2022年高中数学选择性必修第二册综合检测试卷二

2022年高中数学选择性必修第二册综合检测试卷二

(时间：120分钟满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1.已知等差数列｛斯｝中，。2+。4=6,47=11,则59等于()

A.45B.54C.63D.72

答案C

解析由等差数列性质可得，。2+取=2俏，则a3=3.

9(0+。9)9伍3+的)9X14

••«3922263.

2.设函数八灯=芯+儿若，(-1)=3,则。的值为()

A.—1C.1

答案C

解析,**/U)=3ar,

・"(-1)=3«=3,

：.a=l.

3.设公差不为零的等差数列｛为｝的前“项和为S”若04=23+43)，则金等于()

714

A;B.~^~C.7D.14

答案c

解析公差不为零的等差数列｛斯｝中，。4=232+〃3)，

由等差数列的性质,可知〃2+。3=。1+处,

则04=231+。4)，

由等差数列前〃项和公式，可知S7=7〃4,§4=〃1+〃2+〃3+〃4=2(〃]+〃4),

所以&=7〃4_7X2(0+44)=

SA2(〃I+〃4)2(〃1+〃4)

4.函数/U)=e*—Me为自然对数的底数)在区间上的最大值是()

A.1+-B.1C.e+1D.e-1

e

答案D

解析fW=ex-1,令/(x)=0,得x=0.

又式0)=e°—0=1,/U)=e—l>l,X-1)-1+1>1,

第1页共12页

且e-l-(l+£)1e2—2e—1

=e——2=-------->0,

ee

所以7(X)max=/(1)=e—1.

5.已知数列｛斯｝的前〃项和为S“，且满足%+S,=1，则%升沿…+漆于（

)

A.1013B.1035

C.2037D.2059

答案A

U

解析：an+Sn=l,

当九=1时,ai+Si=l得内=]

当时,aM-i+Sn-i=l,

••+S〃一1+S〃-1)—0,

.••数列｛斯｝是以0=4为首项，4=3为公比的等比数歹工

.•5=1-®",

an

----1--=2+22H---F29-9=21。-11=1013.

a\。2。3。9

6.已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO.它指的是，在自然情况下（没有外

力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的

平均数.它的简单计算公式是：RO=1+确认病例增长率义系列间隔，其中系列间隔是指在

一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）.根据统计，确认病例的平均增长率为

40%,两例连续病例的间隔时间的平均数为5天，根据以上RO数据计算，若甲得这种传染

病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）

A.81B.243C.248D.363

答案D

解析记第1轮感染人数为0,第2轮感染人数为。2,…，第"轮感染人数为以，则数列｛斯｝

是等比数列，公比为q=RO,

由题意RO=1+40%X5=3,即q=3,

所以。1=3,（12=9,々3=27,〃4=81,恁=243,

总人数为§5=3+9+27+81+243=363.

第2页共12页

7.对任意的xWR,函数人》)=必+加+7"不存在极值点的充要条件是()

A.0WaW21B.a=0或a=7

C.a<0或心21D.a=0或。=21

答案A

解析f'(x)=3x1+2ax+7a,当相应一元二次方程的根的判别式J=4a2-84«<0,即

04W21时，/'(x)20恒成立，此时函数於)不存在极值点.故选A.

8.已知定义在R上的函数«r)的导函数为/(x),满足了'(x)—1,且式x+2)为偶函数,

式4)=2,则不等式大xKF+l的解集是()

A.(0,+8)B.(-8,-])

C.(一8,0)D.(1,+8)

答案A

解析•••y=/U+2)为偶函数，

・'•y=*x+2)的图象关于X=O对称，

•••y=/U)的图象关于x=2对称，

•♦•八4)=/(0)，

xvy(4)=2,

，穴0)=2,

、fix)—1

设gM-ex.

,f(X)—兀V)+l

则g'(X)=，'e，-'

'：f(x)-Ax)<-l,

：.fU)-Ax)+l<0,

，g'(x)<0，

•'•y=g(x)在定义域R上单调递减,

,."/(x)<ev+1等价于g(x)<I.

一.旭)-12-1

又•以。)=~—=-j—=1，

,不等式式x)<e'+1的解集等于g(x)<g(0)的解集，

又；g(x)在R上单调递减，：.x>0,

：.fix)<ex+1的解集为(0,+«>).

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的

得3分，有选错的得0分)

9.在递增的等比数列｛%｝中，S,是数列｛斯｝的前〃项和，若044=32,“2+43=12,则下列

说法正确的是()

第3页共12页

A.q=1

B.数列｛S.+2｝是等比数列

C.58=510

D.数列｛lga“）是公差为lg2的等差数列

答案BCD

解析由题意，根据等比中项的性质，可得

42a3=4I44=32>0,（Z2+a3=12>0,

故。2>0,的>0.

根据根与系数的关系，可知

ai,。3是一元二次方程X2—12x+32=0的两个根.

解得6=4,43=8,或42=8,43=4.

故必有公比4>0,

•••0=彳>0.

•••等比数列｛内｝是递增数列，

•'♦。2=4,。3=8满足题意.

，(7=2,G=]=2.故选项A不正确.

an=a\-q"'=2".

2(1—2")

=2"+1—2.

,:S.=1-2

；.&+2=2"+|=4.2"1

数列｛S,,+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列.故选项B正确.

$8=28+1-2=512—2=510.故选项C正确.

Viga„=lg2"=nlg2.

数列｛1g斯｝是公差为1g2的等差数列.故选项D正确.

10.对于函数Xx）=161n（l+x）+——10x,下列说法正确的是（）

A.x—3是函数.大》）的一个极值点

B.贝x）的单调递增区间是（一1,1）,（2,+8）

C.4r）在区间（1,2）上单调递减

D.直线y=161n3—16与函数y=y（x）的图象有3个交点

答案ACD

解析由题意得/。）=含+级—10=X>-1,

令—8x+6=0,可得x=1,x=3»

第4页共12页

则式X)在(一1,1),(3,+8)上单调递增，

在(1,3)上单调递减，

.,.x=3是函数_/u)的一个极值点，

故AC正确，B错误；

vy(l)=161n(l+1)+12—10=161n2-9,

7(3)=161n(l+3)+32-1OX3=161n4-21,

又y=161n3—16=7(2),

根据/U)在(1,3)上单调递减得ZU)次2)43),

即161n3—16<161n2—9,161n3—16>161n4—21,

直线y=161n3-16与函数y=/(x)的图象有3个交点，故D正确.

11.设等差数列｛斯｝的前〃项和为S”且满足$5>0,5i6<0,贝11()

A.«8>0

B.。9<0

C.y,兴…,眈中最大的项为拿

D£,》芈中最大的项为行

Cl\。2。15

答案ABD

解析由515=—^~~-=15«8>0,得。8>0,A正确.由$6=-^~~--<0,

得〃9+恁<0,所以。9<0,且d<0,B正确.因为d<0,所以数列｛为｝为递减数列.所以…,

〃8为正，〃9，…，〃〃为负，且S],…，S15为正,516,…，S〃为负,则察,…，詈为正,F，…,

Q]。8。9

普为负，C错误.当"W8时，S,单调递增，如单调递减，所以号单调递增，所以3餐，…,

制中最大的项为胃，D正确.

f+x-1

12.已知函数人x)=y—，则下列结论正确的是()

A.函数存在两个不同的零点

B.函数y(x)既存在极大值又存在极小值

C.当一e<A<0时，方程有且只有两个实根

D.若+8)时，火x)max=《，则，的最小值为2

答案ABC

解析A项，1=0,

解得冗=二^,所以A正确；

第5页共12页

x2-x—2(x+l)(x-2)

B项，/(x)=

当/'(x)>0时，-la<2,

当，(x)<0时，x<~\或x>2,

(—8,-1),(2,+8)是函数的单调递减区间，(一1,2)是函数的单调递增区间，

所以4-1)是函数的极小值，式2)是函数的极大值，

所以B正确；

C项，当x趋向于+8时，y趋向于0,根据B项可知，函数的最小值是负-1)=-e,再根

据单调性可知，当一e<K0时，方程./U)=Z有且只有两个实根，所以C正确；

D项，由图象可知，，的最大值是2,所以不正确.

2

____/———_,一

L510x

中

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.在等比数列｛飙｝中，0=2,04=4,则“7=.

答案8

解析由〃4=44，得/=2,a7=aiq6=a］(q3)2=8.

14.已知不等式e*—1)依+1nx,对于任意的x©(0,+8)恒成立，则&的最大值为.

答案e-1

e*—Inx

解析移项，得到_—

构造函数〃(》)=《二学二,

则〃,(、)=组二产，

当xG(0,l)时,h'(x)<0,/?(x)单调递减，

当xG(l,+8)时，h>(%)>o,力(x)单调递增,

故当x=l时，〃(x)取到最小值e—1,

故k的最大值为e—1.

15.已知y(x)=2V-61+〃(a为常数)在［-2,2］上有最小值3,则/)在［-2,2］上的最大值为

答案43

解析因为,/(x)=2p—6/+a,

所以/(x)=6x2—12x=6x(x—2),

当xG(-2,0)时，f(x)>0；

第6页共12页

当xW（0,2）时,f（x）<0,

所以函数人x）在（-2,0）上单调递增，

在（0,2）上单调递减，

所以共力的最大值为式0）=a,

又4一2）=—40+a,fl2）——8+a,

因为（-8+。）一（一40+a）=32>0,

所以-40+a<-8+a,

所以/U）在［-2,2］上的最小值为五-2）=—40+。=3,

所以。=43,所以/U）的最大值为犬0）=43.

16.已知递增等比数列｛斯｝的第三项、第五项、第七项的积为512,且这三项分别减去1,3,9

后成等差数列.则｛斯｝的公比为；设&=亩+m+—十底，则S,的表达式为.

答案小S,=2"+2—4

解析V等比数列｛〃“｝的第三项、第五项、第七项的积为512,

a3a5a7=512,

则ag=512,，的=8.

由题意得—1+。7—9=2（45—3）,即〃3+〃7=20,

，的q2+。5/=20,

：.q2+q2—^,

•••等比数列｛斯｝递增，

贝!Iq=p,

...斯=。5力r=8X（血尸5=（也）"+1,

...屈=2产1,

.".5"=吊+诏-|---\-an—^~~——2"'2—4.

1一4

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（10分）已知｛如｝是公差为3的等差数列，数列｛儿｝满足6=1,历=3,a„hn+hn=nhn+i.

（1）求｛斯｝的通项公式；

⑵求｛仇｝的前〃项和.

解（1）由已知6=1,历=3,a\b\+b\^b2,得0=2,

数列｛〃”｝是以2为首项，3为公差的等差数列，

〃,?=2+3（〃-1）=3〃-1（nGN）.

⑵由⑴知,（34一1）序+瓦=泌〃+1，

=

即b,t+\3b,i,

，数列｛儿｝是以1为首项，3为公比的等比数列，

第7页共12页

记｛与｝的前n项和为Sn,

1—3”3"-1*

则5尸1

18.(12分)已知函数兀外二一/+位^+云+式。，b,cGR),且/(-1)=/‘(3)=0.

(1)求a-b的值；

⑵若函数负x)在［-2,2］上的最大值为20,求函数_/(x)在［-1,4］上的最小值.

解(1)因为兀^:一^+混+陵+以

所以，(x)=-3f+2ax+/?,

因为/(-1)=/'(3)=0,

J-3X(-l)2+2aX(-l)+/>=0,

所以1-3X32+24X3+0=0,

。=3

解得

6=9

所以a—b=3—9=—6.

(2)由(1)可知y(x)=-+9x+c,

则/(x)=-3/+6x+9,

令f'(x)0,得x=-1,x=3,

fa)和«r)随x的变化情况如下表：

X一2(-2,-1)-1(-1,2)2

fW一0+

於)c+2极小值/c+22

因为八-2)=c+2,12)=c+22,

所以函数人x)在［―2,2］上的最大值为<2)=。+22,

所以c+22=20,解得c=-2,

所以大x)=—/+3/+9%—2,

综上可知4x)在［-1,3］上单调递增，

在［3,4］上单调递减；

又因为八-1)=1+3—9-2=-7,

犬4)=-64+48+36—2=18,

所以函数式x)在［-1,4］上的最小值为-7.

19.已知｛斯｝为等差数列，各项为正的等比数列｛与｝的前〃项和为S”,2a1=加=2,」+。8=10,

.在①次=儿一1;②O4=S3-2S2+N；③瓦=2%这三个条件中任选其中一个，补充在

横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件解答，则以选择第一个解答记分).

第8页共12页

(1)求数列｛斯｝和｛儿｝的通项公式;

(2)求数歹U｛斯£,｝的前n项和Tn.

解选①：

(1)设等差数列｛小｝的公差为d,

•；2“1=2,〃2+a8=10,

2"i+84=10,tz1~1,d~1y

；.%=1+(〃-1)X1—n,

由6=2,XSn=bn—\,

当〃=1时，有25i=2bi=bi—1,

则

当"22时，bn—Sn—Sn-1—2(bn—\｝—2(bn-\—V),

即b”=2b“-i,

所以劭“｝是一个以2为首项，2为公比的等比数列.

：.b,,=2X2n~'=-2n.

⑵由⑴知an'bn—n-2",

/.7；=1X21+2X22+3X234-----卜〃X2",①

27],=1X22+2X23H------l-(n-l)X2n+nX2n+l,②

①一②得，-7；=2+22+23+…+2"-〃X2"+I=2?:)nX2n+],

1—2

n+]

：.Tfl=(n-l)X2+2.

选②：

⑴设等差数列｛斯｝的公差为乩

・/2〃]=2,。2+〃8=1°,

・'•2〃i+8"=10,oi=1,d=1,

an=1+(n—1)X1=n,

•♦〃4=4,

设等比数列｛瓦｝的公比为q(q>0),

,.,〃4=S3—2s2+S1,

；・04=(S3—S2)—(S2—Si)=匕3-b2=b、q2—biq,

又二。4=4,bi=2,

:•靖—q—2=0,解得q=2,或q=—1(舍)，

n[n

：.bn=2X2~=2.

(2)解法同选①的第(2)问解法相同.

选③：

第9页共12页

(1)设等差数列｛〃“｝的公差为d,

,**2tii=2,。2+。8=10,

，2〃i+8d=10,=1>d=1,

，斯=1+。7—1)X1=72,

,：b„=2Aa",ai=l,bi=2,

令〃=1,得"=2如，即2=2<

.*.2=1,:・bn=2%,

n

：.bn=2.

(2)解法同选①的第(2)问解法相同.

20.(12分)某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量y(单位:千克)与销售价格x(单

位：元/千克)满足关系式丫=言+10。—6)2,其中3<r<6,。为常数.已知销售价格为5元/

千克时，每日可售出该商品11千克.

(1)求实数a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利

润最大，并求出最大值.

解(1)'."=5时，y=11,

由函数式丫=氏1+10(JC-6)2,

得5+10=11,，a=2.

2

(2)由(1)知该商品每日的销售量)=言+10(x—6)2,

•••商场每日销售该商品所获得的利润为

~2J

火x)=(x—3)-^+10(x-6)-=2+10(X-3)(X-6)2,3<X<6,/(X)=10[(X-6)2+2(X-3)(X-6)J

=30(x-4)(x-6),令/(x)=0,得x=4,

当3<x<4时，/(x)>0,函数人x)在(3,4)上单调递增；

当4。<6时，，(x)<0,函数於)在(4,6)上单调递减;

...当x=4时，函数段)取得最大值火4)=42.

...当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.

21.(12分)在等差数列｛小｝中，42=3,怒=9,等比数列｛儿｝中，b\=ai，岳=的.

(1)求数列｛斯｝,｛儿｝的通项公式;

(2)若上=斯心,求数列｛cn｝的前"项和T,,.

解(1)在等差数列｛m｝中，设首项为0，公差为d

由仅=3,45=9,

第10页共12页

"2="1+