|3x+2y=16，x，yN}；(3)C={16的正整数约数.【析(1)A={1，；，，(2，5)，(4，；(3)C={1，，，，16}.【式】描述法表示下列集合.(1)A={3，，，，，，；(2)B={

1，，，，，„„23【析(1)A={x|x=3n，1≤n≤，∈；(2)B={x|x=

nn

，n∈N}.类五集间关例12.下列系正确的是()

A.0

B.0=

C.

={0}D.

{0}【析

表示空集不含任何元素，故元素

，既A不确；0是素，

是集合，元素与集合只有“属于”或“不属于”两种关系，B不确；不任何元素{0}含元素0，与0}不是相等关系即C不确是空合集是何非空集合的真子集例13.写出合a，b，c}的所有不同的子.

{0}是正确的即D正.【析不含任何元素子集为

，只含1个元的子集{，{b}{c}，含有2个元素的子集{，b}，{ac}，{b，c}，含有3个素的子集为a，，即含有3个素的集合共有2=8个同子.如果集合增加第4个素d，则上8子集仍是新集合的子集，再将第4个元d放这8个集中，会得到新的8个集，即含有4元素的集合共有=16个不同子集，由此可推测，含有n个素的集合共有2

个不同的子.举反：【式】知集合A={1，3，a}，B={a}，并且B是的真集，求实数的.【析∵则有：

，∴，（）=1

a=±1当a=1时与元素的互异不符，a=-1；（）=3a=3（）=a

a=0，a=1，舍去a=1，a=0综上：a=-1，a=

3

或a=0.【结华根据集合元素的互异性，分类讨.例14.设+1，}N={x|x=b-4b+5，b，则M与满足()A.M=NB.MNC.NMD.∩N=

【析当a

时元素x=a+1，表正整数的平方加1对的整数，而当b

时，素x=b

+1其b-2可以是所以集合中元素是自然数的平方加1对应整数即M中元都在N中，中至有一个元素不在中，即MN，故选B.类六集的算例15.已知合A={y|y=x-4x+3，x，B={y|y=-x-2x+2，

R}，则∩B等于)A.

B.RC.{-1，D.，3]【析集合A、B均表示构成相关数的因变量取值范围，故可知A={y|y≥-1}，B={y|y≤3}，所

以A∩B={y|-1≤≤3}，选D.例16.设全U={a，，，，，M={ac，，N={b，e}，那么CM)∩N)=()A.

B.{d}C.{a，c}D.{be}【析CM={b，，N={a，c}∴(C∩N)={b，∩，c}=

或由补集法则，M∪，，d，e}=U∴(C∩(M∪N)=CU=即A为正确选.

例17）全集U={不超过5的然}，A={x|x-5x+6=0}B={x|x-7x+12=0}，则A∩，A∪B=，

(C)BU

=，

C)(BUU

=；（）全集U，已知M{|f(x)(C)=。U

}

，{g()ln(1)}则Ｍ∩Ｎ，【析（1方法一U={0，1，2，3，5}，，3}，B={3，4}，则A∩B={3}，∪B={2，，，

(C)BU

={0，1，，，，

C)()UU

={0，1，方二用韦恩图示：由图知∩B={3}，∪B={2，，4}

(C)BU

，，，，，

(C)()UU

={0，1，（）不等式

，得Ｍ1)，由不等式

0

，得Ｎ=(-1，，因而Ｍ∩Ｎ，，

(NUU

.【结华1.本题主要考察集合的交、并、综合运算。要求对集合的描述法表示有较深刻的认识。集合的三种

UU表示语言要熟悉。2.关集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行计.3.对素个数较少的集合的运算常采用公式法或韦恩图法不等式解集的运算一般用数轴法较为简捷.举反：【式已知全集

,

,且

B

U

A)∩B等于）A.

[

B.

(2,3)

C.

(2,3]

D.

(【案：全集

,

且AB∴(A)∩=

(2,3]

，选C.类七集运综应例．已知集合

Ax2x2axABx

，

，求实数

、

的值．【析由

x

x

x

得

x(x

，∴

或

x0

，∴

A(0,

，又∵

A

，∴

B1,2]，∴和是方程x

的根，由韦达定理得：

a，∴b

．说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．例19设为数集的空子集若任意

x,y，都有y,xS，则称为闭集。下列命题：①集合S＝a＋|（为整数，i为数单位}为封集；②若S为封闭集，则一定有0S；③封闭集一定是