2021-2022年全国卷高考文科数学试题

2021年普通高等学校招生全国统一考试试卷题

文科数学

第I卷(选择题)

本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

参考公式：

如果事件A,8互斥，那么球的表面积公式

P(A+8)=P(A)+P(8)S=4任

如果事件A8相互独立，那么其中R表示球的半径

P(A®)=P(A)¥(3)球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么V=-7tR}

3

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

匕/)=尸(1一P产(k=0,1,2,…，〃)

选择题

(1)已知全集"={1,2,3,4,5,6,7,8},M={\,3,5,7},N={5,6,7},贝IJC“(A7|JM=

(A){5,7}(B){2,4}(C){2.4.8}(D){1,3,5,6,7}

(2)函数y=Q(xW0)的反函数是

(A)y=f(x>0)(B)>=一％2(x>0)

(B)y=》2(x<o)(D)y=-f(x<o)

(3)函数y=y=log,----的图像

2+x

(A)关于原点对称(B)关于主线丁=一兀对称

(C)关于y轴对称(D)关于直线y=x对称

(4)己知ZL4BC中，cotA=----,贝iJcosA=

12512

(A)E⑻百(C)

(5)已知正四棱柱—中,AA}=2AB,E为A4,重点，则异面直线5E

与CR所形成角的余弦值为

(A)®13Vio3

(B)-(c)(D)-

10nr

(6)已知向量a=(2,1),a•6=10,\a+b|=5&，则|6|=

(A)A/5(B)V10(C)5(D)25

(7)设a=lge,0=(lge)2,c=lg廖则

(A)a>b>c(B)a>c>b(C)c>a>b(D)c>b>a

(8)双曲线二=1的渐近线与圆(x—3)2+V=/«>0)相切，则厂

63

(A)百(B)2(C)3(D)6

7T7T

(9)若将函数)，=tan(@x+—)(<y>0)的图像向右平移一个单位长度后，与函数

-46

y=tan@r+令的图像重合，则6y的最小值为

11cl1

(A)-(B)-(C)-(D)-

6432

(10)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

(A)6种(B)12种(C)24种(D)30种

(11)已知直线y=攵(x+2)(左>0)与抛物线C：y2=8x相交A、B两点，F为C的焦点。

若|E4|=2|网，则k=

1V222V2

(A)-(B)—(Q-(D)——

3333

(12)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正

方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标的面的方位是

第n卷(非选择题)

本卷共10小题，共90分。

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的

横线上.

（13）设等比数列｛凡｝的前n项和为s,。若4=1,S6=4S3，则x

（14）（工打一的展开式中小丫3的系数为x

（15）已知圆O：/+y2=5和点人（1,2）,则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围

成的三角形的面积等于>

（16）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45。角的平面截球O的表

7万

面得到圆C。若圆C的面积等于一，则球O的表面积等于X

4

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

解答过程写在答题卡的相应位置。

（17）（本小题满分10分）

已知等差数列｛｝中，。3a7=T6,%+4=°，求｛七｝前n项和

（18）（本小题满分12分）

3,

设aABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b^c,cos（A-C）+cosB=—,/?*=ac,

2

求B.

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-AIBIG中，AB±AC,D.E分别为AAi、BC的中点，DEL平

面BCCi

（I）证明：AB=AC

知A

（Il）设二面角A-BD-C为60。,求BiC与平面BCD所成的角的大小/

B

（20）（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。

现采用分层抽样(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进

行技术考核。

(I)求从甲、乙两组各抽取的人数；

(II)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(III)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。

(21)(本小题满分12分)

设函数f(x)=gx3-(l+a)x2+4ox+24a，其中常数a>l

(I)讨论f(x)的单调性；

(II)若当xK)时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。

(22)(本小题满分12分)

x2y2..,V3

已知椭圆C:/+方=1(。>匕>°)的离心率为可，过右焦点F的直线1与C相交于A、B

两点，当1的斜率为1时，坐标原点O到1的距离为£

2

(I)求a,b的值；

(II)C上是否存在点P,使得当1绕F转到某一位置时，有°P=0A+0B成立？

若存在，求出所有的P的坐标与1的方程；若不存在，说明理由。

2021年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案和评分参考

一.选择题

(1)C(2)B(3)A(4)D(5)C(6)C

(7)B(8)A(9)D(10)C(11)D(12)B

二.填空题

25

(13)3(14)6(15)一(16)8”

4

三.解答题

17.解：

设｛4｝的公差为d,则

(q+2d)(4+6d)=-16

<

6i1+3d+q+5d—0

即

a；+8dq+12/=-16

<

q=-Ad

解得

q=_8,q=8

d=2,\d=-2

因此=一8〃+几(〃-1)=〃(〃-9),^Sft=8/1—n(n—1)=-TI(77-9)

(18)解：

3

由cos(A-C)+cosB=—及B=n-(A+C)得

2

/、,、3

cos(A-C)-cos(A+C)=—,

2

、3

cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=一,

2

3

sinAsinC=­.

4

又由k=ac及正弦定理得

sinS=siAsC

3

故sin29B=-,

4

sinB=——或sinB=----（舍去），

22

JI2n

于是B=-或B=—.

33

又由〃=a（知。Wa或bWc

JT

所以B=—。

3

（19）解法一：（I）取BC中点F,连接EF,则EF〃-,从而EF〃DA。

21

连接AF,则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE_L平面BCCt,故AFL平面BCC,,

从而AFLBC,即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。

(II)作AGLBD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CGLBD,故NAGC为二面角A-BD-C

的平面角。由题设知，ZAGC=60°.

2

设AC=2,则AG=。又AB=2,BC=20,故AF=0。

222

由AB•AD=AG•3D得2AD=.yjAD+2,解得AD=血。

故AD=AF。又ADLAF,所以四边形ADEF为正方形。

因为BC_LAF,BC±AD,AFCAD=A,故BC_L平面DEF,因此平面BCDJ_平面DEF。

连接AE、DF,设AECDF=H,则EH_LDF,EHJ_平面BCD。

连接CH,则NECH为gC与平面BCD所成的角。

因ADEF为正方形，AD=V2,故EH=1,又EC=48C=2,

2

所以NECH=30°,即BC与平面BCD所成的角为30°.

解法二：

(I)以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。

”C).

设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则6(1,0,2c),E(-,

122

-1bt一->->

于是DE=(-,0),BC=(-1,b,O).由DEJ_平面8CC|知DE_LBC,DE-BC-Qi

2

求得b=l,所以AB=ACo

—>—>T—>—>—>

(II)设平面BCD的法向量AN=(x,y,z),则4从8。=0,428。=0.又8。=(-1,1,

「一x+y=0

0),BD=(-1,0,c)，故y

I—x+cz=0

I-]

令x=l,则y=l,z=—,AN=(1,1,-).

cc

又平面ABO的法向量AC=(0,1,0)

由二面角A-BD—C为60°知，=60°,

故A/V-AC=|A/V|-|AC|-COS60O,求得c=\

于是AN=(1,1,V2),西=(1,—1,五)

cos('丽，西/"网普.骂侬|」2

AN,CBj=61

所以⑸C与平面8C。所成的角为30。

(20)解:

(I)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4

名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。

(H)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则

一8

P(A)

/15

(III)A,.表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0,1,2

巴表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0,1,2

8表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。

4与吗独立,i,j=0,1,2，且8=4「生+A-巴+&4

故

28)=/4-层+4心+44)

=p(&)♦p@)+p(4)•2⑻+P(A2)-P(B°)

「202✓"!1✓*»1x-»i「202

「2「2「2「202「2

ciocio5oc85ocio

31

~75

(21)解：

(I)f'(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)

由a>l知，当x<2时，f'(x)>0,故/(x)在区间(—8,2)是增函数:

当2<x<2a时，./(x)<0,故/(x)在区间(2,2a)是减函数；

当x>2a时，f'(x)>0,故/(幻在区间(2a,+8)是增函数。

综上，当。＞1时，/（幻在区间（-8,2）和（2a,+8）是增函数，在区间（2,2。）是减

函数。

(II)由（I）知，当xNO时，/（x）在x=2a或x=0处取得最小值。

1a,

/(2a)=—(2a)3一(l+a)(2a)-+4a-2a+24。

4,,

——a+4o~+24a

3

/(0)=2船

由假设知

«>1,

a>1

4

/(2a)>0,即《——ci^a+3)(tz—6)>0,解得l<a<6

/(0)>0,

24a>0.

故a的取值范围是（1,6）

（22）解：

（I）设b（c,0）,当/的斜率为1时，其方程为x-y—c=O,。到/的距离为

|0-0-c|_c

V2一行

CV2

故c—1

72"V

£_

由~a~~i

得a=V3,b=-Ja2—c2=V2

(H)C上存在点P,使得当/绕厂转到某一位置时，有OP=04+08成立。

由(I)知C的方程为2炉+