北京市昌平区2020届高三数学上学期期末质量检测试题理

北京市昌平区2020届高三数学上学期期末质量检测试题理本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡回收。第一部分（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）若会合Ax|x22x0，Bx||x|1，则AIBA．C．

x|2x1B．x|1x0x|0x1D．x|1x2xy10,（2）设x,y知足xy10,那么2xy的最大值为开始y10,A．3B．2C．1S1，k1D．1（3）右图是一个算法流程图，则输出的k的值为SSk2kk1A．2S10否B．3是C．4输出kD．5结束（4）设a是单位向量，b是非零向量，则“ab”是“a(ab)=1”的A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件（5）设P,Q分别为直线xt,（t为参数）和曲线C：x15cos,为参数）y15y2（2t5sin上的点，则|PQ|的最小值为A．5B．25C．35D．45（6）数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，公比q1，且a5b5，则A．a3a7b4b6B．a3a7b4b6C．a3a7b4b6D．a3a7b4b67）《九章算术》是我国古代数学著作，书中有以下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图以下图,一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估量出堆放的米约有A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛（8）设点F1,F2分别为椭圆C:x2y21的左、右焦点，点P是椭圆C上随意一点，若使得uuuruuuur954个，则实数m的值能够是PF1PF2m成立的点恰巧是A．1B．3C．5D．82第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）（9）已知复数z知足(1i)z2i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数z_____.（10）已知点F为抛物线y28x的焦点，则点F坐标为_________；若双曲线x2y21a22（a0）的一个焦点与点F重合，则该双曲线的渐近线方程是．（11）已知(xa)7睁开式中x5的系数为21，则实数a的值为.x（12）能说明“若点M(a,b)与点N(3,1)在直线xy10的同侧，则a2b22”是假命题的一个点M的坐标为_____________.（13）已知函数f(x)sinx，若对随意的实数(4,)，都存在独一的实数(0,m)，6使f()f()0，则实数m的最大值是_____________．ax,x1,（14）已知函数f(x)xa,x此中a0,且a1.1,2（i）当a2时，若f(x)f(2)，则实数x的取值范围是___________;(ii)若存在实数m使得方程f(x)m0有两个实根，则实数a的取值范围是___.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（15）（本小题满分13分）若△ABC的面积为2,b1,c6，且A为锐角.2(Ⅰ)求cosA的值；(Ⅱ)求sin2A的值.sinC（16）（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，AB2AD2EF4,AEDE2.(Ⅰ)求证：AB∥EF;(Ⅱ)求直线BF与平面ADE所成角的正弦值;

EFDCAB(Ⅲ)求平面BCF与平面ADE所成锐二面角的余弦值.（17）（本小题满分13分）某汽车品牌为了认识客户关于其旗下的五种型号汽车的满意状况，随机抽取了一些客户进行回访，检查结果以下表：汽车型号IIIIIIIVV回访客户（人数）250100200700350满意率0.50.30.60.30.2满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假定客户能否满意相互独立，且每种型号汽车客户关于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.(Ⅰ)从全部的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；(Ⅱ)从I型号和V型号汽车的全部客户中各随机抽取1人，设此中满意的人数为，求的分布列和希望；(Ⅲ)用“11”,“21”,“31”,“41”,“51”分别表示I,II,III,IV,V型号汽车让客户满意，“10”,“20”,“30”,“40”,“50”分别表示I,II,III,IV,V型号汽车让客户不满意.写出方差D1,D2,D3,D4,D5的大小关系.（18）（本小题满分13分）已知椭圆x2y2过点(0,2)，离心率为6C:a2b21ab0e=.记椭圆C的右焦点为3F，过点F且斜率为k的直线交椭圆于P,Q两点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若线段PQ的垂直均分线与x轴交于点M(x0,0)，求x0的取值范围.（19）（本小题满分

13分）已知函数

f(x)

lnx

ax2

2ax．(Ⅰ)若a

1，求曲线

y

f(x)在点

(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若

f(x)

x恒成立，务实数

a的取值范围．（本小题满分14分）已知会合A{x|x2n1,nN*}，B{x|x2n1,nN*},CAUB．关于数列{an}，a11，且关于随意n≥2，nN*，有anmin{xC|xan1}．记Sn为数列{an}的前n项和.(Ⅰ)写出a7，a8的值；(Ⅱ)数列{an}中，关于随意nN*，存在knN*，使akn2n1，求数列{kn}的通项公式；(Ⅲ)数列{an}中，关于随意nN*，存在kN*，有ak12n1.求使得Sk127ak1成立的k的最小值．昌平区2020－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参照答案及评分标准（理科）2020.1一、选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题号12345678答案ADBCBCAB二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）9.1i10.(2,0)；yx11.312.或2,0),(0,2),(2,2)]（答案不独一）(1,1)[(2213.14.(,2)；(0,1)U(1,2)4三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）（本小题满分13分）2解:由于△ABC的面积为,2因此SVABC1bcsinA116sinA2，因此sinA3．2223由于△ABC中，A为锐角，因此cosA1sin2A6.6分3（II）在△ABC中，由余弦定理，a2b2c22bccosA12(6)221663，因此a3．3由正弦定理a=c,因此sinA=a.sinAsinCsinCc因此sin2A2sinAcosA2acosA23623.13分sinCsinCc633（16）（本小题满分14分）证明：(Ⅰ)在五面体ABCDEF中，由于四边形ABCD是矩形，因此AB∥CD.由于AB平面CDEF,CD平面CDEF,因此AB∥平面CDEF.由于AB平面ABFE,平面ABFEI平面CDEFEF,因此AB∥EF.4分zEF(Ⅱ)取AD的中点O，BC的中点M,连结OE,OM.DC由于四边形ABCD是矩形,因此OMAD.AOMyB由于AEDE2,O是AD的中点，因此OEAD,且OE1.x由于平面ADE⊥平面ABCD，平面ADEI平面ABCDAD，OE平面ADE,因此OE平面ABCD.如图，成立空间直角坐标系Oxyz,依题意得O(0,0,0),B(1,4,0),F(0,2,1).uuur(1,2,1)，平面ADE的法向量为m(0,1,0)因此BF.设直线BF与平面ADE所成角为，则uuur|muuuur|2|6sin|BF|,|cosm,BFuuuur63|m||BF|6因此直线BF与平面ADE所成角的正弦值为.9分3uuur(Ⅲ)由C(1,4,0),得BC(2,0,0).设平面BCF的法向量为n(x,y,z)，则有uuurnBC0,2x0,nuuur0,即2yz0.BFx令y1,则n(0,1,2).由于平面ADE的法向量为m(0,1,0),nm15因此cosn,m5.|n||m|5因此平面BCF与平面ADE所成锐二面角的余弦值为5.14分5（17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是2501002007003501600，满意的客户人数2500.51000.32000.67000.33500.2555，故所求概率为555111．4分1600320（Ⅱ）0,1,2.设事件A为“从I型号汽车全部客户中随机抽取的人满意”，事件B为“从V型号汽车全部客户中随机抽取的人满意”，且A、B为独立事件.依据题意，P(A)预计为0.5，P(B)预计为0.2.则P(0)P(AB)(1P(A))(1P(B))0.50.80.4;P(1)P(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)(1P(B))(1P(A))P(B)0.50.80.50.20.5;P(2)P(AB)P(A)P(B)0.50.20.1.的散布列为012P0.40.50.1的希望E()00.41.11分（Ⅲ）D1D3D2D4D5．13分（18）（本小题满分13分）b2,a26,c6,解：（Ⅰ）由题意可知e解得b22,a3c24.222,abc故椭圆的标准方程为x2y2C1.562分（Ⅱ）依题意，F(2,0),直线PQ的方程为ykx2.x2y21,消去y并整理得3k21x212k2x12k2联立方程组6260.ykx2.12k22412k263k2124k210,设Px,y、Qx,y，故x1x212k2y1y2k(x1x2)4k4k,2，211223k13k1设PQ的中点为N，则N(6k2,2k).2123k3k1由于线段PQ的垂直均分线与x轴交于点M(x0,0)，①当k0时，那么x00；2k②当k0时，kMNk1，即3k21k1.6k2x03k21解得x4k24.03k2113k2由于k20,因此313，044，即x0(0,4)k2133324k综上，x0的取值范围为[0,).3

.13分（19）（本小题满分13分）解：函数f(x)的定义域为(0,).（I）a1时，f(x)lnxx22x,f(x)12x2,xf(1)1，且f(1)1.因此曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y(1)x1，即xy20.5分（II）若f(x)x恒成立，即f(x)x0恒成立．设g(x)f(x)xlnxax2(2a1)x，只需g(x)max0即可；g(x)2ax2(2a1)x1x．①当a0时，令g(x)0，得x1.x,g(x),g(x)变化状况以下表：x(0,1)1(1,)g(x)0g(x)↗极大值↘因此g(x)maxg(1)10，故知足题意.②当a0时，令g(x)0，得x11；（舍）或x2ax,g(x),g(x)变化状况以下表：x(0,1)1(1,)g(x)0g(x)↗极大值↘因此g(x)maxg(1)a1，令a10，得0a1.③当因此

a0时，存在x211,知足g(21)ln(21)0，因此f(x)0不可以恒成立，aaaa0不知足题意.综上，实数a的取值范围为[0,1].13分（20）（本小题满分14分）解：（I）A{x|x2n1,nN*}{3,5,7,9,11,13,,2n1,},B{x|x2n1,nN*}{1,2,4,8,16,32,,2n1,}，CAUB{1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,}.由于a11，且关于随意n≥2,nN*，anmin{xC|xan1}，因此a11,a22,a33,a44,a55,a67,a78,a89.4分（II）关于随意n≥2，nN*，有anmin{xC|xan1}，因此关于随意n≥2，nN*，有anan1，即数列{an}为单一递加数列.由于关于随意nN*，存在knN*，使akn2n1，因此k1k2k3┅kn┅．由于akn2n1，ak2n，因此关于随意nN*，有k11，k22，k34，因此，当n≥2n1时，有kn1kn2n2n112n21，2即k3k2201，k4k3211，k5k4221，knkn12n31，因此当n≥3时，有knk22021222n3(n2)12n2(n2)2n2n3(n3)，12因此kn2n2n1(n3).又k11，k22，数列{kn}的通项公式为：kn1,n1,10分2n2n1,n.2（III）若nN*，kN*，有ak12n1，令2m1≤2n，mN*，解得m1≤log2(2n)，即m≤log2n2，得mmax=[log2n2]=[log2n]2，此中[log2n2]表示不超出log2n2的最大整数，因此k1nmmaxn([log2n]2),kn([log2n]1).Sk1[357⋯(2n1)][12⋯2[log2n]1]=n(n2)(2[log2n]21)，依题意Sk127ak1，n(n2)2[log2n]2127(2n1)，即n252n28[log2n]20，2(n26)242[log2n]704.当[log2n]0时，即n1时，(n26)24[log2n]629704，不合题意；2当[log2n]1时，即n2,3时，(n26)2[log2n]2428704，不合题意；42当[log2n]2时，即4≤n≤7时，(n26)242[log2n]