第8届全国力学比赛试题及答案

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第八届全国周培源大学生力学比赛试题参考答案

一、看似简单的小试验（30分）（1）小球P不会直截了当击中A点，证明见详细解答。1（2）小球P2与圆盘开始分离时的角度?=arcsin(3?1)≈47°。（3）碰撞结束后瞬时小球P与半圆盘的动能之比为5：4。3

二、组合变形的圆柱体（20分）（1）MT=

132

πD3τs。

3τs的轴向拉伸应力别产生屈服。

14

（2）在柱B端并且施加σ=

（3）圆柱体的体积改变量ΔV=

σπD2L(1?2ν)/E。

三、顶部增强的悬臂梁（30分）（1）组合截面形心的位置：zC=0，yC=0.592h1。（2）使梁B端下表面刚好接触C台面所需的竖向力为FP=0.4E1bh1Δ/L。

33

top

（3）别使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为FQ（4）梁的剪应力为τ=3E1ΔyC?y2

2

(

2

)/L，沿梁截面高度的分布图见详细解答。

3

=0.28E1bh12Δ/L2。

四、令人惊奇的魔术师（20分）（1）力学原理：沿别同方向推动木条时，需要的推力大小别同，木条运动的方式也别同：沿AB推，推力F1最大，木条平动；垂直AB在别同位置推动木条，木条绕别同的点转动，且推力F2的大小、转动位置均与推力位置有关。（2）根据滚动小球的号码信息，推力位置位于[num,num+1]号小球之间，且

2XXXax2?Q2取整。（注意Q=N,orN?1,orN+1均算正确）。num=4XXXax?2Q

（3）设F2/F1=η，η∈[0,0.414)不会浮现。当η∈[0.414,0.828)时，观众假如有意把

F2错报为1F2，一定会被魔术师发觉。若η∈[0.828,1]时，观众有意报错不可能被发觉。2

五、对称破缺的太极图（20分）（1）Ix=Iz=Ix'=Iz'成立，见详细解答。（2）在x=?r,z=0处粘上质量为1m的配重，图形就能够在空中绕Z轴稳定地转动。4

1

详细解答及评分标准总体原则：（1）计算题的某一小咨询，只要最终结果正确且有适当的步骤，就给全分。（2）如结果别正确，则参考具体的评分标准。（3）如结果别正确且办法与参考答案别一样，各地自行统一酌情给分。（4）证明题需要看过程。

一、看似简单的小试验（30分）【解】（1）小球出手后开始作抛物线运动，能够证明，在题目所给条件下，小球击中A点之：前，一定会和圆盘边缘上其它点碰撞，即小球不会直截了当击中A点。证明：假如想求出抛物线与圆的交点表达式，会非常复杂。下面采纳非常简单的办法。，圆圆盘的边界轨迹为x+y=r，在A点右边的x=?r+Δx处（设Δx为一阶小量）

222

结论3分证明办法别限。结论错误，0分；结论正确且能够证明，3分；结论正确但证明别完善，1分。

盘的高度为(?r+Δx)+y1=r，y1=2rΔx?Δx，略去高阶小量，即y1～Δx

22222

0.5

；

小球的抛物线轨迹方程一定能够写为y=?a(x?b)+c的形式（a、b、c与初始条件有

2

关且均为正值）。在x=?r+Δx处，抛物线的高为y2=?a(?r+Δx?b)+c。假设抛物线过

2

A点，则有0=?a(?r?b)+c。所以有y2=2a(r+b)Δx?aΔx，略去高阶小量，y2～Δx。即

2

2

即在A点之前（x=?r+Δx处），抛物线的高度是1阶小量，而圆盘的高是0.5阶小量，因此圆盘比抛物线高。所以小球在击中A点前一定会先与圆盘上某点发生碰撞，不会直截了当击中A点。（2）建立惯性坐标系与初始时间的Oxy重合。

能够用别同的办法求解。系统水平方向动量守恒

mx+m(x?r?sin?)=0

2

（1－1）

1分

系统机械能守恒

12

mx2+1m(x2?2xr?sin?+r2?2)+mgrsin?=mgr2

mx=?Ncos?

（1－2）

1分

拆开系统，对小球由水平方向质心运动定理（1－3）1分

由（1－1）和（1－2）得到

4(1?sin?)gx=?r?sin?，?=(2?sin2?)r

122

（1－4）

得到速度或角速度，1分

对（1－4）中的速度和角速度求导有

x=?1r?sin??1r?2cos?，?=?22

把（1－5）代入（1－3）有

2cos?(2+sin2??2sin?)g(2?sin2?)2r

（1－5）

得到加速度或角加速度，2分得到压力与角度的正确表达式，3分

N=

mg(4+sin3??6sin?)

(2?sin?)

23

2

（1－6）

下面求小球正好脱离圆盘的位置，即求4+sin

??6sin?=0的解。设x=sin?，

y=x3?6x+4。普通事情下三次方程的解不行求，然而本题比较好求。把x＝－3，－2，－

1，0，1，2，3代入，能够看出x在（－3，－2）之间、（0，1）之间以及x=2处有三个解（见下图）。

依照三角函数的特点，（0，1）之间的解故意义。注意到x=2是一具解，因此设

x3?6x+4=(x?2)(x2+ζx?2)，容易求出ζ=2，咨询题变为求x2+2x?2=0在（0，1）

所以?之间的解，x=3?1，为

得到角度的正确表达式，3=arcsin(3?1)≈47°时，小球与圆盘压力为零，正好分离。分

（3）为了求出碰撞后的速度，能够用别同的办法。以碰撞点处的法向n和切向τ为坐标轴构成x'y'。

3

碰撞前小球的绝对速度在x'y'坐标系中为vx'y'=(?v0sin?,?v0cos?)。设碰撞后小球

?

T

的绝对速度为vx'y'=(vx'y',vx'y')。

T

+

+n

+τ

碰撞时以小球为研究对象，由于圆盘光滑，小球切向速度别变有

+vx'τy'=?v0cos?

（1－7）

法向速度满脚恢复系数关系，设圆盘以速度u后退运动，在x'y'坐标系中为

+ux'y'=(?ucos?,usin?)。依照碰撞定义，有T

2分，能够带入角度。假如坐标系选取别同，或符号别同，只要正确即可。下面类似处理2分

e=

并且依照系统水平动量守恒，有

+vx'ny'+ucos?

v0sin?

（1－8）

++u=vx'ny'cos??vx'τy'sin?

（1－9）

1分

联立（1－7）（1－8）（1－9），，，解出

+vx'ny'=

v(1+e)sin?cos?v0sin?(e?cos2?)，u=021+cos?1+cos2?

（1－10）

2分＋2分

小球的动能：T1=1mvx'y'2

(

+n

)

2

++1m(vx'τy')，半圆盘的动能：T2=1mu222

2

代入e=1和?=45°，因此碰撞后瞬时小球的动能与半圆盘的动能之比为

T1:T2=5:4

二、组合变形的圆柱体（20分）

（1－11）

3分

【解】（1）在扭矩作用下，圆柱外表面产生最大剪应力，其值为50%是剪切屈服应力。由扭：转内力和应力公式计算得到

τ=

τMTM=T3=sWPπD216

MT=

2分

πD3

32

τs

(2-1)

4分

（2）在圆柱外表面有最大应力，在剪切和轴向拉伸作用下，平面应力状态的主应力表达式为

4

σ1σ1?σ2+4τ2,σ2=0,σ3=?σ2+4τ2?σ1=+2222?

应用第三强度理论（最大剪应力强度理论），有

3分

τmax=

以剪应力τ=

σ1?σ3

2

=

τs

2

1σ2+4τ22

(2-2)

1分

和拉伸应力σ代入(2-2)式，屈服将发生在当拉伸应力σ达到

τmax

故，

?σ??τ?=τs=??+?s??2??2?

2

2

(2-3)

σ=3τs

(2-4)

2分办法别限制，

（3）依照圆柱扭转变形后截面保持平面的假定，扭转作用别引起体积改变。仅思考轴向拉伸作用下的体积改变量，利用功的互等定理，建立另一均匀压强p作用下的圆柱体（思考小变形）。圆柱轴向拉伸力为F=σπD/4，与另一圆柱的伸长变形ΔL(p)功共轭，由功的互

2

等关系，

F?ΔL(p)=?pΔV(F)

式中，ΔL(p)=ε1L。均匀压强p作用下的圆柱体，三个主应力均为：

(2-5)

1分

σ1=σ2=σ3=?p

轴向伸长应变为

1分

ε1=

代入(2-5)式，有：?

1p?σ1?ν(σ2+σ3)?=?(1?2ν)??EE

(2-6)

2分

FpL(1?2ν)=?pΔV(F)，E

从而得到体积改变量：

ΔV(F)=

FLσπD2L(1?2ν)=(1?2ν)4EE

(2-7)

4分

三、密切结合的复合梁（30分）【解】注意：计算结果保留小数点后2位即能够。答案中保留了小数点后3位。答案如包含中间过程的参数，只要正确，也同样给分。（1）建立如下坐标系（假如坐标系别同，只要结论正确，别扣分）

5

先计算折算面积和截面几何性质，换算为同样模量E1材料的T形截面，求截面形心的位置，由于截面对称，故zC=0，仅求yC。1分

h12bh??+2bh2?h1+2?22?0.71h1?yC===0.592h11.2h1b+2bh2

(3-1)

5分

（2）叠合梁粘接共同工作，先计算折算面积和截面几何性质，换算为同样模量E1材料的T形截面，

322bh132bh2Iz=+bh1((0.592?0.5)h1)++2bh2((1?0.592)h1+0.5h2)1212

=(0.083+0.008)bh13+0.167b(0.1)h13+0.2bh13(0.458)

3

2

(3-2)

4分

=(0.091+0.0+0.042)bh=0.13XXXh

31

31

由梁端位移计算：Δ=

FpL33E1Iz

，得到所需的竖向力为：

Fp=

3E1IzΔ0.4E1bh13Δ=L3L3

(3-3)

4分

（3）求此刻别使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力。由沿梁长度方向的剪力为常数，有FQ=Fp，得到梁上表面的剪应力为1分

τtop

3E1IzΔS33EΔ?1???==L=13?2bh2?(h1?yc)+h2??2??bIzbIzbL??FQS=3E1ΔEh12Δ0.2h1[0.408h1+0.05h1])=0.2813(L3L

(3-4)

4分

乘以梁上表面的面积，即为剪力值：

6

F

（4）计算剪应力的分布公式：

topQ

0.28E1bh12Δ=τbL=L2

top

(3-5)

1分

τ=

==

FQSbIz

=

FQ?1????b(yC?y)?y+2(yC?y)??bIz????

(3-6)4分，最终三个等号中的任意一具均能够

FQ?b?FQ22?2