第二章函数概念与基本初等函数

第二章函数概念与基本初等函数一

§2.1映射、函数、反函数_

一、知识导学一

L映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则了，对于集合A中的任何

一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B

的映射，记作f：A-B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)_

2.函数：设A,B都是非空的数集，如果按某种对应法则/,对于集合A中每一个元

素X,在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做

从集合A到集合B的一个函数，记作y=/(%)._

其中所有的输入值X组成的集合A称为函数y=/(x)定义域.一

对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称

为函数的值域.一

3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(xeA)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系，

用y把x表示出来，得到x=fT(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯

一的值和它对应，那么x=fT(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做

函数y=f(x)(xCA)的反函数，记作x=fT(y).我们一般用x表示自变量，用y表示函数，

为此我们常常对调函数x=fT(y)中的字母x,y,把它改写成y=fT(x)反函数y=「l(x)的定

义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.一

二、疑难知识导析_

1.对映射概念的认识一

(1)1/：』-8与丁：8—*是不同的，即5与8上有序的.或者说：映射是有方向的，

(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.

集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留

元素；允许多对一，不允许一对多.一

(3)集合A,B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合._

2.对函数概念的认识一

(1)对函数符号/(x)的理解知道y=/(x)与/(x)的含义是一样的，它们都表示丁是X的

函数，其中x是自变量，/(x)是函数值，连接的纽带是法则丁.丁是单值对应.一

(2)注意定义中的集合A,B都是非空的数集,而不能是其他集合:

(3)函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.

3.对反函数概念的认识

(1)函数y=/(x)只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；_

(2)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不

能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.一

(3)互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x对称.一

三、经典例题导讲_

［例口设M={a,b,c},N={-2,0,2)，求(1)从M到N的映射种数；_

(2)从M到N的映射满足/(a)>/(b)Zf(c),试确定这样的映射/的种数.一

错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清一

正解：(1)由于M={a,b,c},N={-2,0,2},结合映射的概念，有.

一共有27个映射_

ci->0(X->2a->2a-»2

(2)符合条件的映射共有4个，伊--2,«b—>-2,<Z7—>0/—>0,

…一2CT•-2[CT-2cf0

［例2］已知函数/(x)的定义域为［0,1］,求函数/(x+1)的定义域一

错解：由于函数/(x)的定义域为［0,1］,即OWxWl,.•.1WX+1W2_

二/(x+1)的定义域是［1,2］_

错因：对函数定义域理解不透，不明白/(x)与/(“(X))定义域之间的区别与联系，其实在

这里只要明白：/(x)中x取值的范围与/(«(%))中式子”(X)的取值范围一致就好了.一

正解：由于函数/(x)的定义域为［0,1］,即04x41；./(x+l)满足.•.04x+141_

-14x40,二/。+1)的定义域是［-1,0］_

［例3］已知：xG/(x)=<X5('-6),求/(3)._

/(x+2)(x<6)

…x-5(x>6)

错解：•••/(x)=4，.，./(x+2)=(x+2)—5=x—3

/(x+2)(x<6)

,,x-5(x>6)

故/")=<。，,/⑶=3—3=0._

x-3(x<6)

错因：没有理解分段函数的意义，/(3)的自变量是3,应代入/(x+2)中去，而不是代入x

-5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.

x—5U>6)

正解：：/(x)=<

/(x+2)(x<6)-

.../(3)=/(3+2)=/(5)=f(5+2)=/⑺=7-5=2

［例4］已知/")的反函数是尸(x),如果/(x)与广/)的图像有交点，那么交点必在直

线y=x上，判断此命题是否正确？_

错解：正确一

错因：对互为反函数的图像关于直线y=x对称这一性质理解不深，比如函数一

'=『)'与丁=吗》的图像的交点中，点((,；),(；(不在直线y=x上，由此可以

16

说明“两互为反函数图像的交点必在直线y=x上”是不正确的.一

［例5］求函数y=/(x)=x2-4x+6,x€［1,5)的值域._

错解：•.•/(1)=12—4x1+6=3,/(5)=52—4x5+6=11

又了€0,5),二/(》)的值域是［3,11)

错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x

的两端点时函数值就是y的取值范围/._

正解：配方，得y=/(x)=X?-4x+6=(x-2)2+2

Vxe［l,5),对称轴是x=2...当x=2时，函数取最小值为/(2)=2,_

/(X)<"5)=11

.♦./(X)的值域是［2,11)

［例6］已知/(x)=3x+4,求函数(x+1)的解析式.一

错解：由已知得/(x+l)=3(x+l)+4=3x+7

v—7x-7

y=3x+7W=^—，W+l)=-y-

错因：将函数/T(X+1)错误地认为是/(x+1)的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻

所致，实际上/(X+1)与/T(x+1)并不是互为反函数，一般地应该由/(X)先求/T(x),

再去得到/-'(x+l)._

jr—4

正解：因为f(x)=3x+4的反函数为/T(X)=一_

SKI»Ir-lz八(X+1)—4X—31.

所以f(X+1)=-----------=-y-=—］

［例7］根据条件求下列各函数的解析式：_

(1)已知/(x)是二次函数，若/(O)=O,/(x+l)=/(x)+x+1,求/(x).一

(2)已知/(J7+1)=x+26，求/(x)

(3)若/(X)满足/(x)+2/(-)=ax,求/(X)

X-

解：(1)本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解_

设/(x)=+Z?x+C(。。0)由于/(0)=。得/(X)_

又由/(x4-1)=/(x)+x+l,Q(X+1)2+h(x+1)=ax2+Z?x+x+l

即ax2+(2a+b)x+〃+/7=ax2+(b+l)x+1

2。+/?=Z?+1

111

:.a=b=—因此：f(x)=—x7+—x

222

Q+/?=1-

(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解—

设u=Vx+1(x>0)Jx=u-I(u>1)

・•./(〃)=(〃-1)2+2(〃-1)=〃2-1(W>1)

f(x)=x2-1(X>1)

(3)由于f(x)为抽象函数，可以用消参法求解.

用,代x可得：/(-)+2/(x)=a-,

XXX

与/(x)+2/(-)=ax_

X

联列可消去了(L)得：/(x)=—--

x3x3

点评：求函数解析式(1)若己知函数/(x)的类型，常采用待定系数法；(2)若已知/［g(x)］

表达式，常采用换元法或采用凑合法：(3)若为抽象函数，常采用代换后消参法.一

［例8］已知3》2+2/=6x,试求/+V的最大值.一

分析：要求/+y2的最大值，由已知条件很快将/+y2变为一元二次函数

/。)=一］(》一3)2+1,然后求极值点的方值，联系到y22o,这一条件，既快又准地求

出最大值.一

解由3*2+2).=6%得一

32c

y2=——x+3x.

2

3

•・•y2>0,/.--%2+3x>0,.\0<x<2.

Xx2+y2=/_g/+3元3)2+g,

I9

.♦.当x=2时，/+/2有最大值，最大值为一一(2一3尸+'=4.

点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：_

由3万2+2),2=6x得___%2+

x2+y2-x2~—x2+3x=(x-3)2+—,

222_

Q

当X=3时，，+y2取最大值，最大值为‘

2_

这种解法由于忽略了/这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能

从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件,

又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..一

［例9］设/(幻是R上的函数，且满足/(0)=1,并且对任意的实数都有一

f(x-y)=/(%)-y(2x-y+1),求/(x)的表达式.一

解法一：由/(0)=1,/(x-y)=/(x)-y(2x-y+l)，设》=》,

得/(O)=f(x)-x(2x-x+1),所以/(x)=f+x+1

解法二：令x=0,得/(0-y)=/(O)—y(—y+l)

即/㈠)=i(-y+l)

又将—y用x代换到上式中得f(x)=x2+x+l_

点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相

等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.一

四、典型习题导练_

1.已知函数f(x),XGF,那么集合{(x,y)|y=f(x),x《F}C{(x,y)|x=l}中所含元素的

个数是()_

A.0B.1C.0或1D.1或2

2.对函数/(x)=3x2+ax+b作代换产g(t),则总不改变f(x)值域的代换是()

A.g(f)=log|tB.gQ)=(；y

2

c.g(t)=(t-l)2D.g(t)=cost

ABCD

19

4.函数f(x)=Zlx—川的最小值为

i=l

A.190B.171C.90D.45

5.若函数f(x)二—三(xw2)在定义域内恒有f[F(x)]二x,则勿等于()

4x-34

33

A.3B.-C.--D.-3

22

6.已知函数/(x)满足:f(a+b)=f(a)-f(b)f/(I)=2,则

2

/d)+f(2)r⑵+〃4)/⑶+/(6)/⑷+/(8)

------------1-------------1-------------1------------=.

/(I)/(3)”7)

7.已知函数F(x)满足f(log,K)=——(X--)(其中a>0,x>0),求f(x)的表达式.

a-1x

2

8.已知函数/(X)是函数丁=广工—1(XER)的反函数，函数gQ)的图像与函数

4—3x

y=——^的图像关于直线y=x—1成轴对称图形，记尸(x)=/(x)+g(x).

x-1

(1)求函数F(x)的解析式及定义域；

(2)试问在函数F(x)的图像上是否存在两个不同的点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直？

若存在，求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.

§2.2函数的性质

一、知识导学

1.函数的单调性：

(1)增函数：一般地，设函数y=/(x)的定义域为I,如果定义域I内某个区间上任意

两个自变量的值X,.X2,当x(<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

(2)减函数：一般地，设函数y=/(x)的定义域为I,如果定义域I内某个区间上任意

两个自变量的值Xi,X2,当XVX2时，都有f(xi)>f8),那么就说f(x)在这个区间上是减函

数.

(3)单调性(单调区间)如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)

在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.

2.函数的奇偶性：

(1)奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),

那么函数f(x)就叫做奇函数.

(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函

数f(x)就叫做偶函数.

(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.

3.函数的图像：将自变量的一个值X。作为横坐标，相应的函数值f(x。)作为纵坐标，就

得到平面内的一个点(x°,f(x。))，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列

这样的点，所有这些点的集合(点集)组成的图形就是函数y=f(x)的图像.

二、疑难知识导析

1.对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨

论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数

在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间

而言的，所以要受到区间的限制.

2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在fGx)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,

要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于

原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a

对称的充要条件是对定义域内的任意x,者灯f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图

像的特殊的对称性的反映.

这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选

择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.

3.用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数

图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲

目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.

三、经典例题导讲

［例1］判断函数y=(；尸的单调性.

错解：•.•()＜；＜l,:.y=(；)-*是减函数

错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性(或单调区间),

仍是从基础函数的单调性(或单调区间)分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.

当然这个函数可化为y=3、，从而可判断出其单调性.

正解：令f=则该函数在R上是减函数，又•.♦()＜；＜1,.•.?=(；)'在R上是减函数,

•••y=(')r是增函数

［例2］判断函数/(x)=(1+x)J—的奇偶性.

Vl+x

f(-x)==Vl-x2=/(x)

上工是偶函数

•••/(x)=(l+x)

1+X

错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个X,都有f(-x)=f(x),

f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.

正解:/(%)=(1+x)J—有意义时必须满足—>0=>-1<X<1

V1+x1+x

即函数的定义域是｛xI由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇

函数也不是偶函数

2

［例3］判断/(x)=log2(x+Vx+1)的奇偶性.

错解：,•*f(-x)=log,(—X++1)-log,(―x++I)

/L(x)且/(-幻~/(x)

所以该函数既不是奇函数也不是偶函数

错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)

f(-x)=f(x),也可改为研究也-X改为x)=0,f(-x)-f(x)=o是否成立.

—

正解：方法一：f(—x)=log2(X+yj(—x)"+1)—log,(―X+y/x~+1)

2

=log2------「—=-log2(x+7x+1)=一/(x)

X+A/X+1

・・・/(x)是奇函数

—

方法二：•:/(x)+f(-x)=log2(x+Jx~+1)+log2(^+dx~+1)

=k)g2](x+J/2+1)•(一九++1)=log21=0

/(-x)=-/(x)，/⑴是奇函数

［例4］函数y=，5—4x—/的单调增区间是.

错解：因为函数g(x)=5-4x-V的对称轴是》=_2,图像是抛物线，开口向下，由图可

知g(x)=5—4x—/在(-8,-2］上是增函数，所以y=A/5-4X-X2的增区间是(-oo,-2J

错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调

性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.

正解：y=j5-4x-x2的定义域是［-5,1］,又g(x)=5-4x-—在区间-5,—0上增函数,

在区间［-2,1］是减函数，所以y=15—4x—炉的增区间是［—5,—2］

［例5］已知奇函数/Xx)是定义在(一3,3)上的减函数，且满足不等式/1(x—3)+f(f—3)〈0,

求x的取值范围.

错解：•♦•/1(一是奇函数，...f(x-3)〈一/1(♦-3)=F(3—*),又/'(x)在(-3,3)上是减函

数，

x-3>3—x,即V+x-6>0

解得x>2或K-3

又/Xx)是定义在(一3,3)上的函数，

所以2<x<3

错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.

—3<x—3<30<x<6

正解:由«.3"一3<3得广，故0〈水

—<x<屈

又是奇函数，...F(x—3)〈一/Xf—3)=f(3—冷，又/Xx)在(一3,3)上是减函数,

.,.%-3>3-/,即X+A—6>0,解得x>2或底一3,综上得2<X>/6,即4=32〈底而｝,

［例6］作出下列函数的图像(l)y=|x-2|(x+l)；⑵y=10叫

分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还

应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思

解：⑴当x22时即x-220时，

19

y=(x-2)(x+l)=x2-x-2=(x--)3

当xV2时,即X-2V0时,

C1c9

y=-(X-2)(x+l)=-x2+x+2=-(x--)2+-.

(x-g)2-g(x>2)

所以y=24

IoM

-U--)2+-(x<2)

这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)

(2)当xel时,lgx20,y=101gx=x；

y=lQl^=10'^=10^=1.

当OVxVl时，IgxVO,X

'x,xA,

y=<1

yo<x<i.

所以1X

这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.（见图）

点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要

特别注意X,y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、

二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.

［例7］若f（x）=竺聚在区间（-2,+oo）上是增函数，求a的取值范围

尤+2

ax+1ax+1

解：设一2cx<冗2，/（西）_/（%2）x2

%+2x2+2

(ax}+l)(x2+2)-(ax2+l)(x)+2)

(X)+2)(X2+2)

(ax/2+2〃玉+尢2+2)—(ax]x2+2ax2+玉+2)

(x,+2)(x2+2)

2a¥]-x,-2ax?4-x2(2Q-1)(^-x2)

(玉+2)(X2+2)(x,+2)(X2+2)

由必入)=竺之在区间(-2,+oo)上是增函数得

x+2

/(Xj)-/(X2)<0-1>0:,a>；

点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，I可到单调性的定义上

去，往往给我们带来“柳喑花明又一村”的感觉.

[例8]已知函数f(x)在(-1,1)上有定义，当且仅当0〈水1时f(x)<0,且对任

2

意x、ye(—1,1)都有f(x)+Ay)=A、土上)，试证明：

14-xy

(l)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(一L1)上单调递减

解：证明：⑴由-(才)+〃明=「()，令产产0,得f(0)=0,令片一X,得F(x)+f(一

1+孙

X)=/(―—手'十⑻二^,广⑺工一人一0二手⑺为奇函数.

1-X2

(2)先证先x)在(0,1)上单调递减.

令0<汨<矛2<1,贝IJ『（加一F（Xl）二F（X2）+f（—^1）=A———）

<及<1,・,•色—小>0,1—为X2>0，————>0,

1-XjX2

又(必一汨)—(1—X2X1)=(X2—1)(小+1)<0

工热一为<1一心汨,

.•.0<"厂内<1,由题意知A%2"%|）<0,

(力在(0,1)上为减函数,又一X)为奇函数且/XOhO.

.♦./1(力在(-1,1)上为减函数.

点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、

单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高.如果“赋值”不够准确，运算技能不

过关，结果很难获得.对于(1),获得/'(0)的值进而取尸一了是解题关键；对于(2),判定

互迎的范围是解题的焦点.

1-X|X2

四、典型习题导练

1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中

y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()

2.若函数/(x)是定义在R上的偶函数，在(-8,0］上是减函数，且/(2)=0,则使得

/(幻<0的工的取值范围是()

A.(-oo,2)B.(2,+oo)C.(―8,—2)U(2,+oo)D.(-2,2)

3.若函数/(x)=log”(x+y/x2+2a2)是奇函数，则a=.

4.已知y=/(x)是定义在R上的单调函数，实数为彳》2，

%.+Ax^+Ax.

==若"(xj—/(4)1<"(。)一/(01，则()

1+/t1+/i

A.2<0B.A=0C.0<2<lD.2>1.

5.已知/(x)是定义在R上的奇函数，且当xe(0,+oo)时，f(x)—x(l+^/x),求/(x).

6.已知函数/'(x)的定义域为R,且对卬、〃CR,恒有/"(研〃，"(而+人。)一1，且/1(一,)=0,

2

当X〉一,时，f(x)>0.

2

(1)求证：/'(x)是单调递增函数；

(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.

7.已知函数万f(x)="X—+1(a,6,cGR,a>0,6〉0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2,

bx+c

其中6GN且/

2

(1)试求函数/'(x)的解析式；

(2)间函数/Xx)图像上是否存在关于点(1,0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存

在，说明理由.

§2.3基本初等函数

一、知识导学

1.二次函数的概念、图像和性质.

(1)注意解题中灵活运用二次函数的一般式/(x)=ax2+bx+c(。工0)

二次函数的顶点式/(x)=a(x-/”)2+〃(4力0)和

二次函数的坐标式/（x）=a（x-X1）（x-X2）（awO）

（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根

的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解.

①/（x）=ax?+人x+c（awO）,当△=/-4ac>0时图像与x轴有两个交点.

M（xi,0）N（X2,0）,|MN|=|XI-X21=.

IaI

②二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点

处取得.

2.指数函数y=ax（a>Q,a*1）和对数函数y=log„x（a>O,a声1）的概念和性质.

（1）有理指数塞的意义、塞的运算法则：

①am-an=am+n；②⑷）"=a™；③（ab）n=anbn（这时m,n是有理数）

对数的概念及其运算性质、换底公式.

M

log”（M.N）=log„M+log“N;log”—=log„M-log„N

；glb

log„M"=nloguM;logaV/W=-log„Mlogab=­°

niogra

（2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.

①指数函数图像永远在x轴上方，当a>l时，图像越接近y轴，底数a越大；当0<a〈l

时，图像越接近y轴，底数a越小.

②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a的讨论.

③当a>l时，图像越接近x轴，底数a越大；当（Ka〈l时，图像越接近x轴底数a越小.

3.嘉函数旷=%"的概念、图像和性质.

结合函数y=x,y^x,y=x,y^y=x”,y=x~2,的图像，了解它们的变化情况.

①a>0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0,+8）上是增函数；

注意a>1与（KaVI的图像与性质的区别.

②a<0时，图像都过（1,1）点，在区间（0,+8）上是减函数；在第一象限内，图

像向上无限接近y轴，向右无限接近x轴.

③当x>l时，指数大的图像在上方.

二、疑难知识导析

1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称

轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称

轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内

2.幕的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些

运算性质防止出现下列错误：

(1)式子叱=a,

⑵log/M+N)=log.M+log“N;loga(M-N)^logflM-logflN

3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.

4.函数y=afM的研究方法一般是先研究/(x)的性质，再由a的情况讨论y=小介的

性质.

5.对数函数y=log,x(a>0,a丰1)与指数函数y=ax(a>Q,a丰1)互为反函数，会将

指数式与对数式相互转化.

6.’幕函数y=x"的性质，要注意a的取值变化对函数性质的影响.

奇偶奇

(1)当a时，幕函数是奇函数；(2)当a时，幕函数是偶函数；(3)当a

福

时，定义域不关于原点对称，基函数为非奇非偶函数.

三、经典例题导讲

[例1]5^^189=0,18*=5,^log3645

错解：；18"=5,.

...]0«45=啕845=—+*9=b+a

-log1836log184+logl89logl84+a

错因：因对性质不熟而导致题目没解完.

正解：18"=5,...108185=6

10„仃=l°g”45=喻5+嘀9b+ab+a_b+a

36-

-1-36log184+log189-logig(18)2+4zl82-a

2O10gl8(5)+。

［例2］分析方程/(x)=ax2+bx+c=0(a>0)的两个根都大于1的充要条件.

错解：由于方程/(x)=ar2+8x+c=0(a〉0)对应的二次函数为

/(x)=ax2+次+c的图像与x轴交点的横坐标都大于1即可.

/(1)>0/(D>0

故需满足<b，所以充要条件是Ib

---->1---->1

.2a、2a

错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1,却忽视了最基本的的前题

条件，应让二次函数图像与X轴有交点才行，即满足△》()，故上述解法得到的不是充要条

件，而是必要不充分条件.

7(1)>o

正解：充要条件是4--b>i

2a

\=b~-4ac>0

［例3］求函数y=36”—12⑹一5的单调区间.

错解：令6'=，，则y=36'-12-6'-5=/—121—5

...当t26,即x?l时，y为关于t的增函数，

当tW6,即xWl时、y为关于t的减函数

函数y=36x-12-6x-5的单调递减区间是(—8,6］,单调递增区间为［6,+8)

错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.

正解：令6'=f,贝卜=6'为增函数，

y=36*-126-5=产—12-5=«-6>-41

，当t26,即x》lH寸，y为关于t的增函数，

当tW6,即xWl时，y为关于t的减函数

...函数y=36,—12-6X-5的单调递减区间是(-叫1］,单调递增区间为［l,+oo)

［例4］已知y=log〃(2-ax)在［0,1］上是X的减函数，则a的取值范围是

错解：：y=loga(2-ax)是由y=log”〃，〃=2-ax复合而成，又a>0

•••“=2-ax在［0,1］上是龙的减函数，由复合函数关系知

〉=108”“应为增函数，...。>1

错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，

单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在［0,1］上有意义.

正解：y=loga(2-ax)是由y=log“〃，〃=2-ax复合而成，又a>0

...〃=2-ax在［0,1］上是尤的减函数，由复合函数关系知

了=108"〃应为增函数，，。>1

又由于X在［0,1］上时y=log”(2-ax)有意义，M=2-ax又是减函数，,x=1时，

“=2—ax取最小值是〃=2-。>0即可，•，•a<2

综上可知所求的取值范围是1<aV2

［例5］已知函数/(x)=10g“(3-ax).

(1)当xe［0,2］时/(x)恒有意义，求实数。的取值范围.

(2)是否存在这样的实数a使得函数/(x)在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为1,如

果存在，试求出”的值；如果不存在，请说明理由.

分析：函数/(x)为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题

思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.

解：(1)由假设，3—ax>0,对一切xe［0,2］恒成立，

,,3

显然，函数g(x)=3-ax在［0,2］上为减函数，从而g(2)=3-2。>0得到。V—

2

3

的取值范围是(0,1)u(1,-)

2

(2)假设存在这样的实数a,由题设知/⑴=1,即/(l)=log"(3—“)=1

33

-此时/(x)=loga(3--x)

当x=2时，/(x)没有意义，故这样的实数不存在.

点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处

理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.

即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.

1+2、+4a

［例6］已知函数F(x)=lg：■,其中。为常数，若当(—8,1］时，F(x)有意

-a+1

义，求实数a的取值范围.

分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式(组)非常

困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识。与其它变元(x)的依存

关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.

解：1+f+4a*,且a2-a+i=(a-_L)2+±>o,

a1-a+\24

1+2*+4*•a>0,a>-(—+—),

4'T

当xG(-8,1］时，尸J_与尸J_都是减函数，

4r2X

片—(口-+‘■)在(-8,i］上是增函数，—(_!_+3,

4A2A4*2A4

・・・a>-3-,故&的取值范围是(一3士，+8).

44

点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换

位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表

现.本题主客换位后，利用新建函数产-(1-+」-)的单调性转换为函数最值巧妙地求出了

4*T

实数a的取值范围.此法也叫主元法.

［例7］若5+1)一§<(3—2a)「"试求。的取值范围.

解：•.•塞函数y有两个单调区间，

...根据a+1和3—2。的正、负情况，有以下关系

a+1>0。+1<0

。+1<0

<3—2a>0.①<3—2a<0.②.③

3—2。>0

。+1>3—2〃。+1>3—2〃

23

解三个不等式组：①得一v〃v—,②无解，③〃V-1

32

23

的取值范围是(一8,—1)u(—,—)

32

\_

点评：哥函数y=；§有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认

为〃+1>3-2〃，从而导致解题错误.

［例8］已知a>0且,f(logx)=——(x——)

aCl"-1X

⑴求f(x);

(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；

(3)对于f(x),当xe(—1,1)时，有f(1—m)+f(1—nr)<0,求m的集合M.

分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性：然

后利用以上结论解第三问.

解：(1)令t=10gaX(tdR),贝I」

x=",/Q)=—-a—),；,/(x)=-；(a*-CCxeR).

a"-1a-1

⑵•••f(-x)=,(a-*-〃*)=-/(x),且xeR,/(x)为奇函数当a>1时,—>0,

a--1a-1

“(x)=相-「为增函数，当0<”1时，类似可判断f(x)为增函数.综上，无论a>1或0<a<1,

f(x)在R上都是增函数.

⑶f(1-团)+/(I-机2)<0,/(x)是奇函数且在R上是增函数,..J(1-阳)</(也2-1),又

VxG(-1,1)

-1<l-m<1

-1<加2一1<1=1<mv72.

\-m<tn2-1

点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f(x)的表达式

可求出m的取值范围，请同学们细心体会.

四、典型习题导练

1.函数/(x)=a〜的图像如图，其中以b为常数，则下列结

1

-11

论正确的是()

A.6?>1,/?<0B.a>\,h>0

C.0<<1,/?>0D.0<tz<1,/?<0

2、已知21g(x—2y)=Igx+lgy,则小的值为()

y

A.1B.4C.1或4D.4或8

3、方程log〃(x+l)+x2=2(O<a<l)的解的个数为()

A.0B.1C.21).3

4、函数f(x)与g(x)=(,)x的图像关于直线y=x对称，则f(4—x?)的单调递增区间是

2

()

A.[0,+oo)B.(-oo,0]C.[0,2)D.(-2,0]

5、图中曲线是毒函数y=x"在第一象限的图像，已知n可取±2,±1

四个值,则相应于曲线C1、C2、C3>C4的n依次为()

A.-2,——,—,2B.2,—,——,—2

2222

C.——,—2,2，—D.2,L-2,—-1

2222

6.求函数y=log2(x2—5x+6)的定义域、值域、单调区间.

7.若x满足2(log|x)2-141og4X+3«0，求f(x)=log2g1og交叱最大值和最小值.

222

8.已知定义在R上的函数/。)=2'+/，。为常数

(1)如果/(x)=/(-X),求a的值;