北师大九上数学配方法导学案

配方法学习目标、重点、难点【学习目标】1、直接开平方法掌握；2、配方法及其解一元二次方程的步骤的掌握；【重点难点】1、直接开平方法；2、配方法及其解一元二次方程的步骤；知识概览图直接开平方法：解形如直接开平方法：解形如ax2＝b（a≠b，ab＞0）的方程配方法：将一元二次方程配成（x＋a）2＝b的形式一元二次方程的解法新课导引有这样一首诗：一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数共多少，两队猴子在一起．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？问题探究如果没这群猴子共有x只，那么分成的两队的猴子数分别为和12，而这两队猴子数之和等于这群猴子的总数，即＋12＝x，整理得方程x2－64x＋768＝0，这个一元二次方程的解就是这群猴子的总数了．解析由x2－64x＋768＝0，可得＝256，即x－32＝±16，解得x1＝48，x2＝16．教材精华知识点１直接开平方法定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法．直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用于解形如（b≥0）的一元二次方程．根据平方根的定义可知，x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＋a＝±，即x＝—a±；当b＜0时，方程没有实数根．拓展方程（x＋a）2＝b，当b＞0时，有两个不相等的实数根；当b＝0时，有两个相等的实数根．从而可知，若a＝时，有一根为0，另一根为－2a，千万不要把0这个根漏掉．在解决实际问题时，要考虑使实际问题有意义．知识点2配方法解一元二次方程时，先把方程的常数项移到方程的右边，再把它的左边配成一个含有未知数的完全平方式的形式，即将方程化为（x＋a）2＝b的形式．如果右边是一个非负常数，这样就可以应用直接开平方的方法求解．这种解一元二次方程的方法就是配方法．拓展（1）配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用．（2）配方法的理论依据是完全平方公式＝a2±2ab+b2，把公式中的a看成未知数x，并用x代替，则有x2±2bx＋b2＝．配方法解一元二次方程的步骤：（1）将方程化为一般形式．（2）方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1．（3）移项：把常数项移到方程的一边，使方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项．（4）配方：在方程的两边各加上一次项系数一半的平方，使左边能化成完全平方的形式．（5）求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用直接用开平方法求解；如果右边是负数，那么指出原方程无实根．拓展（1）运用配方法的前提是把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．（2）通过配方法解一元二次方程可以发现：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是一个正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根，如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根，如果另一边是一个负数，那么这个方程就没有实数根．课堂检测基本概念题1、解方程4（x－1）2＝9．基础知识应用题2、方程x2－6x＋8＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长为B.103、已知x2－4x＋y2＋6y＋13＝0，求x－y的值．综合应用题4、某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后降至每件元．（1）若该商店两次调价降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价元，即可多销售10件，若该商品原来每月可销售500件，那么经两次调价后，每月可销售该商品多少件?探索创新题5、“国运兴衰，系于教育”，如图2－l所示的统计图给出了我国从1998～2022年每年教育经费投入的情况．（1）由图可见，1998～2022年这五年内，我国教育经费投入呈现趋势；（2）根据图中所给数据，求我国从1998年到2022年教育经费的平均数；（3）如果我国教育经费从2022年的5480亿元增加到2022年的7891亿元，那么这两年的教育经费平均增长率为多少？（结果精确到，＝）体验中考1、用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A.（x＋1）2＝6B.（x－1）2＝6C.（x＋2）2＝9D.（x－2）2＝92、某果农2022年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2022年收入增加到万元，则平均每年的增长率是.学后反思 附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析先把方程化为＝b的形式，再开平方．解：方程两边都除以4，得（x－1）2＝.开平方得x－1＝±解得x1＝，x2＝－规律·方法用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．2、分析本题考查一元二次方程的解法和等腰三角形的性质．方程x2－6x＋8＝0的两根分别是2和4，若2是底，4是腰，则周长为2＋4＋4＝10，若2是腰，4是底，而2＋2＝4，不能构成三角形，不存在这种情况．故选B．3、分析本题主要考查配方法．注意“若几个非负数相加和为0，则各非负数的值均为0”解：由原式，得（x2－4x＋4）＋（y2＋6y＋9）＝0，即（x－2）2＋（y＋3）2＝0．∴x＝2且y＝－3．∴x－y＝2－（－3）＝5．【解题策略】当一个方程中含有两个或多个未知数时，通常用配方法，将其写成几个非负数的和等于0的形式，再用非负数的性质解题．4、解：（1）设降价率为x，根据题意得40（1－x）2＝，解得x1＝（不符合题意，舍去），x2＝＝10％．所以降价率为10％．（2）设两次调价后，可多销售y件，根据题意，得，解得y＝380，则500＋380＝880（件）．所以经两次调价后，每月可销售商品880件．规律·方法对于平均增长率问题，一般情况下，起点是寻找百分率．假设基数是a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般是n＝2），增长后的量为b，则有表达式a（1＋x）n＝b，类似的还有平均降低率问题，同时要注意区分“增”与“减”．如人口的减少、利率的降低、汽车的折旧等，都是在原来基数上减少，不能与增加混淆．5、分析从图中可以看出教育经费的投入是逐年增加的，问题（2）是求1998年到2022年教育经费的年平均数，即把这五年的教育经费加起来除以5，问题（3）是求增长率问题，可套用公式求解．解：（1）逐年增加（2）平均数为（2949＋3349＋3849＋4638＋5480）÷5＝4053（亿元）．（3）设从2022年到2022年的年均增长率为x，列方程得5480（1＋x）2＝7891，解这个方程，得x1≈，x2≈－（不符合题意，舍去）．故这两年的平均增长率为20％．【解题策略】从图中分析得出我国教育经费的投入是逐年增加的．从2022年到2022年的增长率问题可套用公式a（1＋x）n＝b进行解答．体验中考1、分析移项，得x2－2x＝5，配方，得x2－2x＋l＝6，即（x－1）2＝6．故选B．解题策略当二次项系数为1