2021年山西省晋中市段纯中学高三数学理月考试卷含解析

2021年山西省晋中市段纯中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，的夹角为，且，，则（

）A. B.3 C. D.参考答案：C【分析】利用计算．【详解】由已知，，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题关键是掌握数量积的性质：，把向量模的运算转化为向量的数量积．2.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布A．

B．

C．

D．

参考答案：D：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m,

则由题意知，解得d=．故选：D．3.参考答案：C略4.已知M为△ABC内一点，=+，则△ABM和△ABC的面积之比为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】向量的三角形法则．【分析】作出图形，则两三角形的面积比等于两三角形高的比，转化为．【解答】解：设，，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，则EF∥AB，∴==．故选：A．5.的展开式中，含x的正整数次幂的项共有

（

）

A．4项

B．3项

C．2项

D．1项

参考答案：答案：B6.三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=4,AA1=6，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．68π

B．32π

C．17π

D．164π参考答案：A7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，若，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为(

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.在中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.一个圆台的三视图和相关数据如右图所示，则该圆台的侧面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.下列命题是真命题的是

A．若，则

B．

C．若向量a、b满足a‖b，则a+b=0

D．若,则参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若是纯虚数，则tanθ的值为．参考答案：略12.已知不等式的解集为，则= 。参考答案：略13.已知双曲线中，是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点，使得，则双曲线离心率的取值范围是____________.参考答案：【分析】根据，可得以为直径的圆与线段有两个交点（不含端点），从而得到满足的不等式组，从这个不等式组可求离心率的取值范围.【详解】设为半焦距，则，又，所以，以为直径的圆的方程为：，因为，，所以与线段有两个交点（不含端点），所以即，故，解得.故填.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．14.已知数列{an}是等差数列，公差d不为0，Sn是其前n项和，若a3，a4，a8成等比数列，则下列四个结论①a1d＜0；②dS4＜0；③S8=﹣20S4；④等比数列a3，a4，a8的公比为4．其中正确的是．（请把正确结论的序号全部填上）参考答案：①②④【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意求出等差数列的首项和公差的关系，然后逐一核对四个命题得答案．【解答】解：由a3，a4，a8成等比数列，得，∴，整理得：．∴，①正确；=，②正确；=，=，③错误；等比数列a3，a4，a8的公比为q=，④正确．故答案为：①②④．15.在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是

▲

．参考答案：答案：16.若实数x，y满足约束条件则z＝lny－lnx的最小值是________．参考答案：－ln317.设数列是首项为,公比为的等比数列,则

．参考答案：15略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC=∠PDF；（2）求PE?PF的值．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；立体几何．【分析】（1）证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明：∠PEC=∠PDF；（2）证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得PE?PF的值．【解答】（1）证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=∠APE=90°，∴P、B、C、E四点共圆．∴∠PEC=∠CBA．又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠PDF，∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣（2）解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆．∴PE?PF=PC?PD=PA?PB=2×12=24．﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查圆的性质，考查四点共圆的判定，考查割线的性质，属于中档题．19.（12分）已知函数，为常数.

（1）若当时，取得极值，求的值，并求出的单调增区间；

（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.参考答案：解：(1)

时,

取得极值，,

,。。。。。2分

,

或

，的单调增区间为、

。。。。。。。。4分（2）

令

则在上有解，但没有等根。

?当时，，则恒成立，即，

在上单调递增，

无极值。

?当时，，

时，恒成立，

在上无极值。

同理当时，在上无极值。?当或时，，方程有二个解且

?当时，，均为负根，所以在上单调递增。

?当时递增极大值递减极小值递增处有极大值，处有极小值。的取值范围是。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分略20.已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．(1)若a＝2，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数；(2)求f(x)在[1，e]上的最小值．参考答案：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－2lnx，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝>0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数．(2)f′(x)＝(x>0)，当x∈[1，e]，2x2－a∈[2－a,2e2－a]．若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，又f(1)＝1，故函数f(x)在[1，e]上的最小值为1.若a≥2e2，则当x∈[1，e]时，f′(x)≤0，所以f(x)在[1，e]上是减函数，又f(e)＝e2－a，所以f(x)在[1，e]上的最小值为e2－a.若2<a<2e2，则：当1≤x<时，f′(x)<0，此时f(x)是减函数；当<x≤e时，f′(x)>0，此时f(x)是增函数．又f＝－ln，所以f(x)在[1，e]上的最小值为－ln．综上可知，当a≤2时，f(x)在[1，e]上的最小值为1；当2<a<2e2时，f(x)在[1，e]上的最小值为－ln；当a≥2e2时，f(x)在[1，e]上的最小值为e2－a.21.

已知函数，数列满足，,

1.求，，的值；

2.求证：数列是等差数列；

3.设数列满足，，

若对一切成立，求最小正整数的值.参考答案：1）由，得

……3分（2）由得

……8分所以，是首项为1，公差为的等差数列

……9分（3）由（2）得

……11分当时，，当时，上式同样成立，……13分所以因为，所以对一切成立，