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文档简介

2022年高中数学选择性必修第二册综合检测试卷二

(时间:120分钟满分:150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)

1.已知等差数列{斯}中,。2+。4=6,47=11,则59等于()

A.45B.54C.63D.72

答案C

解析由等差数列性质可得,。2+取=2俏,则a3=3.

9(0+。9)9伍3+的)9X14

••«3922263.

2.设函数八灯=芯+儿若,(-1)=3,则。的值为()

A.—1C.1

答案C

解析,**/U)=3ar,

・"(-1)=3«=3,

:.a=l.

3.设公差不为零的等差数列{为}的前“项和为S”若04=23+43),则金等于()

714

A;B.~^~C.7D.14

答案c

解析公差不为零的等差数列{斯}中,。4=232+〃3),

由等差数列的性质,可知〃2+。3=。1+处,

则04=231+。4),

由等差数列前〃项和公式,可知S7=7〃4,§4=〃1+〃2+〃3+〃4=2(〃]+〃4),

所以&=7〃4_7X2(0+44)=

SA2(〃I+〃4)2(〃1+〃4)

4.函数/U)=e*—Me为自然对数的底数)在区间上的最大值是()

A.1+-B.1C.e+1D.e-1

e

答案D

解析fW=ex-1,令/(x)=0,得x=0.

又式0)=e°—0=1,/U)=e—l>l,X-1)-1+1>1,

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且e-l-(l+£)1e2—2e—1

=e——2=-------->0,

ee

所以7(X)max=/(1)=e—1.

5.已知数列{斯}的前〃项和为S“,且满足%+S,=1,则%升沿…+漆于(

)

A.1013B.1035

C.2037D.2059

答案A

U

解析:an+Sn=l,

当九=1时,ai+Si=l得内=]

当时,aM-i+Sn-i=l,

••+S〃一1+S〃-1)—0,

.••数列{斯}是以0=4为首项,4=3为公比的等比数歹工

.•5=1-®",

an

----1--=2+22H---F29-9=21。-11=1013.

a\。2。3。9

6.已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO.它指的是,在自然情况下(没有外

力介入,同时所有人都没有免疫力),一个感染到某种传染病的人,会把疾病传染给多少人的

平均数.它的简单计算公式是:RO=1+确认病例增长率义系列间隔,其中系列间隔是指在

一个传播链中,两例连续病例的间隔时间(单位:天).根据统计,确认病例的平均增长率为

40%,两例连续病例的间隔时间的平均数为5天,根据以上RO数据计算,若甲得这种传染

病,则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为()

A.81B.243C.248D.363

答案D

解析记第1轮感染人数为0,第2轮感染人数为。2,…,第"轮感染人数为以,则数列{斯}

是等比数列,公比为q=RO,

由题意RO=1+40%X5=3,即q=3,

所以。1=3,(12=9,々3=27,〃4=81,恁=243,

总人数为§5=3+9+27+81+243=363.

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7.对任意的xWR,函数人》)=必+加+7"不存在极值点的充要条件是()

A.0WaW21B.a=0或a=7

C.a<0或心21D.a=0或。=21

答案A

解析f'(x)=3x1+2ax+7a,当相应一元二次方程的根的判别式J=4a2-84«<0,即

04W21时,/'(x)20恒成立,此时函数於)不存在极值点.故选A.

8.已知定义在R上的函数«r)的导函数为/(x),满足了'(x)—1,且式x+2)为偶函数,

式4)=2,则不等式大xKF+l的解集是()

A.(0,+8)B.(-8,-])

C.(一8,0)D.(1,+8)

答案A

解析•••y=/U+2)为偶函数,

・'•y=*x+2)的图象关于X=O对称,

•••y=/U)的图象关于x=2对称,

•♦•八4)=/(0),

xvy(4)=2,

,穴0)=2,

、fix)—1

设gM-ex.

,f(X)—兀V)+l

则g'(X)=,'e,-'

':f(x)-Ax)<-l,

:.fU)-Ax)+l<0,

,g'(x)<0,

•'•y=g(x)在定义域R上单调递减,

,."/(x)<ev+1等价于g(x)<I.

一.旭)-12-1

又•以。)=~—=-j—=1,

,不等式式x)<e'+1的解集等于g(x)<g(0)的解集,

又;g(x)在R上单调递减,:.x>0,

:.fix)<ex+1的解集为(0,+«>).

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的

得3分,有选错的得0分)

9.在递增的等比数列{%}中,S,是数列{斯}的前〃项和,若044=32,“2+43=12,则下列

说法正确的是()

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A.q=1

B.数列{S.+2}是等比数列

C.58=510

D.数列{lga“)是公差为lg2的等差数列

答案BCD

解析由题意,根据等比中项的性质,可得

42a3=4I44=32>0,(Z2+a3=12>0,

故。2>0,的>0.

根据根与系数的关系,可知

ai,。3是一元二次方程X2—12x+32=0的两个根.

解得6=4,43=8,或42=8,43=4.

故必有公比4>0,

•••0=彳>0.

•••等比数列{内}是递增数列,

•'♦。2=4,。3=8满足题意.

,(7=2,G=]=2.故选项A不正确.

an=a\-q"'=2".

2(1—2")

=2"+1—2.

,:S.=1-2

;.&+2=2"+|=4.2"1

数列{S,,+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.故选项B正确.

$8=28+1-2=512—2=510.故选项C正确.

Viga„=lg2"=nlg2.

数列{1g斯}是公差为1g2的等差数列.故选项D正确.

10.对于函数Xx)=161n(l+x)+——10x,下列说法正确的是()

A.x—3是函数.大》)的一个极值点

B.贝x)的单调递增区间是(一1,1),(2,+8)

C.4r)在区间(1,2)上单调递减

D.直线y=161n3—16与函数y=y(x)的图象有3个交点

答案ACD

解析由题意得/。)=含+级—10=X>-1,

令—8x+6=0,可得x=1,x=3»

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则式X)在(一1,1),(3,+8)上单调递增,

在(1,3)上单调递减,

.,.x=3是函数_/u)的一个极值点,

故AC正确,B错误;

vy(l)=161n(l+1)+12—10=161n2-9,

7(3)=161n(l+3)+32-1OX3=161n4-21,

又y=161n3—16=7(2),

根据/U)在(1,3)上单调递减得ZU)次2)43),

即161n3—16<161n2—9,161n3—16>161n4—21,

直线y=161n3-16与函数y=/(x)的图象有3个交点,故D正确.

11.设等差数列{斯}的前〃项和为S”且满足$5>0,5i6<0,贝11()

A.«8>0

B.。9<0

C.y,兴…,眈中最大的项为拿

D£,》芈中最大的项为行

Cl\。2。15

答案ABD

解析由515=—^~~-=15«8>0,得。8>0,A正确.由$6=-^~~--<0,

得〃9+恁<0,所以。9<0,且d<0,B正确.因为d<0,所以数列{为}为递减数列.所以…,

〃8为正,〃9,…,〃〃为负,且S],…,S15为正,516,…,S〃为负,则察,…,詈为正,F,…,

Q]。8。9

普为负,C错误.当"W8时,S,单调递增,如单调递减,所以号单调递增,所以3餐,…,

制中最大的项为胃,D正确.

f+x-1

12.已知函数人x)=y—,则下列结论正确的是()

A.函数存在两个不同的零点

B.函数y(x)既存在极大值又存在极小值

C.当一e<A<0时,方程有且只有两个实根

D.若+8)时,火x)max=《,则,的最小值为2

答案ABC

解析A项,1=0,

解得冗=二^,所以A正确;

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x2-x—2(x+l)(x-2)

B项,/(x)=

当/'(x)>0时,-la<2,

当,(x)<0时,x<~\或x>2,

(—8,-1),(2,+8)是函数的单调递减区间,(一1,2)是函数的单调递增区间,

所以4-1)是函数的极小值,式2)是函数的极大值,

所以B正确;

C项,当x趋向于+8时,y趋向于0,根据B项可知,函数的最小值是负-1)=-e,再根

据单调性可知,当一e<K0时,方程./U)=Z有且只有两个实根,所以C正确;

D项,由图象可知,,的最大值是2,所以不正确.

2

____/———_,一

L510x

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.在等比数列{飙}中,0=2,04=4,则“7=.

答案8

解析由〃4=44,得/=2,a7=aiq6=a](q3)2=8.

14.已知不等式e*—1)依+1nx,对于任意的x©(0,+8)恒成立,则&的最大值为.

答案e-1

e*—Inx

解析移项,得到_—

构造函数〃(》)=《二学二,

则〃,(、)=组二产,

当xG(0,l)时,h'(x)<0,/?(x)单调递减,

当xG(l,+8)时,h>(%)>o,力(x)单调递增,

故当x=l时,〃(x)取到最小值e—1,

故k的最大值为e—1.

15.已知y(x)=2V-61+〃(a为常数)在[-2,2]上有最小值3,则/)在[-2,2]上的最大值为

答案43

解析因为,/(x)=2p—6/+a,

所以/(x)=6x2—12x=6x(x—2),

当xG(-2,0)时,f(x)>0;

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当xW(0,2)时,f(x)<0,

所以函数人x)在(-2,0)上单调递增,

在(0,2)上单调递减,

所以共力的最大值为式0)=a,

又4一2)=—40+a,fl2)——8+a,

因为(-8+。)一(一40+a)=32>0,

所以-40+a<-8+a,

所以/U)在[-2,2]上的最小值为五-2)=—40+。=3,

所以。=43,所以/U)的最大值为犬0)=43.

16.已知递增等比数列{斯}的第三项、第五项、第七项的积为512,且这三项分别减去1,3,9

后成等差数列.则{斯}的公比为;设&=亩+m+—十底,则S,的表达式为.

答案小S,=2"+2—4

解析V等比数列{〃“}的第三项、第五项、第七项的积为512,

a3a5a7=512,

则ag=512,,的=8.

由题意得—1+。7—9=2(45—3),即〃3+〃7=20,

,的q2+。5/=20,

:.q2+q2—^,

•••等比数列{斯}递增,

贝!Iq=p,

...斯=。5力r=8X(血尸5=(也)"+1,

...屈=2产1,

.".5"=吊+诏-|---\-an—^~~——2"'2—4.

1一4

四、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)已知{如}是公差为3的等差数列,数列{儿}满足6=1,历=3,a„hn+hn=nhn+i.

(1)求{斯}的通项公式;

⑵求{仇}的前〃项和.

解(1)由已知6=1,历=3,a\b\+b\^b2,得0=2,

数列{〃”}是以2为首项,3为公差的等差数列,

〃,?=2+3(〃-1)=3〃-1(nGN).

⑵由⑴知,(34一1)序+瓦=泌〃+1,

=

即b,t+\3b,i,

,数列{儿}是以1为首项,3为公比的等比数列,

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记{与}的前n项和为Sn,

1—3”3"-1*

则5尸1

18.(12分)已知函数兀外二一/+位^+云+式。,b,cGR),且/(-1)=/‘(3)=0.

(1)求a-b的值;

⑵若函数负x)在[-2,2]上的最大值为20,求函数_/(x)在[-1,4]上的最小值.

解(1)因为兀^:一^+混+陵+以

所以,(x)=-3f+2ax+/?,

因为/(-1)=/'(3)=0,

J-3X(-l)2+2aX(-l)+/>=0,

所以1-3X32+24X3+0=0,

。=3

解得

6=9

所以a—b=3—9=—6.

(2)由(1)可知y(x)=-+9x+c,

则/(x)=-3/+6x+9,

令f'(x)0,得x=-1,x=3,

fa)和«r)随x的变化情况如下表:

X一2(-2,-1)-1(-1,2)2

fW一0+

於)c+2极小值/c+22

因为八-2)=c+2,12)=c+22,

所以函数人x)在[―2,2]上的最大值为<2)=。+22,

所以c+22=20,解得c=-2,

所以大x)=—/+3/+9%—2,

综上可知4x)在[-1,3]上单调递增,

在[3,4]上单调递减;

又因为八-1)=1+3—9-2=-7,

犬4)=-64+48+36—2=18,

所以函数式x)在[-1,4]上的最小值为-7.

19.已知{斯}为等差数列,各项为正的等比数列{与}的前〃项和为S”,2a1=加=2,」+。8=10,

.在①次=儿一1;②O4=S3-2S2+N;③瓦=2%这三个条件中任选其中一个,补充在

横线上,并完成下面问题的解答(如果选择多个条件解答,则以选择第一个解答记分).

第8页共12页

(1)求数列{斯}和{儿}的通项公式;

(2)求数歹U{斯£,}的前n项和Tn.

解选①:

(1)设等差数列{小}的公差为d,

•;2“1=2,〃2+a8=10,

2"i+84=10,tz1~1,d~1y

;.%=1+(〃-1)X1—n,

由6=2,XSn=bn—\,

当〃=1时,有25i=2bi=bi—1,

当"22时,bn—Sn—Sn-1—2(bn—\}—2(bn-\—V),

即b”=2b“-i,

所以劭“}是一个以2为首项,2为公比的等比数列.

:.b,,=2X2n~'=-2n.

⑵由⑴知an'bn—n-2",

/.7;=1X21+2X22+3X234-----卜〃X2",①

27],=1X22+2X23H------l-(n-l)X2n+nX2n+l,②

①一②得,-7;=2+22+23+…+2"-〃X2"+I=2?:)nX2n+],

1—2

n+]

:.Tfl=(n-l)X2+2.

选②:

⑴设等差数列{斯}的公差为乩

・/2〃]=2,。2+〃8=1°,

・'•2〃i+8"=10,oi=1,d=1,

an=1+(n—1)X1=n,

•♦〃4=4,

设等比数列{瓦}的公比为q(q>0),

,.,〃4=S3—2s2+S1,

;・04=(S3—S2)—(S2—Si)=匕3-b2=b、q2—biq,

又二。4=4,bi=2,

:•靖—q—2=0,解得q=2,或q=—1(舍),

n[n

:.bn=2X2~=2.

(2)解法同选①的第(2)问解法相同.

选③:

第9页共12页

(1)设等差数列{〃“}的公差为d,

,**2tii=2,。2+。8=10,

,2〃i+8d=10,=1>d=1,

,斯=1+。7—1)X1=72,

,:b„=2Aa",ai=l,bi=2,

令〃=1,得"=2如,即2=2<

.*.2=1,:・bn=2%,

n

:.bn=2.

(2)解法同选①的第(2)问解法相同.

20.(12分)某商场销售某件商品的经验表明,该商品每日的销量y(单位:千克)与销售价格x(单

位:元/千克)满足关系式丫=言+10。—6)2,其中3<r<6,。为常数.已知销售价格为5元/

千克时,每日可售出该商品11千克.

(1)求实数a的值;

(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利

润最大,并求出最大值.

解(1)'."=5时,y=11,

由函数式丫=氏1+10(JC-6)2,

得5+10=11,,a=2.

2

(2)由(1)知该商品每日的销售量)=言+10(x—6)2,

•••商场每日销售该商品所获得的利润为

~2J

火x)=(x—3)-^+10(x-6)-=2+10(X-3)(X-6)2,3<X<6,/(X)=10[(X-6)2+2(X-3)(X-6)J

=30(x-4)(x-6),令/(x)=0,得x=4,

当3<x<4时,/(x)>0,函数人x)在(3,4)上单调递增;

当4。<6时,,(x)<0,函数於)在(4,6)上单调递减;

...当x=4时,函数段)取得最大值火4)=42.

...当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为42.

21.(12分)在等差数列{小}中,42=3,怒=9,等比数列{儿}中,b\=ai,岳=的.

(1)求数列{斯},{儿}的通项公式;

(2)若上=斯心,求数列{cn}的前"项和T,,.

解(1)在等差数列{m}中,设首项为0,公差为d

由仅=3,45=9,

第10页共12页

"2="1+

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